寓數(shù)于形以形解數(shù)—談小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合教學(xué)

吳秀敏

（山西省繁峙縣實驗小學(xué)，山西繁峙 034300）

引 言

縱觀2011年版的小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革標(biāo)準(zhǔn)的要求可以發(fā)現(xiàn)，該標(biāo)準(zhǔn)首次將數(shù)學(xué)思想方法的滲透作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動開展的基本目標(biāo)。所謂的數(shù)學(xué)思想方法，主要是指學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)活動參與中能在已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)之上總結(jié)概括出的一種觀點，并借助該觀點來自主地解決數(shù)學(xué)問題的途徑或策略。數(shù)學(xué)思想方法所包含的內(nèi)容多種多樣；其中，數(shù)形結(jié)合這一思想方法是最常用的。因為數(shù)學(xué)本身就是一門以抽象的數(shù)和直觀的形為基礎(chǔ)的學(xué)科。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動開展中，對于數(shù)學(xué)認(rèn)知能力有限的小學(xué)生來說，抽象的數(shù)字、概念等是難以理解的，此時教師可以借助直觀的形來幫助學(xué)生理解；此外，教師還可以借助具體的數(shù)賦予“抽象的”形以實際意義，借此加深學(xué)生對圖形的理解。由此可以看出，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動開展中，教師借助數(shù)形結(jié)合這一思想方法有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，為他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升打下堅實的基礎(chǔ)[1]。在本文中，筆者主要從以形解數(shù)、寓數(shù)于形這兩個方面來分析如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動開展中實現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法的滲透。

一、以形解數(shù)

（一）巧用實物

通過對心理學(xué)的有關(guān)研究加以分析，并結(jié)合對所執(zhí)教班級的小學(xué)生進行觀察，筆者發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生的思維在小學(xué)階段正處于由形象向抽象過渡的階段；且其形象思維發(fā)揮著主要的作用。數(shù)學(xué)本身就是一門極具抽象性的學(xué)科，這一點是毋庸置疑的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動開展中，量與量之間的關(guān)系問題大量存在，抽象的數(shù)、數(shù)量關(guān)系等使得以形象思維為主的小學(xué)生難以對其有深刻的理解，甚至在大量抽象知識的堆積下，學(xué)生會對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)喪失興趣。對此，教師在組織教學(xué)活動的時候，可以立足教學(xué)實際內(nèi)容，借助多樣化的手段將抽象的數(shù)、數(shù)量關(guān)系等轉(zhuǎn)化為直觀的符號或圖形，使學(xué)生在直觀的觀察中加深對這些抽象的數(shù)的理解。

筆者在組織數(shù)學(xué)教學(xué)活動的時候，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生在教師的講解下，對體積的概念有一定的理解，并能對其進行熟練的識記；但是，在具體的實物判斷過程中，卻無法靈活地將所學(xué)到的與體積有關(guān)的內(nèi)容應(yīng)用其中。造成這一問題的原因主要是教師在教學(xué)活動開展中沒有將“體積單位”與具體的實物建立一個直觀的聯(lián)系。對于數(shù)學(xué)認(rèn)知有限的小學(xué)生來說，多大的物體是lcm3是無從可知的。針對這一情況，為了加深學(xué)生對“體積單位”的認(rèn)知，筆者在組織教學(xué)活動的時候，會先利用多媒體向?qū)W生播放烏鴉喝水的畫面，他們在直觀的畫面觀看中，會不自覺地建立起與體積有關(guān)的表象認(rèn)知；在此基礎(chǔ)之上，筆者會引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動已有的知識經(jīng)驗，結(jié)合所觀看的畫面自主地探究出體積的概念，實現(xiàn)由具體到抽象的過渡。在學(xué)生自主探究體積概念的過程中，筆者會給予指導(dǎo)，幫助他們建立深刻的體積認(rèn)知；最后，筆者立足學(xué)生所建立的體積認(rèn)知，向他們呈現(xiàn)生活中常見的物品，使他們在實物的觀察下，建立起1cm3，1dm3和1m3表象。

