淺談圓的性質(zhì)在橢圓中的推廣及應(yīng)用

李盛林

【摘要】類比思維是數(shù)學(xué)研究中常用的一種思維方式，在中學(xué)階段數(shù)學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中根據(jù)圓的性質(zhì)可以推導(dǎo)出橢圓的性質(zhì).本文利用類比思維和推導(dǎo)法等數(shù)學(xué)研究方法對中學(xué)階段數(shù)學(xué)幾何學(xué)當(dāng)中圓與橢圓之間的性質(zhì)關(guān)系進(jìn)行了分類研究，通過圓的基本性質(zhì)推導(dǎo)得出橢圓的基本性質(zhì)，可以為關(guān)注這一方面的教師們提供一些可信度較高的參考意見，提高中學(xué)生幾何學(xué)的學(xué)習(xí)能力.

【關(guān)鍵詞】圓的性質(zhì)；橢圓的性質(zhì)；類比思維

隨著我國國民經(jīng)濟(jì)的增長，社會各界對我國教育事業(yè)，特別是中學(xué)階段的數(shù)學(xué)幾何教學(xué)領(lǐng)域關(guān)注程度越來越高.在此種環(huán)境背景下，中學(xué)數(shù)學(xué)教師需要不斷進(jìn)行教學(xué)方法的創(chuàng)新性發(fā)展，根據(jù)中學(xué)階段學(xué)生們的學(xué)習(xí)特點和對知識的接受水平，研究出更加具有實際應(yīng)用價值的新型教學(xué)法.其中最具有代表性的就是利用類比思維研究和推導(dǎo)圓和橢圓的性質(zhì)關(guān)系，在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中具有良好的應(yīng)用價值.

一、根據(jù)圓的面積類比求出橢圓的面積

圓的性質(zhì)有很多，因為圓和橢圓之間較為相似，而類比知識恰好能夠在其中得到全面的應(yīng)用，通過對圓的面積性質(zhì)、非零斜率、弦性規(guī)律等內(nèi)容的了解，能夠?qū)?yīng)用到橢圓知識中去，從而更好地學(xué)習(xí)橢圓知識[1].

（一）性質(zhì)內(nèi)容

假設(shè)圓O的半徑為a，根據(jù)圓的面積計算公式可以得知圓的面積應(yīng)該為πa2，而由于兩條半徑構(gòu)成一條直徑，因此，可以將圓的面積計算理解為πa·a；通過這一性質(zhì)內(nèi)容進(jìn)行類比分析，能夠?qū)E圓的面積進(jìn)行計算.與圓的半徑不同，橢圓當(dāng)中分別具有長半軸和短半軸，當(dāng)橢圓的長半軸長為a，短半軸長度為b，則可以對橢圓的面積進(jìn)行求解，可以得到πab.

（二）類比所得橢圓的性質(zhì)內(nèi)容

橢圓和圓在面積的計算當(dāng)中，都涉及了π的概念，而與圓面積相比，橢圓的面積計算，也是半徑的長度和π之間的關(guān)系的研究，因此，可以將橢圓理解成為沿著豎直方向上的圓的等比例壓縮，而在水平方向上，長度則始終保持不變，豎直方向上a轉(zhuǎn)變成為b，因此，結(jié)合圓的面積計算方法可以獲知橢圓的面積計算公式為πab.

二、根據(jù)圓的切線方程類比出橢圓的切線方程

（一）性質(zhì)內(nèi)容

設(shè)圓O的方程為x2+y2=r2，而p（x0，y0）為圓上的某一點，則可以推理得出經(jīng)過點p的切線方程為x0x+y0y=r2.通過這一性質(zhì)可以與橢圓進(jìn)行類比.在橢圓中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1，其中，a>b>0，而點p（x0，y0）則為橢圓上的一點，因此，可以類比得到過點p的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.

