提煉基本活動經(jīng)驗　感悟數(shù)學理性之美
——以一道初中數(shù)學競賽試題的多種解答與變式拓展為例

白雪峰

(北京教育學院朝陽分院　100026)

《義務教育數(shù)學課程標準( 2011年版) 》( 簡稱《標準( 2011 版) 》)明確提出：通過數(shù)學學習，學生能“獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.”[1]筆者認為，這“四基”中的“基本活動經(jīng)驗”的提出，是對傳統(tǒng)數(shù)學學習認識的重要突破，它的獲得也是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志.

“基本活動”主要是指觀察、猜想、實驗、計算、作圖、驗證、證明等，各種活動的經(jīng)驗都是在“做”和“思”的過程中不斷積淀，在數(shù)學學習過程中逐步積累的.張奠宙教授認為，數(shù)學基本活動經(jīng)驗就是指在數(shù)學目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性認識向理性認識飛躍時所形成的認識.因此，數(shù)學基本活動經(jīng)驗一般包含基礎性、發(fā)展性和個體性三個基本要素.

平面幾何的學習過程不僅可以涵蓋上述數(shù)學基本活動，同時，基于教師的引導和指導，學生還可以通過回顧與反思、總結與概括等學習環(huán)節(jié)，提煉活動經(jīng)驗，形成基本策略，提升理性認識.下面就以2015年上海初中數(shù)學競賽第9題為例，與同行分享這方面的思考.

問題如圖1，在△ABC中，BC=a，CA=b，∠ACB=60°，△ABD為正三角形，P為其中心，求CP的長度.

圖1

問題分析從本題所給出的圖形上容易認為這是一個求線段長度的“直線型”問題，但實質上是與圓有關的問題.因此，確定圓心和半徑是解決該問題的關鍵步驟.

1　原試題的多種解答

為使多種解答更加簡明，筆者先求出多解中需要用到的一些結果，以便求解時可以直接引用.

解如圖1，連接PA、PB，則∠APB=120°，

又∠ACB=60°，

所以∠APB+∠ACB=180°，

所以C、B、P、A四點共圓.

(Ⅰ)

因為△ABD為正三角形，

(Ⅱ)

(Ⅲ)

所以∠1=∠2=30°.

(Ⅳ)

以上結論(Ⅰ)至(Ⅳ)以及圖1中的輔助線，在以下多種求解中將直接引用.

解法1如圖2，設AB與PC相交于點Q，

因為C、B、P、A四點共圓，

圖2

所以∠2=∠3.

又因為∠1=∠2，所以∠1=∠3.

注意到∠4是△CPA與△APQ的公共角，

所以△CPA∽△APQ.

即CP·AQ=AP·CA.……①

又因為∠1=∠2，∠4=∠5.

所以△CPA∽△CBQ.

即CP·QB=AP·CB.……②

由①+②，

得CP(AQ+QB)=AP(CA+CB).

所以CP·AB=AP(a+b).

解法2如圖3，延長BC到點E，使得CE=CA.

圖3

連接AE，因為∠ACB=60°，

所以∠ACE=120°.

所以∠3=∠4=30°.

又∠1=∠2=30°，所以∠1=∠3.

因為C、B、P、A四點共圓，

所以∠5=∠6.

所以△CPA∽△EBA.

即CP·AB=AP·EB.

所以CP·AB=AP(EC+CB).

所以CP·AB=AP(CA+CB).

以下同解法1.

解法3如圖4，以點A為頂點，AC為一邊，作∠CAE=30°，AE交CP于點E.

圖4

則有∠1=∠3=30°，∠AEC=120°，

∠AEP=60°，EA=EC.

所以∠AEP=∠ACB.

因為C、B、P、A四點共圓，

所以∠5=∠6.

所以△ACB∽△AEP.

所以CP·AB=AP(AC+CB).

以下同解法1.

事實上，還可以采用如下添加輔助線的方法：如圖5，延長AC到點E，使得CE=CB，再連接BE；或者，如圖6，以點B為頂點，BC為一邊，作∠CBE=30°，BE交CP于點E.

圖5

圖6

由圖5、圖6都可以解答本題，請感興趣的讀者自己完成.

