整活教材 巧挖思想

錢曉瑜

[摘 要]新課標(biāo)要求教師活用教材.研究整合教材的方法有實際意義.

[關(guān)鍵詞]教材；整合；挖掘

[中圖分類號] G633.6 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）14-0022-03

數(shù)學(xué)思想在學(xué)習(xí)過程中的體現(xiàn)并非一朝一夕就能做到，而是循序漸進的過程.課本資源是有限而無盡的，作為一線的數(shù)學(xué)教師，要做個有心人，不斷研究教材、研究學(xué)生，以課本提供的資源為線索，挖掘教材深度，拓寬教材寬度，對課本內(nèi)容進行適當(dāng)?shù)恼?，層層滲入數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生熟悉、領(lǐng)會、內(nèi)化然后運用它們，使學(xué)生的知識面得以拓寬，思維得以激活，進而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì).

筆者對整合蘇教版數(shù)學(xué)七年級上冊《2.4 絕對值與相反數(shù)》第1課時和第3課時的內(nèi)容，談?wù)勛约旱乃伎寂c做法.

一、巧用“實際問題”滲透學(xué)以致用思想

對剛升入初一的學(xué)生來說，“絕對值”是一個全新的概念，難以理解和接受，其原因主要有以下兩個方面.

第一，絕對值的概念是從形的角度闡述的.即數(shù)軸上表示一個數(shù)的點與原點的距離叫作這個數(shù)的絕對值.它是學(xué)生初步感受數(shù)形結(jié)合的載體.

第二，負數(shù)的比較大小、有理數(shù)的運算等都是以絕對值的知識為基礎(chǔ).

筆者在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不僅初一學(xué)生，不易領(lǐng)會和掌握，就是許多初三學(xué)生也沒有很好理解.其原因就在于，不理解絕對值的本質(zhì)是距離，是從現(xiàn)實生活中一些不考慮正、負性而只考慮具體數(shù)值的問題中提煉出來的.為幫助學(xué)生體驗數(shù)學(xué)來源于日常生活，首先創(chuàng)設(shè)兩個問題情境.

問題一：甲、乙兩輛卡車從同一處[O]出發(fā)，分別向南、北方向行駛10千米，到達A、B兩處.

（1）你能用有理數(shù)表示甲、乙兩輛卡車的行駛情況嗎？

（2）這兩個有理數(shù)之間有什么關(guān)系？

（3）你能在數(shù)軸上表示出這兩個有理數(shù)嗎？

（4）若每輛卡車行駛一千米耗油0.13升，則甲、乙兩輛車分別耗油多少升？

問題二：國際上比賽用的足球重量420～445克.6個足球質(zhì)量檢測結(jié)果（超過規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)記做正數(shù)，不足的克數(shù)記做負數(shù)）如下：

[-4]，[+5]，[+7]，[-3]，[+5]，[-2].

你能指出哪一個足球質(zhì)量好一些？為什么？

【評析】問題一主要是復(fù)習(xí)數(shù)軸、正負數(shù)的知識，學(xué)生可獨立完成，其中第（4）問引導(dǎo)學(xué)生思考計算每輛汽車的耗油量與什么有關(guān)，與什么無關(guān).問題二啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識如何衡量質(zhì)量的好壞.主要是看與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差距，差距越小，質(zhì)量就越好，而與超過標(biāo)準(zhǔn)還是不足標(biāo)準(zhǔn)沒有關(guān)系.

學(xué)生通過筆者創(chuàng)設(shè)的兩個問題，意識到我們?nèi)粘Ｉ钪杏行﹩栴}只關(guān)注具體數(shù)值，而不考慮其正負性.因此在數(shù)學(xué)中就需要有一個新的名稱，你能否嘗試給出新的名稱呢？（引出課題）

借助創(chuàng)設(shè)的兩個問題引入絕對值，一方面利于學(xué)生體驗絕對值知識產(chǎn)生的背景，它是生活問題的數(shù)學(xué)化；另一方面向?qū)W生滲透學(xué)以致用的思想，引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)的知識解決生活中的問題，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的價值.同時還借助問題，喚起學(xué)生的思考欲望，引發(fā)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生對“距離”產(chǎn)生深刻印象，頭腦中初步感悟“絕對值就等同于距離”，為絕對值概念的提出埋下伏筆.