（二）類比所得橢圓的性質(zhì)內(nèi)容

設(shè)橢圓在點p處的切線方程為y-y0=k（x-x0），通過與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行聯(lián)立，就可以獲得一個關(guān)于x的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如上文所示為x2a2+y2b2=1，通過聯(lián)立法可以用x對y進(jìn)行表示，從而消除y，得到一元二次方程.而在計算題干當(dāng)中，點p（x0，y0）與所計算的橢圓相切，表明方程只存在一個解，因此，可以得知，Δ=0，從而能夠得到過點p的切線的斜率k，通過化簡方程，最終可以求得過點p的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.

三、根據(jù)圓的非零斜率類比出橢圓的非零斜率

（一）性質(zhì)內(nèi)容

在圓的第三個定理中，假設(shè)AB是圓O的半徑，P為圓O上的任意一點，分別連接PA和PB兩點后，直線PA，PB都會存在非零斜率，分別為kPA，kPB，而且kPAkPB=1.

（二）類比所得橢圓的性質(zhì)內(nèi)容

因此，可知，如果AB為橢圓過坐標(biāo)原點產(chǎn)生的線段，而P為橢圓上的任意一點，此時，連接PA，PB，也會存在非零斜率，且kPAkPB=-b2a2.假設(shè)A（acosθ，bsinθ），而P（acosφ，bsinφ），那么B（-acosθ，-bsinθ）.經(jīng)過對PA，PB的非零斜率計算后，就能夠得出具體的結(jié)論.

四、圓的弦性定理類比出橢圓的弦性定理

（一）性質(zhì)內(nèi)容

圓的第四個定理中，AB，CD是圓O的兩條弦，而直線AB，CD相交于點P，則PA·PB=PD·PC.

（二）類比所得橢圓的性質(zhì)內(nèi)容

由上述內(nèi)容可以推斷出如果在條件相同的橢圓中，也會存在PA·PB=PD·PC.設(shè)兩條直線之間形成的傾斜角為θ、φ，相交點P的坐標(biāo)為（x0，y0），那么兩條弦中AB的參數(shù)方程就能夠表示出來，繼而將AB的參數(shù)方程帶入到橢圓方程中，并且進(jìn)行進(jìn)一步的簡化，并且根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，就能夠驗證這一定理.

五、圓的切線性質(zhì)類比出橢圓切線定理

（一）性質(zhì)內(nèi)容

在圓的性質(zhì)中還存在一個切線定理，AB是圓C和x軸相交形成的直徑，且直線l和x軸垂直，此時經(jīng)過圓上任意一點P，且不同于A，B兩點，分別作直線PA和PB，與直線l相交于M，N連點，此時將MN線段的中點Q和圓C上的點P相連，則直線PQ是圓C的切線[2].

（二）類比所得橢圓的性質(zhì)

由此可以推斷出，如果在條件相同的橢圓中，直線PQ也會是橢圓C的切線.證明：橢圓上P點坐標(biāo)為（x0，y0），而直線PA，PB的斜率為k1和k2，此時k1+k2=2b2x0a2y0，最終求得MN的中點Q的坐標(biāo)，推理出直線PQ和橢圓相切.

六、總結(jié)

綜上所述，在新課程改革不斷深化發(fā)展的背景下，我國中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教師需要不斷提高自身的專業(yè)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，在為學(xué)生們講解新的理論知識時，可以通過引入舊知識的方式，為學(xué)生們奠定良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，降低學(xué)生們在面對未知領(lǐng)域知識學(xué)習(xí)的心理負(fù)擔(dān).對中學(xué)生而言，利用類比思維進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以幫助自身提高知識遷移和應(yīng)用能力，最終培養(yǎng)起全局思維的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王新宏.圓的性質(zhì)在橢圓中的推廣及其簡單應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三版），2013（8）：15-16.

[2]趙愛祥.橢圓性質(zhì)及其應(yīng)用[J].湖南城市學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2015（4）：73-74.