有形數(shù)學(xué) 無形素養(yǎng)

陳瑤

《課標(biāo)（2011年版）》中指出：“幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果?！边@段話將幾何直觀的兩種主要表現(xiàn)做了精煉的概括，簡明概括了幾何直觀的含義?？梢哉f，這是目前理解幾何直觀最重要的依據(jù)。

借助幾何直觀培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

思維是數(shù)學(xué)能力之“核”，也是核心素養(yǎng)之“魂”。無論過去、現(xiàn)在、未來，數(shù)學(xué)課堂都應(yīng)該基于思維“教”，圍繞思維“學(xué)”。筆者就以“三角形的三邊關(guān)系”這節(jié)課和大家來探討和交流。

1.由表及里

教材中的例4提供了4組固定長度的紙條，目的是讓學(xué)生在用紙條圍三角形的過程中發(fā)現(xiàn)和歸納三角形三邊的關(guān)系。教學(xué)時，我改變了操作材料。

給每位學(xué)生準(zhǔn)備1根吸管，三角形有三條邊，就把它剪成三段。無論怎樣剪，三段吸管的長度關(guān)系無外乎三種情況：a+bc和a+b=c。研究三角形的三邊關(guān)系應(yīng)該從哪幾種情況分別去研究呢？其實(shí)就是這三種情況。

雖然三角形的“邊”與“形”之間的關(guān)聯(lián)具有隱蔽性，但在剪、圍、看的活動中，學(xué)生們初步感受到“邊的長短”會直接影響“三角形”的形成，從而引發(fā)了對三邊關(guān)系的猜測，由直觀的表象引向深入的思維。

2.由淺入深

受材料和操作誤差的影響，課堂往往會“卡”在“兩段的長度之和等于第三段”時能否圍成三角形這個問題上。借助課件把三段吸管抽象成三條線段，讓a+b=c。這樣的三條線段能圍成三角形嗎？

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，必須將這兩根較短的線段的一個端點(diǎn)重合，形成相應(yīng)的角才行。借助動態(tài)演示，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)a和b的兩個端點(diǎn)無法重合，一下子就理解了a+b=c時三條線段是不能圍成三角形的。那怎樣的三條線段能圍成三角形呢？繼續(xù)借助直觀圖展開想象，只要將a或b延長那么一點(diǎn)點(diǎn)就行了。這為后面推理歸納出“任意兩邊之和大于第三邊”積累了豐厚的直觀經(jīng)驗(yàn)。

借助幾何直觀讓學(xué)生多了不斷逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)的思索，多了理性精神的深度體驗(yàn)，讓數(shù)學(xué)思維走向更遠(yuǎn)。

借助幾何直觀滲透數(shù)學(xué)思想

抽象、推理和模型是三種基本的數(shù)學(xué)思想。

1.抽象

抽象是把外部的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系引到數(shù)學(xué)內(nèi)部?！凹纤枷搿钡脑搭^就是“抽象思想”。圖形語言所特有的簡潔性、直觀性使學(xué)生的思維以一種更直觀、更精確的形式展現(xiàn)出來。

2.推理

我們強(qiáng)調(diào)幾何直觀的重要性，因?yàn)閿?shù)字與圖形相比，圖形更容易建立起直觀。但在數(shù)學(xué)的證明過程中，圖形只能用來幫助論證，而不能代替論證。在小學(xué)階段歸納推理的應(yīng)用非常多，但還有許多尚待發(fā)掘的演繹推理。歸納和演繹切不可絕對化，應(yīng)盡量地讓它們相輔相成。

3.模型

通俗說，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事，它更側(cè)重于描述現(xiàn)實(shí)世界中規(guī)律性的東西?！吨矘鋯栴}》研究的是非封閉或封閉路線上的點(diǎn)與段的關(guān)系，透過實(shí)際問題的種種變化，從數(shù)學(xué)的視角加以分類，點(diǎn)與段的關(guān)系無非是相等或加1、減1三種情況。