二、巧用“圖形”滲透分類思想

絕對值概念的本質(zhì)是“距離”，既體現(xiàn)幾何意義，又隱含著絕對值的非負性.“距離”是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的概念，由于學(xué)生抽象思維能力還不強，在解決有關(guān)絕對值問題時經(jīng)常遺漏另一種情形.為突破對值教學(xué)的難點，教學(xué)時借助數(shù)軸，讓學(xué)生從數(shù)軸上直觀地觀察到“到原點的距離有原點兩側(cè)的兩種情形”，挖掘分類思想.為幫助學(xué)生從“形”的角度認(rèn)識絕對值的幾何意義.設(shè)計如下.

在問題一中，甲、乙兩車行駛的距離都是10千米，在數(shù)軸上的[A]、[B]兩點到原點的距離都是[10].即規(guī)定[+10]的絕對值是[10]，[-10]的絕對值是[10].如圖.

由于[+10]和[-10]的絕對值相等，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)軸給出什么是一個數(shù)的絕對值.通過思考、討論、歸納出絕對值的概念：“數(shù)軸上表示一個數(shù)的點到原點的距離叫作這個數(shù)的絕對值.”接著出示問題三.

問題三：

（1）數(shù)軸上表示[-1]，[1]，[3]，[-3]，[-7]，[7]，[0]到原點的距離各是多少？

（2）在數(shù)軸上畫出與原點距離是[2]和[4.5]的點，這些點表示的數(shù)有什么特點？

（3）對上述（1）（2）如何借助絕對值的概念求距離？

（4）絕對值的本質(zhì)是什么？是誰與誰的距離？這樣的距離是一個什么數(shù)？一個數(shù)的絕對值是一個什么數(shù)？

通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納數(shù)軸上任意一點都與原點之間存在距離.不管這個數(shù)為正數(shù)、零或負數(shù)，距離總是大于或等于零的，也就是一個數(shù)的絕對值是一個非負數(shù).第（2）題通過畫數(shù)軸上的點來觀察點的位置，順利地把抽象的分類討論通過簡單的作圖來完成，突破難點，從而讓學(xué)生深刻理解“已知一個數(shù)的絕對值求這個數(shù)，則這個數(shù)存在正、負兩種情形，在沒有說明是正數(shù)還是負數(shù)的情況下，需分類討論”，這也是對絕對值的逆向思維.第（3）題求距離問題實質(zhì)就是求絕對值問題，加深對絕對值的概念理解.為鞏固概念，安排練習(xí)l.

練習(xí)1：

（1）[-3.2]的絕對值是 ； [74]的絕對值是 ；

[0]的絕對值是 ； [5]的絕對值是 ；[-5]的絕對值是 .

（2）絕對值等于[9]的正數(shù)是 ；絕對值等于[1.5]的數(shù)是 ；絕對值等于[3]的負數(shù)是 .

（3）數(shù)軸上到[-1]的距離等于[3]的數(shù)有 個，分別表示的數(shù)是 .

（4）判斷：如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等.（ ）

【評析】如此對絕對值幾何意義的教學(xué)設(shè)計，形象地將“絕對值”與“距離”緊密聯(lián)系，直觀地揭示絕對值的本質(zhì)就是距離，從而使學(xué)生更透徹地理解絕對值概念，領(lǐng)悟在“形”中的分類思想.

