運用結構性材料，助推學生提出問題

盧特 吳興元

【教學內容】人教版教材五年級上冊第91～92頁“三角形的面積”。

【教學目標】

1.理解三角形面積計算公式的推導過程，會正確計算三角形的面積。

2.通過猜測、操作、觀察、比較等數(shù)學活動，進一步理解轉化思想方法在探索三角形面積計算中的作用，培養(yǎng)空間想象能力。

3.借助教學材料和生成資源，初步培養(yǎng)主動質疑和提出問題的能力。

【教學過程】

一、喚醒經(jīng)驗，提出問題

1.回憶舊知（略）。

2.提出問題。

教師板書：三角形的面積。

師：今天我們要研究三角形的面積，你想到了什么問題？

生1：三角形是不是也可以像平行四邊形一樣，用轉化的方法來找到面積計算公式？

師：提出了一個好問題。你們覺得能轉化嗎？

大部分學生認為能轉化。

師：還有什么問題嗎？

生2：三角形可以轉化成什么圖形呢？

生3：會不會也像平行四邊形那樣用割補的方法轉化呢？還有別的轉化方法嗎？

生4：轉化后三角形的面積怎么求呢？

教師結合學生回答，提煉并板書了兩個問題：轉化成什么圖形？面積怎么計算？

師：同學們提出的問題都很有價值，值得研究。

【評析】在這個教學環(huán)節(jié)，盧老師讓學生回顧平行四邊形面積計算公式的推導過程，喚醒學生已有的活動經(jīng)驗。一方面教學銜接非常流暢，另一方面也促使學生自然而然地思考：探索三角形的面積計算公式，是否能像平行四邊形那樣進行轉化研究呢？從已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)，為學生提供有聯(lián)系的材料，有利于學生提出問題，并且提出指向于本節(jié)課教學重點的問題。

二、對比材料，探索發(fā)現(xiàn)

