用“解幾視角”求分段函數(shù)解析式微探

秦士松

【摘要】大家可能都解決過“求有對稱特征或有周期性的分段函數(shù)解析式”的任務(wù)；可能在解析幾何中求曲線的軌跡方程時，也常會遇到“相關(guān)點”模型，一般我們都會采取代入的方法完成求解.然而，將軌跡和函數(shù)統(tǒng)一用“相關(guān)點”法來解決的視角，較為少見.在高三復(fù)習(xí)過程中，課堂上無意間用“相關(guān)點”的思想來解釋分段解析式的求法時，師生同感別有風(fēng)味！

【關(guān)鍵詞】相關(guān)點；代入；解析幾何；軌跡；分段函數(shù)

相關(guān)點法是求軌跡方程的常用方法，具體是指：在同一個坐標系中，當(dāng)待求軌跡的動點P隨著已知軌跡的動點Q產(chǎn)生運動時，根據(jù)P，Q兩點坐標的關(guān)聯(lián)，將Q的坐標用P點的坐標表示，再把Q點的坐標代入已知軌跡方程中，完成為P點尋找等式——方程的探求.所以，這一方法又叫代入法、轉(zhuǎn)移法！下面我們共同探究一下相關(guān)點法在求軌跡方程和求分段函數(shù)解析式兩個方面的應(yīng)用.

一、相關(guān)點法求軌跡方程

例1已知Q是圓C：x2+y2=16上的動點，M坐標為（4，6），求線段QM中點P的軌跡方程.

解設(shè)Q（x1，y1），P（x，y），

因為P是QM的中點，因此2x=x1+4，2y=y1+6，

所以x1=2x-4，y1=2y-6.①

由于Q在圓C上，因此滿足x21+y21=16，

將①式代入有（2x-4）2+（2y-6）2=16，

化簡得（x-2）2+（y-3）2=4，此即為動點P的軌跡方程.

變式1拋物線y2=12x的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于A，B兩點，動點C在拋物線上，求△ABC重心P的軌跡方程.

此處用一下重心坐標公式即可完成相關(guān)點的探尋，略求之，重心P的軌跡方程為y2=4x-8（x≠3）.（A，B，C三點不共線）.

二、相關(guān)點法求函數(shù)解析式

例2已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-∞，0）時，f（x）=ex+2x，求x∈（0，+∞）時f（x）的解析式.

解設(shè)x∈（0，+∞），則-x∈（-∞，0），

則有f（-x）=e-x-2x.

由于f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），

所以，-f（x）=e-x-2x，即f（x）=-e-x+2x.

此即為x∈（0，+∞）時f（x）的解析式.

其實，上述求解解析式的過程就是求軌跡方程時用到的相關(guān)點代入法.下面淺析一二，品品味道.

如圖所示，在數(shù)軸上找兩個關(guān)于原點O對稱的點Q和P，它們在數(shù)軸上的坐標分別為-x和x.

由題，Q點有已知解析式，要為P點尋找解析式，二者是關(guān)于原點對稱的相關(guān)點.

因為只有落在區(qū)間（-∞，0）上的點才有解析式可用.

所以，當(dāng)x∈（0，+∞）時，借由相關(guān)性變出-x∈（-∞，0）才是我們希望看到的.

此時將“-x”代入f（x）在（-∞，0）上的解析式中.

這樣我們就為x找到了一個等式，化簡之后，利用奇函數(shù)的特征f（-x）=-f（x），即完成x∈（0，+∞）時求解析式的任務(wù).

特別注意，整個分析過程中的x始終在（0，+∞）上，不能搞錯.

變式2設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對稱，在x≤1時，f（x）=（x+1）2-1，則x>1時f（x）=.

提示由對稱特征可知f（x）=f（2-x），當(dāng)x>1時，2-x<1，所以，我們有f（x）=f（2-x）=[（2-x）+1]2=（x-3）2.

如此，發(fā)現(xiàn)誰和誰是“相關(guān)點”了沒有？對，就是x和2-x.

例3已知定義在R上的函數(shù)f（x）周期為2，當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=x2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的解析式.

提示設(shè)x∈[1，3]，這是需要求出解析式的區(qū)間，它要在已知解析式的區(qū)間[-1，1]上找到自己的“相關(guān)點”，以完成“代入”的關(guān)鍵一步！不難發(fā)現(xiàn)x-2∈[-1，1]，所以，f（x）=f（x-2）=（x-2）2，其實，從圖像上看也能輕易看出它是一段由f（x）=x2向右平移2個單位得到的曲線.

下面我們看一道非常經(jīng)典的問題，咱們用相關(guān)點的思路來解決它.

變式3已知定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)y=f（x），周期為2，對k∈Z，用Ik表示區(qū)間（2k-1，2k+1），已知當(dāng)x∈I0時，f（x）=x2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間Ik上的解析式.

分析當(dāng)x∈I0時，即k=0，x∈（-1，1）時，f（x）=x2，有明確的解析式，那么當(dāng)x∈Ik，即x∈（2k-1，2k+1）時，怎樣才能發(fā)現(xiàn)可以利用的等式呢？必須借助“相關(guān)區(qū)間”I0完成尋找解析式的任務(wù)，不難發(fā)現(xiàn)，x-2k∈（-1，1），也就是說x與x-2k是相關(guān)點，那么，根據(jù)周期為2可得

f（x）=f（x-2k）=（x-2k）2，x∈（2k-1，2k+1）.

反觀本文對“相關(guān)點法”的歸類，關(guān)鍵在于如何去發(fā)現(xiàn)待求變量的“相關(guān)點”，然后，借助“相關(guān)點”已有的解析式，完成“等式”載體的探尋，這種思想本質(zhì)上與知識點無關(guān).無意之舉，竟有所得，細細品來，收益頗豐.