數(shù)學(xué)教學(xué)要用數(shù)學(xué)的眼光超越情境，提煉出數(shù)學(xué)模型，以適應(yīng)廣泛應(yīng)用的需要。以下就是三種植樹類型分別對應(yīng)的關(guān)系模型、式模型和形模型。我們來看形模型，點(diǎn)和段在一一對應(yīng)中直觀地解釋棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系。

抽象，從現(xiàn)實(shí)進(jìn)入數(shù)學(xué)，形成數(shù)學(xué)研究的對象；推理，讓歸納和演繹相輔相成，促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展；模型，使數(shù)學(xué)回歸現(xiàn)實(shí)，構(gòu)建起數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁。借助幾何直觀讓學(xué)生浸潤于數(shù)學(xué)思想之中，從而凸顯數(shù)學(xué)思想所承載的獨(dú)特的、鮮明的學(xué)科育人價值。

借助幾何直觀提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)建立起來的思想、方法，以及用數(shù)學(xué)的思想方法處理和解決問題的能力。

1.變生澀抽象為具體直觀

在“抽屜原理”中，怎樣幫助學(xué)生理解模型中詞語表達(dá)的含義一直是教師們困惑的地方?？蓢L試用反證法從結(jié)論入手，結(jié)合操作、畫圖來幫助學(xué)生理解這些詞語的數(shù)學(xué)意義，從而進(jìn)一步地理解“抽屜原理”的本質(zhì)。

先分別出示4種放法，逐一分析后發(fā)現(xiàn)都符合“總有一個筆筒里至少有2支筆”，再沒有其他放法了，也就證明了“把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒，不管怎樣放，總有一個筆筒里至少有2支筆”。先橫向觀察，發(fā)現(xiàn)關(guān)注的是每種放法中放得最多的那個筆筒。再縱向比較，發(fā)現(xiàn)尋找的是放的“最多”的筆筒中“最少”的鉛筆數(shù)量。通過比較分析，經(jīng)歷在“最多”中找“至少”的過程，從而明白了“抽屜原理”描述的規(guī)律本質(zhì)就是“至多”里面的“至少”。

2.變“拿來主義”為自主構(gòu)造

教育的最高境界是實(shí)現(xiàn)自我教育，只有善學(xué)的人才會化難為易、化繁為簡、化整為零。

六年級上冊《數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形》中的例2是一個無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題，對學(xué)生來說非常抽象。

結(jié)合分?jǐn)?shù)的意義，學(xué)生用圓、線段、正方形等基本幾何圖形直觀地描述出了算式的內(nèi)容，但感到困惑的是從圖中還是無法確定算式的結(jié)果。

雖然沒有看出答案，但借助直觀圖已經(jīng)看出了圖形的變化趨勢，隱隱約約地感覺該算式的結(jié)果應(yīng)該與“1”有關(guān)。接下來借助圖形展開想象，如果無限地加下去，空白部分就越來越小，和就越來越接近于1，當(dāng)加數(shù)個數(shù)無限多時，顏色將整個圖形涂滿，和就是 1。

當(dāng)面對無限的算式感到迷茫時，可以基于經(jīng)驗(yàn)自主構(gòu)圖展開研究；當(dāng)圖形無法直接解決問題時，可以借助圖形展開想象，從變化趨勢中推想出無限的結(jié)果。

聚焦“幾何直觀”，面對圖形時應(yīng)該不只去問：“你看到了什么？”更重要的是“你思考了什么？聯(lián)想到了什么？想象到了什么？發(fā)現(xiàn)了什么？依據(jù)是什么？”

數(shù)學(xué)有形，素養(yǎng)無形。核心素養(yǎng)期待遇見有智慧的教師，智者見智，智者才能育智。只有自身具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的意識，并能付諸教學(xué)實(shí)踐之中，才能培養(yǎng)出擁有核心素養(yǎng)的人。

（作者單位：武漢市漢口輔仁小學(xué)）