學(xué)生怎樣想 教師就怎樣講

張清華

“雞兔同籠”問(wèn)題的根本模型是二元一次方程組。小學(xué)教學(xué)雞兔同籠的目的不是為了完美解題，是為了“育人”——培養(yǎng)小學(xué)生猜測(cè)、有序思考及邏輯推理的能力，感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。而日常教學(xué)中老師們還是囿于教解題模式，滿堂灌。在這樣的課堂上，教師教得很費(fèi)力，學(xué)生學(xué)得很沒(méi)勁。

怎樣在“雞兔同籠”的教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？關(guān)鍵是以生為本，學(xué)生怎樣想，教師就怎樣講。

學(xué)生會(huì)怎樣想——直覺(jué)、猜測(cè)、估算

四年級(jí)下學(xué)期的學(xué)生已能熟練地口算較簡(jiǎn)單的兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)，并能熟練地估算，這更促使了學(xué)生樂(lè)于去猜、去試。所以，當(dāng)出示“雞兔同籠”的原題后，應(yīng)讓學(xué)生的熱情燃燒起來(lái)，讓學(xué)生靠自己的猜測(cè)能力解決這個(gè)古代趣題。

快速地提問(wèn)沒(méi)有給學(xué)生留下思考的時(shí)間和空間，學(xué)生的情感沒(méi)有釋放出來(lái)。教師們常依照教材，將“雞兔同籠”的原題撤下，并馬上教列表法、假設(shè)法。這樣教，沒(méi)有尊重學(xué)生想猜、會(huì)猜的情感和能力，而是牽著學(xué)生的鼻子去套程序，為解題而解題。

猜測(cè)法是最直觀、最樸素、最開(kāi)放的思維方法，是科學(xué)發(fā)明必備的品質(zhì)。新課標(biāo)（2011版）指出：“學(xué)生應(yīng)該有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程”。

片斷一：猜數(shù)

出示原題后，我請(qǐng)學(xué)生們猜：籠子里雞多還是兔多？為什么？

生1：雞比兔多，因?yàn)槿绻?5只全是雞就有70只腳，如果全是兔就有140只腳，70離94近一些，140離94太遠(yuǎn)了。

生2：如果雞和兔對(duì)半分，假設(shè)都是17只，腳共有102只，也超過(guò)94了，說(shuō)明兔應(yīng)比雞少。

師：17+17=34，不符合“上有35頭”，的確是雞多兔少！籠中到底有多少只雞？ 多少只兔？

生1：假設(shè)30只雞、5只兔，共80只腳。腳太少了，說(shuō)明雞猜多了，兔少了。

生2：那就假設(shè)25只雞、10只兔，共90只腳。（5只、5只地算，是學(xué)生從小就常用的計(jì)算方式）

生3：90已很接近94了，就一只只地舉；24只雞、11只兔共92只腳；23只雞、12只兔共94只腳，成功了！

學(xué)生在愉悅的猜測(cè)游戲中能準(zhǔn)確地理解題意，提高估算能力，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受到極端思想、逼近思想，得到積極的情感享受。并誘發(fā)學(xué)生深入地思考：猜來(lái)猜去，有規(guī)律嗎？

教師應(yīng)怎樣講——思想、文化、過(guò)程、興趣

片斷二：列表、假設(shè)

師：為了找規(guī)律，我們可以把每種情況都按順序列舉出來(lái)，但此題雞和兔共35只，全列出來(lái)，有30多種，太多了，你有辦法簡(jiǎn)化嗎？

生：把只數(shù)改小一點(diǎn)。

師：好?。ń滩闹械睦?是白話文，師將其以古文出示）

例1.“今有雉兔同籠，上有八頭，下有二十六足，問(wèn)雉兔各幾何？”

師：你對(duì)表格有什么疑問(wèn)嗎？

生：我對(duì)第一列和最后一列有疑問(wèn)，因?yàn)槭恰半u兔同籠”，雞和兔都不能是0。

師：請(qǐng)看第一排數(shù)（填完后的表），有什么規(guī)律？（每次減1）第二排數(shù)有什么規(guī)律？（每次加1）第三排數(shù)有什么規(guī)律（每次加2）。