（二）巧用線段

通過上文對數(shù)形結(jié)合思想方法的介紹可以看到，該思想方法最大的特點就是實現(xiàn)抽象問題的簡單化。數(shù)學(xué)問題的簡單化得以實現(xiàn)的前提則是借助簡單的圖形將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，使他們在簡單圖形的輔助下有效地把握概念的本質(zhì)。數(shù)學(xué)簡單圖形的類型多樣，其中筆者最常使用的當(dāng)屬線段圖，尤其在應(yīng)用題解決中，線段圖的使用可以有效地幫助學(xué)生解決問題。

以小學(xué)數(shù)學(xué)中最常見的“植樹問題”為例：現(xiàn)在有一條長度為100m的小路，要在該小路的一旁種上樹，每棵樹之間間隔5m（路的兩端也需要栽上樹），試問這條路上一共要栽種多少棵樹？這一問題看似很簡單，但是其中卻蘊藏著一個較為重要的數(shù)學(xué)知識，即兩端都要栽樹，所栽樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1。對于這一數(shù)學(xué)模型，學(xué)生在有限的數(shù)學(xué)思維能力的作用下難以探究出來。此時，筆者則引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖的方式直觀地探究該模型，如圖1所示：

圖1

在直觀的線段圖的作用下，學(xué)生可以準(zhǔn)確地找出題目中所給出的數(shù)量關(guān)系；甚至可以在圖形和數(shù)量關(guān)系的雙重作用下自主地探究出數(shù)學(xué)模型。在加深學(xué)生對該類問題理解的基礎(chǔ)上，為其靈活地運用模型解決其他問題打下堅實的基礎(chǔ)。

二、寓數(shù)于形

寓數(shù)于形其實就是教師通常所說的以數(shù)解形，即在數(shù)學(xué)教學(xué)活動開展中，引導(dǎo)學(xué)生借助代數(shù)知識來解決較為復(fù)雜的幾何問題。在實現(xiàn)以數(shù)解形的過程中，筆者一般會采取借助數(shù)的特點，滲透模型思想這一方法。

2011年版的小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中新增了模型思想這一內(nèi)容。所謂的數(shù)學(xué)模型主要是指立足特定的研究問題，借助形式化的數(shù)學(xué)語言對所要研究的內(nèi)容加以抽象、概括，將其主要的特征、關(guān)系等以數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的方式呈現(xiàn)出來。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動開展中，教師一般會利用字母、數(shù)字等來建立關(guān)系式、表達(dá)式等，這些式子、圖形等其實就是平時所說的數(shù)學(xué)模型。

在組織《長方體與正方體體積》這一內(nèi)容教學(xué)的時候，在傳統(tǒng)的以照本宣科為主的教學(xué)方式下，大部分教師會直接將長方體、正方體的體積公式呈現(xiàn)在學(xué)生面前；而學(xué)生只能借助死記硬背的方式來識記這些公式，對這些公式的來源知之甚少。這就限制了學(xué)生對其進行靈活的運用。對此，筆者在組織該內(nèi)容教學(xué)的時候，會先讓學(xué)生自主地選擇幾個體積為1cm3的正方體實物，然后將所選擇的正方體擺成長方體，并以表格的形式將所選擇的正方體的個數(shù)以及其體積進行記錄。學(xué)生可以在對體積概念及其意義理解的基礎(chǔ)上，通過簡單的計算來實現(xiàn)記錄，在明確的數(shù)字觀察下，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：正方體的個數(shù)其實就是長方體的體積。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)1cm3正方體的體積與長方體體積關(guān)系的基礎(chǔ)之上，筆者再次對其加以引導(dǎo)，計算所擺成的長方體的長、寬、高，以及三者之間的乘積與其體積之間的關(guān)系。在這樣的引導(dǎo)下，學(xué)生可以自主地探究出長方體的體積公式。在這樣的數(shù)學(xué)體驗過程中，學(xué)生經(jīng)過親身的探究自然會加深對長方體、正方體體積公式的理解，為其靈活地運用公式解決實際問題打下了堅實的基礎(chǔ)。

除了以上所提及的借助數(shù)的特點，滲透模型思想方法之外，教師還可以靈活地運用數(shù)學(xué)公式、定理等，幫助學(xué)生掌握圖形結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。

結(jié) 語

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動開展中，教師除了將基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)在學(xué)生面前之外，還要將數(shù)學(xué)思想方法滲透其中，使他們在數(shù)形結(jié)合思想方法的作用下，加深對基礎(chǔ)知識的理解，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，從而為他們靈活地運用所學(xué)奠定堅實的基礎(chǔ)。