1.自主探索。

師：方格紙上有一個三角形，請你完成學習紙上的問題。

A.畫一畫：可以把三角形轉化成什么圖形？

B.算一算：這個三角形的面積是多少？

學生獨立完成，教師巡視。

2.質疑交流。

（1）呈現(xiàn)學生A作品和方法一：

算式：6×4÷2=12平方厘米

師：請大家仔細看看這個同學的作品和算式，有問題要問他嗎？

生1：算式中為什么要除以2？

生A：6×4算出平行四邊形的面積，因為這個平行四邊形里有兩個完全相同的三角形，所以還要除以2。

生2：這兩個三角形為什么是相同的？

生A：這兩個三角形的高都一樣，實際上就是同樣的一個三角形轉過來就可以拼成平行四邊形了。

師生合作，在黑板上用卡片再現(xiàn)了方法一的過程。

小結：我們把三角形轉化成平行四邊形，平行四邊形面積=底×高，那么這個三角形的面積就是一半，要除以2。這個同學的轉化方法很特別，掌聲送給他。

（2）呈現(xiàn)學生B作品和方法二：

算式：6×4÷2=12平方厘米

師：看了這個同學的方法，你們有什么問題要問他嗎？

生1：為什么這種方法和第一種方法轉化成的圖形不一樣，但算式是一樣的？

生B：雖然拼法不一樣，但是拼成的長方形面積也是原來三角形面積的2倍，所以也是6×4算出長方形的面積，再除以2算出三角形的面積。

生2：你怎么證明長方形的面積是原三角形面積的2倍？

生B：因為補上去的兩個小三角形可以拼成一個大三角形，這個拼成的三角形和原來的三角形完全相同，所以長方形的面積是原三角形面積的2倍。

師生合作，在黑板上用卡片再現(xiàn)方法二的過程。

（3）一起呈現(xiàn)學生C作品方法三和方法四：

算式：6×2=12平方厘米 算式：4×3=12平方厘米

師：對于這兩種方法，你們有什么問題要問這兩個同學嗎？

生1：前面兩種方法的算式里都有除以2，為什么你們的算式里沒有除以2呢？

生C：我把上面的小三角形剪下來補到下面，轉化成了一個長方形 ，長6厘米，寬2厘米，面積就是6×2=12平方厘米，轉化前后面積不變，所以不用除以2。

生C：我是把下面的小三角形剪下來補到上面，轉化成一個豎著的長方形，長方形的面積4×3=12平方厘米，轉化前后面積不變，所以也不用除以2。

師：對于這兩個同學的回答，你們明白了嗎？

學生表示理解，對兩個同學的解釋表示滿意。

生2：在第三種方法中，兩個小三角形的面積是一樣的嗎？

生C：我是沿著三角形邊的中點分割的，所以面積是一樣的。右邊分割的時候是同樣的道理，所以就把三角形轉化成了面積相等的長方形。

生3：算式“6×2”的2哪里來的？

生C：是4的一半得來的，本來三角形的高是4，因為分割下來后只有一半了，就是4÷2得到的。

師：聽了你的解釋，我們知道了，如果寫完整這個算式的話，就是6×（4÷2）。大家明白了嗎？

學生點頭表示明白。同樣道理，方法四其實就是6÷2×4。師生合作把方法三和方法四用卡片展示在黑板上。

3.梳理歸納。

師：看了黑板上的這四種方法，你有什么想說的？

生：三角形是可以轉化成我們學過的圖形的，而且既可以轉化成平行四邊形，也可以轉化成長方形。

生：前面兩種轉化的方法，都是轉化成平行四邊形，是拼起來的，面積是原來三角形的2倍。后面兩種轉化的方法不一樣，是在一個三角形里割補的，面積不變。

師：兩個同學說得真好！我們發(fā)現(xiàn)，研究三角形的面積，可以有不同的轉化，但都能得到我們要的結果。（板書：拼組法、割補法）你們還有新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：不管是拼組轉化，還是割補轉化，在計算三角形面積時都用到了6×4÷2=12平方厘米，所以三角形的面積可以用底×高÷2計算。

師生共同歸納，板書得到：三角形的面積=底×高÷2，S=ah÷2

【評析】在這個環(huán)節(jié)，盧老師選擇了一種創(chuàng)新的學習材料——一個有方格背景的三角形，數(shù)據(jù)也是經(jīng)過精心選擇的。這種有結構的材料非常符合學生的探究水平。一方面學生可以借助方格圖聯(lián)想到如何轉化，讓自主探究有支架可撐。另一方面又有利于學生形成不同的轉化方法：拼組（用兩個相同的三角形拼成平行四邊形），割補（把未知的三角形轉化成等積的長方形），而且這兩種方法又有不同的具體形式。教學中，學生出現(xiàn)了4種不一樣的畫圖轉化形式，給課堂提供了豐富的生成資源。第三方面也是最重要的是，借助學生的自主探索作品，盧老師有順序地、有側重地把這些結構性資源反饋給學生，加強學生互相質疑提問能力的培養(yǎng)。學生之間的問答，盧老師適當穿插組織，及時有效指導，引導學生持續(xù)深入思考，達到了以問促思和突破教學難點的目的。

三、練習鞏固，應用提升

1.基本練習。

計算下面三角形的面積。

（1）請學生獨立觀察，計算。

（2）交流。

生1：第一個三角形的面積是9×6÷2=27平方厘米。我把它轉化成底是9厘米，高是6厘米的平行四邊形來想的，三角形面積是它的一半。

生2：第二個三角形的面積是24平方厘米。我把這個三角形看作一個長方形。8×6÷2的結果就是一個三角形的面積。

師：給兩個同學點贊，看到三角形，能想到我們剛才的轉化過程，想象能力不錯。

2.變式練習。

在方格紙中畫一個面積是6平方厘米的三角形。

（1）學生獨立畫。

（2）交流。

師：請想一想，大家畫出來的三角形，形狀一樣嗎？

生：可能不一樣。因為只要面積是6平方厘米就行，底和高不一定相同。

呈現(xiàn)部分學生作品，驗證果然如此。只要底和高的乘積一樣，三角形的面積就一樣。

師：你們還有什么新的想法？

生：我想，就算是底和高一樣，也能畫出不一樣的三角形。

呈現(xiàn)部分學生作品，果然如此。等底等高的三角形，面積一定相等。

生：我發(fā)現(xiàn)，面積是6平方厘米的三角形，可以畫出無數(shù)個。

（3）教師結合學生發(fā)言，用幾何畫板表示上述兩種變化。

【評析】在這個環(huán)節(jié)，盧老師的練習設計分為兩個層次。第一層次是基本練習，鞏固三角形面積計算公式，同時也讓學生回顧對公式的理解，搭建空間想象的機會。第二層是變式練習，略有提升，只知道三角形的面積，來畫三角形，思考三角形的形狀。這道練習題又有兩層用意。一是通過畫圖和交流，使學生知道面積一樣的三角形，形狀可以不同；二是借助學生的新問題，通過正反兩方面的辨析，使學生明白等底等高的三角形，面積一定相等，但形狀也可以不同。這種有結構、有層次，能啟發(fā)學生深度思考，培養(yǎng)空間觀念的練習材料，效果很好。

