高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用分類討論法的實(shí)踐

郭佳璐

【摘 要】將分類討論法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題過程中，能有效降低題目難度，提升學(xué)生解題準(zhǔn)確性。分類標(biāo)準(zhǔn)不明確、分類重復(fù)或遺漏、對(duì)分類結(jié)果取舍不當(dāng)?shù)榷际菍W(xué)生失分的原因。本文從分析分類標(biāo)準(zhǔn)入手，進(jìn)一步探究在解答不同類型題目中分類探究法的應(yīng)用策略，旨在做好總結(jié)分享，與廣大學(xué)子共同進(jìn)步。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；解題策略；分類討論法；應(yīng)用實(shí)踐

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】1671-8437（2018）10-0029-01

高中數(shù)學(xué)中參數(shù)問題的求解基本都要借助分類討論法，首先明確討論的對(duì)象，依據(jù)基本公式、性質(zhì)等將對(duì)象分類。然后根據(jù)類別依次討論，得到可能出現(xiàn)的結(jié)果，最終總結(jié)歸納，得出最后結(jié)論。分類討論法能有效將繁瑣的問題條理化，幫助我們理清思路，化難為易，提升解題速度的同時(shí)保證解題質(zhì)量。

1 合理的分類是討論的基礎(chǔ)

若分類混亂，后續(xù)的討論工作也會(huì)隨之遇到重重阻礙，難以進(jìn)行。將一個(gè)整體M分為若干非空真子集Mi（i=1，2，3…n）（n≥2，n∈N+），滿足M中的任一元素都屬于且僅屬于某一子集。即各個(gè)子集組成整體M；任意子集交集為空集[1]。滿足這兩個(gè)條件可以認(rèn)為分類合理。合理的分離要保證沒有重復(fù)與遺漏，這是基礎(chǔ)，基礎(chǔ)打好了才能再依據(jù)題干條件與基礎(chǔ)公式等進(jìn)行討論環(huán)節(jié)。

2 不同類型題目中分類探究法的應(yīng)用實(shí)踐

將大問題拆分成小問題進(jìn)行研究，最后匯總起來，從而解決原始問題。針對(duì)高中數(shù)學(xué)中不同題型，可以總結(jié)應(yīng)用在實(shí)際解題過程中常用的幾類分類討論法。

2.1 通過分類討論法解決函數(shù)問題

函數(shù)是研究變量之間的關(guān)系，在函數(shù)中設(shè)置參數(shù)，無疑又增加一重難度[2]。在解決帶有參數(shù)的函數(shù)問題時(shí)，多數(shù)需要通過對(duì)參數(shù)進(jìn)行合理的分類討論，降低問題難度，求得準(zhǔn)確結(jié)果。

如：已知函數(shù)y=（a+3）x2a+1+4x-5（x不為0），當(dāng)a取何值時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)？觀察函數(shù)，發(fā)現(xiàn)a是未知參數(shù)，若想滿足題干中的函數(shù)為一次函數(shù)的條件，則首先確定要討論的對(duì)象為（a+3）x2a+1，這項(xiàng)是一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、零都可滿足題目要求。確定好分類對(duì)象與標(biāo)準(zhǔn)，接下來進(jìn)行分類討論：①當(dāng)2a+1=1且a+3≠0時(shí)，即a=0時(shí)，函數(shù)可化為y=7x-5，滿足題目要求；②當(dāng)2a+1=0，即a=-1/2時(shí)，函數(shù)y=4x-7.5，滿足題目要求；③當(dāng)a+3=0，即a=-3時(shí)，函數(shù)y=4x-5，同樣滿足題目要求。綜上，a的值為0、-1/2或-3。

2.2 通過分類討論法解決概率問題

概率是高中數(shù)學(xué)中又一大板塊，且理論與實(shí)際生活聯(lián)系較為密切，利用理論可以解決生活中很多實(shí)際問題，因此，作為學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握好這一部分知識(shí)。在概率題目中，問題本身包含的基本事件個(gè)數(shù)不盡相同，因此，要從基本事件入手，進(jìn)行合理的分類討論。

例如，山東高考試卷中曾出現(xiàn)這樣一道題目：某地舉辦奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)，將火炬?zhèn)鬟f手分別編號(hào)為1，2，3，…，18，在18名火炬?zhèn)鬟f手中任意選擇3名人員，則選出的人員的編號(hào)能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為多少？選項(xiàng)A：1/51；B：1/306；C：1/68；D：1/408。拿到題目初步一看，可以確定題目屬于古典概型問題，但滿足題目要求的可能性眾多，如何解決呢？首先，我們應(yīng)當(dāng)求出題目中的基本事件的總數(shù)為17×16×3=816，設(shè)火炬?zhèn)鬟f手編號(hào)為bn=b1+3（n-1）。取b1=1，則人員編號(hào)選擇范圍為1，4，7，10，13，16，滿足條件的有1，4，7；4，7，10；7，10，13；10，13，16共四種選擇方法。取b1=2，人員編號(hào)選擇范圍為2，5，8，11，14，17，滿足條件的有2，5，8；5，8，11；8，11，14；11，14，17。取b1=3，人員編號(hào)選擇范圍為3，6，9，12，15，18，同理仍然有4種選擇方式。所以題目所求概率P=4+4+4/816=1/68，選C。

2.3 通過分類討論法解決數(shù)列問題

數(shù)列是高考必考題型之一，在小題與答題中均有涉及。解決數(shù)列問題也多用分類討論法，如計(jì)算周期性數(shù)列、等比數(shù)列求和等問題，都可以通過分類討論解決題目。

例題：已知等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0（n=1，2，3，…），求q的取值范圍。挖掘題干中隱藏的已知條件可知，前n項(xiàng)和大于0，說明a1=S1大于0，又q≠0，那么則可進(jìn)行分類討論：（1）q=1時(shí)，Sn=na1>0；（2）q≠1時(shí)，Sn=a1（1-qn）/（1-q）>0，化簡(jiǎn)可得（1-qn）/（1-q）>0，（n=1，2，3，…），上式等價(jià)于1-q<0且1-qn<0，（n=1，2，3，…）①或1-q>0且1-qn>0，（n=1，2，3，…）②。解①可得q>1，解②可得-1

分類討論法的應(yīng)用能有效幫助我們找到解題的入手點(diǎn)，依照確定的分類內(nèi)容進(jìn)行討論進(jìn)而得出正確答案。作為高中學(xué)生，我們應(yīng)在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中注意分類討論思想的培養(yǎng)與鞏固，切實(shí)借助分類討論法提高數(shù)學(xué)解題的能力。