三、巧用“數(shù)學(xué)語言”滲透轉(zhuǎn)化思想

絕對值符號的掌握，也是教學(xué)的重點，首先引導(dǎo)學(xué)生討論你會用什么符號來表示絕對值？對學(xué)生的見解及時給予肯定；接著介紹教材上絕對值的符號表示方法“[ ]”，即數(shù)[a]的絕對值用[a]表示，滲透符號表述思想方法；然后再借助如圖所示的數(shù)軸，進一步揭示[a≥0]，隨后出示問題四.

問題四：

（1）[-3]、[+2]、[-7]是什么意思？能用語言敘述嗎？并求出結(jié)果.

（2）[-61]、[23]的絕對值是什么意思？怎樣用符號表示？

（3）計算：① [-3++2] ② [-7--3] ③ [2-π]

（4）已知[x=6]，求[x]值.

（5）已知[a+3+b-2=0]，則[a=] ，[b=] .

【評析】問題⑴、（2）是絕對值的文字語言與符號語言之間的互化，強化學(xué)生對絕對值概念及符號的掌握.（3）中①②是含絕對值的計算問題，需先求絕對值再計算；③是求絕對值，需把[2-π]看成一個整體，它的絕對值是[-2-π]；（4）是將“已知一個數(shù)的絕對值，求這個數(shù)”這一問題通過符號語言表達出來，這樣的數(shù)有兩個.若有困難，借助數(shù)軸完成；（5）是對“絕對值的非負性”的應(yīng)用，即如果兩個非負數(shù)的和等于零，那么這兩個數(shù)都等于零.

數(shù)學(xué)符號語言是數(shù)學(xué)思維的外在表顯形式，它反映了數(shù)學(xué)思維的特征，簡化了數(shù)學(xué)思維的過程，是數(shù)學(xué)思維的載體.通過符號語言展開聯(lián)想，有利于形象思維的發(fā)展；正確運用符號語言，有利于抽象思維的發(fā)展；熟練運用符號語言推理，有利于創(chuàng)新思維的發(fā)展.

問題五：

（1）字母[a]表示一個數(shù)，[-a]表示什么？[-a]一定是負數(shù)嗎？

（2）如果[a=a]，那么[a]可能是正數(shù)、零、負數(shù)？

（3）如果[a=-a]，那么[a]可能是正數(shù)、零、負數(shù)？

（4）[a] = （填“正數(shù)”、“負數(shù)”、“非負數(shù)”、“非正數(shù)”或者“[0]”）

【評析】學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，總結(jié)出[a=a，（a>0）0，（a=0）-a，（a<0）]，把絕對值的代數(shù)意義轉(zhuǎn)化為符號語言.去掉絕對值符號需根據(jù)絕對值的意義.即當(dāng)[a]的范圍確定時，直接化簡絕對值；當(dāng)[a]的范圍不確定時，在不同情況下進行“分類討論”.

練習(xí)2：

（1）若[m=m]，則[m] [0]；若[m=-m]，則[m] [0].

（2）若[x>4]，化簡[4-x]= ；若[x<4]，化簡[4-x] = .

（3）已知[m-3+4-n=0]，求[m+n]的值.

四、巧用“互相轉(zhuǎn)化過程”滲透數(shù)形結(jié)合思想

解決數(shù)學(xué)問題時，把問題中的數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來，或者把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題，或者把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題，通過數(shù)形轉(zhuǎn)化處理問題，這種思想方法就是數(shù)形結(jié)合思想方法.

問題六：

有理數(shù)[a]、[b]在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡[b-a-a-b].

解析：已知條件通過圖形形式給出，教學(xué)時啟發(fā)學(xué)生根據(jù)點在數(shù)軸上的位置確定數(shù)[a]、[b]的符號，再根據(jù)絕對值表示點到原點的距離，然后根據(jù)去絕對值法則解決.

因為[a<0]，所以[a=-a]；

因為[b>0]，所以[b=b]；

因為[a-b<0]，所以[a-b=-a-b]；

所以 [b-a-a-b]

[=b--a--a-b=b+a+a-b=2a.]