四、課堂總結，引發(fā)新問題

1.回顧總結（略）。

2.提出新問題。

師：三角形面積計算公式我們已經(jīng)掌握，你又想到什么新的問題嗎？

生1：梯形的面積怎么計算？是不是也可以把梯形轉化成學過的圖形？

生2：圓的面積怎么計算？圓的能轉化成方的嗎？

生3：一些不規(guī)則圖形的面積怎么計算？

生4：像樹葉、手掌這些生活中的物品面積怎么計算呢？

師：同學們很厲害，聯(lián)想到很多新問題，好問題。我們會在后面的學習中來解決這些問題，當然如果你等不及的話，可以先去研究研究。

【評析】在這個環(huán)節(jié)，盧老師首先和學生一起回顧三角形面積的學習過程，除了知識和技能的總結，重要的是再提解決新問題的方法——將未知轉化為已知。同時也緊扣培養(yǎng)學生提出問題的目標，啟發(fā)學生提出新的問題，讓問題延續(xù)至課后。既為后續(xù)的數(shù)學學習起到鋪墊的作用，又培養(yǎng)了學生的問題意識，增強了學生提出問題的能力。

【總評】

落實培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，不能“空穴來風”，即沒有好的材料學生提不出問題，也不能“守株待兔”，即教師要為學生創(chuàng)造合適的提問機會和條件，同時教師要有所作為——在關鍵處進行組織和引導。以盧老師執(zhí)教的“三角形的面積”為例，如果我們按部就班地進行教學，也能夠落實知識技能目標，滲透轉化思想方法，但在培養(yǎng)學生提問能力上就會毫無作為。我們認為：在這節(jié)課上，教師有四個點可以做文章，運用結構性材料，助推學生提出問題。

（一）借助學生已有經(jīng)驗，自然提出問題

盧老師很自然地和學生聊起最近的學習，聊起平行四邊形的面積計算公式以及公式的來歷，借助課件學生也很自然地想到三角形面積計算是否也是這樣。學生提出的四個問題，經(jīng)過交流后歸納為兩個主要問題：轉化成什么圖形？面積怎么計算？

（二）運用學生生成資源，互相質疑問答

盧老師設計的核心問題探究，有意識地用方格圖作背景，這是有所為的——學生比較容易想到兩種不同思路的轉化方法：拼組和割補。學生作品又呈現(xiàn)出豐富的四種具體形式，這為互相提出問題、互相質疑問題創(chuàng)造了條件。盧老師在組織反饋中也是有所為的，他首先反饋方法一，學生提出“為什么要除以2？”再反饋方法二，學生提出“為什么算式一樣，轉化的圖形不一樣？”然后一起反饋方法三和方法四，學生提出“為什么這兩個算式?jīng)]有除以2？”……這里的每一個問題都是學生的真實思維暴露，都是好問題。這些好問題都來自這種有結構的材料，來自學生的生成資源。這是本課教學的一大亮點。

（三）設計有層次的練習，合理提出問題

本課的練習設計層次清楚，特別是練習2的設計，獨具匠心。引發(fā)了學生一系列的新思考：面積一樣的三角形，形狀會一樣嗎？為什么不一樣呢？底和高一樣長，畫出的三角形形狀一樣嗎？這樣的三角形可以畫多少個呢？教學中，盧老師主要抓住了兩個核心問題，有順序地組織交流和反饋。如果教師更大膽一些，讓學生自己來逐一交流，學生的學習效果會更好。

（四）回顧有結構的板書，順勢產(chǎn)生新問題

課的最后，盧老師很有經(jīng)驗地讓學生整體觀察板書，一方面回顧總結今天的學習收獲：有指向于知識技能的，也有指向于學習過程和方法的。更重要的是，教師借助有結構的板書，又為學生搭建了一次提出問題的機會：學習了三角形面積計算之后，你又想到了什么新的問題？順勢而為，學生想到了其他圖形，比如梯形、圓形，在探索它們的面積計算公式時，會不會也要用到轉化方法呢？學生想到了遇到不規(guī)則的圖形，計算面積時是否可以轉化為學過的基本圖形呢？這也都是好問題。

總的來說，這節(jié)課較好地借助了一些有結構性的材料，把握住了給予學生提出問題的時機，組織學生提出問題和交流反饋也很到位，彰顯了教師關于培養(yǎng)學生四能特別是提出問題能力的理念和思考。

（浙江省海寧市實驗小學 314400 浙江省海寧市教師進修學校 314400）