師：從整體上看，第一列和最后一列都符合規(guī)律，所以填上這兩種極端的情況后才是完整的。你能利用表中的規(guī)律找到更簡(jiǎn)便的方法嗎？（學(xué)生充分地思考、討論后歸納假設(shè)法并列算式。假設(shè)全是雞……）

師：這種假設(shè)全是雞的方法，運(yùn)用了數(shù)學(xué)里的極端思想，我們常常稱為假設(shè)法。這種方法有什么優(yōu)點(diǎn)？

生：不用一個(gè)一個(gè)地列舉……

杜威說(shuō)：“教育的過(guò)程是一個(gè)持續(xù)不斷生長(zhǎng)的過(guò)程”。教學(xué)中，猜數(shù)游戲激發(fā)了學(xué)生的內(nèi)需——化繁為簡(jiǎn)、列表、找規(guī)律；通過(guò)列表，學(xué)生又迸發(fā)出了“假設(shè)法”的靈感。這樣，學(xué)生經(jīng)歷了“假設(shè)法”的生長(zhǎng)過(guò)程。若教師將“假設(shè)法”硬灌給學(xué)生，學(xué)生體驗(yàn)不到“自然生長(zhǎng)”的快樂(lè)，就不會(huì)有“素養(yǎng)”的積累和提升，就背離了數(shù)學(xué)廣角的初衷。

實(shí)際教學(xué)中教師很困惑：一節(jié)課的時(shí)間有限，是教猜測(cè)法？ 列表法？還是假設(shè)法？假設(shè)法是教一種情況、還是兩種情況都教……

新課標(biāo)指出：“編入一些拓寬知識(shí)或者方法的選學(xué)內(nèi)容，增加的內(nèi)容應(yīng)注重于介紹重要的數(shù)學(xué)思想方法，而不應(yīng)該片面追求內(nèi)容的深度、問(wèn)題的難度、解題的技巧”。我們要從學(xué)生身上找答案：學(xué)生需要什么？學(xué)生一節(jié)課能“富有個(gè)性地”學(xué)到多少？

顯然，在小學(xué)教學(xué)“雞兔同籠”，不是為了完美解題！教材只出現(xiàn)了假設(shè)全是雞的情況，這符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣——按從小到大的順序思考，這樣安排，降低了學(xué)習(xí)的難度。我認(rèn)為這一環(huán)節(jié)是學(xué)生的思維從感性的猜測(cè)發(fā)展到理性的推理的一個(gè)過(guò)程。能力強(qiáng)的學(xué)生，思路可以走得遠(yuǎn)一些，可研究不同的解法，能力稍弱的學(xué)生不必勉強(qiáng)。只要學(xué)生盡興了、投入了、思索了，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就在積極提升。

古代的“雞兔同籠”充滿童趣，今天的孩子也需要童年、童趣，還需要思想、文化。教學(xué)中，我用猜答案營(yíng)造游戲的課堂氛圍；用古文呈現(xiàn)例題，因?yàn)楣盼挠许嵚筛?，學(xué)生覺(jué)得好玩兒；用問(wèn)題激勵(lì)學(xué)生猜一猜，雞多還是兔多？再猜一猜，雞有幾只？兔有幾只？猜來(lái)猜去，有規(guī)律嗎；用古人的研究開(kāi)課，亦用古人的研究結(jié)束，學(xué)生呼吸著文化的氣息，課上課下都充滿好奇。

我們不受課堂的時(shí)空局限，也不要求統(tǒng)一的效果，更不需要“滿堂灌”。因?yàn)槲覀儾恢皇窃谇蠼?“雞兔同籠”這道題，更是在研究和賞析“雞兔同籠”的歷史文化，希望人人都得到數(shù)學(xué)文化的熏陶。

（作者單位：華中科技大學(xué)同濟(jì)醫(yī)學(xué)院附屬小學(xué)）