高中數(shù)學(xué)恒成立問題解題策略

楊旅華

【摘 要】本文以例講解運用換元法、分類討論法、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想以及賦值法解答高中數(shù)學(xué)恒成立問題的策略，幫助學(xué)生深入探索，掌握正確的解題方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 恒成立問題 解題策略

【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）05B-0147-02

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的恒成立問題涉及的知識范圍比較廣泛，具有綜合性的特點，是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難點。恒成立問題在解決的過程中，和不等式、數(shù)列以及函數(shù)等知識內(nèi)容交叉，成為高考中的熱點內(nèi)容。但是其解決方式比較靈活，沒有固定的方式，學(xué)生在解答的過程中，常常無從下手，難以找到問題解決的關(guān)鍵點。在對恒成立問題進行解答的過程中，能夠促進學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。

一、借助換元法，有效解決不等式恒成立問題

在高中數(shù)學(xué)問題解答的過程中，需要借助辯證的方法，對問題進行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化和遷移，將未知內(nèi)容進行轉(zhuǎn)化，以便有效解決數(shù)學(xué)問題。換元法是數(shù)學(xué)中常用的一種解題方法，它主要有兩種方式，引入另一個參數(shù)來代替未知數(shù)和使用常數(shù)或者表示常數(shù)的字母代替未知數(shù)。在含有兩個變量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣性地把 x 作為主元，把另外一個變量 a 當(dāng)作參數(shù)。當(dāng)遇到一些比較繁瑣的解答過程時，如果把已知取值范圍的變量作為主元，把求解取值范圍的變量當(dāng)作參數(shù)，那么就能夠有效簡化解題過程。例如：

二、合理利用分類討論，解決二次函數(shù)恒成立問題

二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，二次函數(shù)又分成一元二次函數(shù)和二元二次函數(shù)兩種。二次函數(shù)有關(guān)恒成立的問題，主要和一元二次函數(shù)進行結(jié)合。一元二次方程、不等式以及二次函數(shù)之間又有密切的關(guān)系，在解題的過程中，需要對其進行利用，進行分類討論。在二次函數(shù)中，由于 x 值的范圍不同，其增減性不同。二次函數(shù)又會涉及頂點、最值等問題，因此，在對二次函數(shù)恒成立的問題進行解答時，需要考慮函數(shù)性質(zhì)、圖象特點，并進行分類討論，才能準(zhǔn)確地解決問題。例如：

在對二次函數(shù)恒成立問題進行解答時，有時需要根據(jù)題目進行相應(yīng)變換，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象等進行全面討論，才能得出完整的答案。

三、借助數(shù)形結(jié)合，促使問題得到直觀解答

在高中數(shù)學(xué)中，有關(guān)函數(shù)恒成立的問題較多，在高考中通常以選擇和填空類型的題目出現(xiàn)。函數(shù)又跟圖象緊密聯(lián)系，綜合性比較強，要想準(zhǔn)確地理解函數(shù)常常需要進行數(shù)形結(jié)合。特別是綜合性比較強的題目，比如，二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題，很難單純地利用函數(shù)性質(zhì)來進行直接解答，而且解答過程比較復(fù)雜，因此，需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解答。例如：

針對此種類型的恒成立問題，可以對其圖象進行繪制以促進問題的解答。特別是在選擇題和填空題解答的過程中，借助數(shù)形結(jié)合，能夠使得結(jié)果一目了然，提高解題的效率。

四、合理利用歸化思想，促進恒成立問題的解決

高中數(shù)學(xué)中的化歸思想不僅是重要的思想，而且也是數(shù)學(xué)解題中的重要方法，它能夠鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，因此它在數(shù)學(xué)問題解決中得到普遍應(yīng)用。比如，高中數(shù)學(xué)中的不等式的恒成立問題，在解答中有時需要對不等式的參數(shù)、變量等進行分離，分別對其進行相應(yīng)的求解。一般來說，利用分離方法將恒成立問題的解答轉(zhuǎn)化成最值問題的求解，也就是說，對解題思路和方式進行轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜的問題簡單化。例如：

在進行解答的過程中，令 x=y，求出 ，得常數(shù) 。之后對不等式的前半部分進行證明，得出不等式成立。之后對不等式的后半部分進行證明得出不等式成立。通過這樣的方式得出相應(yīng)的結(jié)論，存在實數(shù) C 使得不等式恒成立。

對于高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題來說，其內(nèi)容覆蓋很多數(shù)學(xué)內(nèi)容，并且具有綜合性的特點。因此，對此類問題，靠單一的解題思路和方式很難進行有效解答，需要學(xué)生掌握多種解題思路和方式。學(xué)生要掌握和熟練運用換元法、分類討論法、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想以及賦值法等，以便更加有效地解決問題。

【參考文獻】

[1]賴小恬.高中數(shù)學(xué)恒成立問題解題策略探究[J].成才之路，2016（35）

[2]朱永江.基于高中數(shù)學(xué)的恒成立問題分析[J].開封教育學(xué)院學(xué)報，2015（3）