【評析】很多含絕對值的類似問題，利用數(shù)形結(jié)合思想就很容易解決，無論是絕對值的幾何意義，還是絕對值的代數(shù)意義，都揭示了絕對值的非負性.幾何意義上的絕對值有助于學(xué)生更好地理解概念；代數(shù)意義上的絕對值有助于學(xué)生掌握性質(zhì)、計算.在絕對值的幾何意義與代數(shù)式的互相轉(zhuǎn)化過程中，滲透數(shù)形結(jié)合思想，能培養(yǎng)學(xué)生運用轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)思維活動的能力，提升解決數(shù)學(xué)問題的能力.

【教學(xué)反思】

1.教學(xué)時刻要遵循由淺到深、由易到難、從已知到未知的認(rèn)知規(guī)律.要讓學(xué)習(xí)能順利進行，就要縮小新、舊知識之間的跨度.否則，當(dāng)新知識和學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)脫節(jié)時就必然造成學(xué)習(xí)困難.因此筆者考慮從學(xué)生熟悉的生活問題出發(fā)，讓學(xué)生知道日常生活中有些問題只關(guān)注具體數(shù)值，而與正負性無關(guān)，所以在數(shù)學(xué)中就需要有一個新的名稱，借此引出課題.

2.教師在教學(xué)中要注意知識點的縱向和橫向聯(lián)系，要合理恰當(dāng)?shù)卣辖滩?在教學(xué)設(shè)計中，更要注意策略選擇.提出問題時更要設(shè)計好相關(guān)的小問題，這樣才能讓學(xué)生展開深入的思考，并注意隨時生成新的問題.教師要靈活地調(diào)控課堂，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，使問題從無序變得有序，進而提升學(xué)生的思維能力.教師在課堂教學(xué)活動中要注意調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引發(fā)學(xué)生的積極思考，鼓勵學(xué)生進行創(chuàng)造性思維，讓師生之間、學(xué)生之間通過互動和溝通學(xué)會表達數(shù)學(xué)、交流數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué).

3.教學(xué)要回歸生本課堂.學(xué)生不再被動地接受知識，而是主動地獲取知識.教師及時而有效地引導(dǎo)是關(guān)鍵.當(dāng)教師的引導(dǎo)有智慧，課題教學(xué)將張弛有度、意趣盎然.學(xué)生通過自己的努力去發(fā)現(xiàn)解決問題的新方法，體驗解決問題之后的成功喜悅，就會增強求知欲和好奇心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和積極性.

4.教師要以學(xué)生的身份積極參與學(xué)生的討論交流活動.通過教師與學(xué)生互動、學(xué)生與學(xué)生交流，讓學(xué)生能對最基本的數(shù)學(xué)知識與方法進行靈活運用.通過合作交流，使每個學(xué)生有自我表現(xiàn)的機會，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，促進學(xué)生積極參與.通過討論，能夠活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生靈感，使學(xué)生逐步學(xué)會學(xué)習(xí).只有讓學(xué)生充分地參與到教學(xué)全過程中，才能更好地滿足他們的知識需求，讓他們體驗成功的喜悅.經(jīng)歷這樣的過程，不僅使學(xué)生的思維開放，更使學(xué)生的思維品質(zhì)得到提升.

5.數(shù)學(xué)思想方法不同于數(shù)學(xué)知識.它不能用符號、圖形、式子來表示，是一種抽象的工具，也不能在有限的時間內(nèi)學(xué)會，掌握它是一個循序漸進的過程，需要我們在每一節(jié)課的教學(xué)過程中一個有目的、一步步地開展?jié)B透工作，讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識的同時，又能領(lǐng)悟到深度知識，從而使學(xué)生實現(xiàn)質(zhì)的飛躍，增強學(xué)生綜合能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（責(zé)任編輯 黃桂堅）