解題是學生數(shù)學學習過程中不可或缺的部分,回顧上述問題的分析與多種解答過程，我們可以看到：通過經(jīng)典問題及對其多角度、多方面的學習，不僅可以幫助學生深入系統(tǒng)地理解數(shù)學知識和解題思路方法的本質規(guī)律，促進學生深刻認識蘊含其中的基本的數(shù)學思想，還可以引導學生深刻感受幾何學習中的美，這種美不僅包括幾何圖形中呈現(xiàn)出來的對稱美、奇異美，解題過程表現(xiàn)出來的簡潔美、統(tǒng)一美，還包括從這些表象中透視出來的更為實質性的數(shù)學理性之美.

2　原競賽試題的變式拓展

在圖2和解法1中，我們注意到CP為∠ACB的平分線，從而可以得到變式1.

變式1如圖7，在△ABC中，∠ACB=60°，△ABD為正三角形，點P為其內心.

證明如圖7，在解法1中，△CPA∽△APQ.

圖7

即AP2=CP·PQ.

①

又△CAP∽△CQB.

即CP·CQ=CA·CB.

②

由①+②，

得CP·PQ+CP·CQ=AP2+CA·CB.

說明在本題求線段CP長的過程中，存在多種解答，其中，解法1用到兩次三角形相似的知識，比較繁瑣，但是，從這兩次三角形相似所得到的比例式中，我們不但解答了本題，還得到變式1的解答，可謂化繁為簡，一舉兩得，因此，解法1是值得關注的解法.

原競賽試題是在△ABC外作正△ABD，正三角形是一種特殊的正多邊形，以AB為邊作其他正多邊形又會得到怎樣的結論呢？經(jīng)過探索，我們得到下面的變式2.

變式2如圖8，在△ABC中，∠ACB=120°，以AB為一邊，在△ABC外作正六邊形ABDEFG，其中心為點P，AB與CP交于點Q.

圖8

求證：(1)CP=CA+CB；

(2)CP2=CA·CB+AB2；

說明從解法1到變式1的各種解答中，所運用的基礎知識和思想方法都是課本中規(guī)定的，既不超前也不超標，也是學生常用的通性通法.在變式2中，筆者將用到一些課外知識和思想方法，以期開闊教師和學生的視野.

證明(1)如圖8，連接PA、PB，則△PAB為正三角形.

PA=PB=AB，

∠APB=∠PAB=∠PBA=60°.

又∠ACB=120°，

所以C、B、P、A四點共圓.

由托勒密定理，得

CP·AB=AC·BP+CB·AP.

所以CP=CA+CB.

(2)在△ACB中，由余弦定理，得

AB2=CA2+CB2-2CA·CBcos ∠ACB

=CA2+CB2-2CA·CBcos 120°

=CA2+CB2+CA·CB；(*)

將(1)中等式CP=CA+CB兩邊分別平方，得

CP2=CA2+CB2+2CA·CB

=CA·CB+CA2+CB2+CA·CB

又由(*)式，所以CP2=CA·CB+AB2.

(3)如圖8，因為C、B、P、A四點共圓，

所以∠ACP=∠ABP=60°，

∠BCP=∠PAB=60°.

因為S△ACB=S△ACQ+S△BCQ，

所以CA·CBsin 60°

=CA·CQsin 60°+CB·CQsin 60°.

所以CA·CB=CA·CQ+CB·CQ.

把上式兩邊同時除以CA·CB·CQ，得

說明《標準( 2011 版)》和解題研究的實踐告訴我們，在教學中，教師不能僅僅著眼于解題活動和技能訓練，更不能單純服務于應試，讓學生成為解題機器.更重要的，還是要通過解題學習，幫助學生深化和豐富對數(shù)學知識的理解，鞏固相關基本技能，開拓數(shù)學學習視野.長此以往，學生才能在學習解決問題的過程中，獲得明晰的思維條理，深刻的思考能力，形成基本的研究方法和解題策略，并學會欣賞隱藏其中的數(shù)學理性之美.[1]

數(shù)學教育的目標之一就是發(fā)展學生的理性思維，它應處于學生數(shù)學素養(yǎng)的核心地位，而數(shù)學邏輯推理論證的思維過程又是培養(yǎng)學生理性思維的重要途徑.筆者認為，在平時的數(shù)學解題教學中，教師要以數(shù)學知識為載體，通過多樣化的學習方式，在引導學生掌握和運用數(shù)學知識解決問題的過程中，緊緊抓住一般化與特殊化之間的辯證關系，適時適度適當?shù)剡M行一題多解和變式引申，有意識地指導學生對所研究問題的思維過程進行深入挖掘，深刻總結，系統(tǒng)歸納，高度概括，不斷提煉蘊含其中的數(shù)學思想方法和基本活動經(jīng)驗，從而將發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)落到實處.[2]