數(shù)學建模在高中數(shù)學課堂教學中的實踐
——以《函數(shù)的應用》為例

劉　丹

(北京師范大學附屬實驗中學　100032)

數(shù)學建模是運用數(shù)學思想、方法和知識解決實際問題的過程，它搭建了數(shù)學與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學應用的重要形式，也是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分．數(shù)學建?；顒拥幕具^程如下：

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(下簡稱《課程標準(2017)》)指出，通過數(shù)學建模的學習，“學生能有意識的用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學與現(xiàn)實之間的關聯(lián)，學會用數(shù)學模型解決實際問題，積累數(shù)學實踐的經(jīng)驗．”那如何在課堂教學中“切入”應用和建模的內(nèi)容呢？筆者以《函數(shù)的應用》為課題做了一次嘗試.

1　課題分析

函數(shù)是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的最基本的數(shù)學語言和工具，函數(shù)模型在生活中有廣泛的應用．《函數(shù)的應用》是在學生學習了函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的概念與性質(zhì)后進行的一次綜合應用，學生已經(jīng)掌握了多種函數(shù)模型，具備了一定的建?；A．本節(jié)課選擇了“北京市機動車保有量情況”為研究背景，這是北京的熱點問題，具有實際意義，不僅能調(diào)動學生的積極性，也能體現(xiàn)數(shù)學的應用價值.

2　教學設計與實施

2.1　前測評估，了解學情

在本節(jié)課之前，筆者對授課班級進行了前測，以評估他們的學習情況．前測如下：

近幾年，北京市機動車保有量急劇增長，為了研究北京市機動車保有量的發(fā)展情況，小明調(diào)查了三年的機動車保有量數(shù)據(jù)：

年份(x)第1年第2年第3年機動車保有量(x)(單位:萬輛)351405487

若機動車保有量y是年份x的二次函數(shù)，請解答下面的問題：

(1)到第4年，北京市機動車保有量將達到多少萬輛？

(2)北京市機動車保有量將在哪一年超過1000萬輛？

題后反思：你如何評價這個應用問題？

前測的條件清楚準確，原始問題數(shù)學化的過程比較簡單，學生只需要利用待定系數(shù)法確定函數(shù)模型即可解決相關問題．但在題后反思中，大部分同學無法作出清晰的評價或僅能作出如“挺實用的”等簡單評價．由此可以看出，學生的基本知識和基本技能掌握得較好，但是應用數(shù)學的意識不強，也缺乏對問題進行評價與反思的經(jīng)驗.

2.2　設計教學，開展實踐

基于對學生學情的把握，本節(jié)課的教學分四個環(huán)節(jié)進行.

環(huán)節(jié)一：復習交流，引出問題

在引入階段，師生共同回顧前測并交流題后反思．學生認識到常見的應用問題往往條件有限、數(shù)據(jù)量少、函數(shù)模型唯一確定，與現(xiàn)實生活有一定的差距，引出后續(xù)的探究活動.

環(huán)節(jié)二：分析問題，探求方法

在學生交流的基礎上，筆者展示了本節(jié)課的問題情境，并引導學生自主探究問題1.

閱讀材料——北京機動車保有量

作為一個人口約為2000萬的特大城市，北京市的交通擁堵問題一直比較嚴重．為了緩解擁堵，2010年12月，北京市公布了《關于進一步推進首都交通科學發(fā)展加大力度緩解交通擁堵工作的意見》，其中一條重要的措施就是實施小客車(含私人小客車和非私人小客車)限購政策.

2011年，小客車限購政策正式實施，從2011到2015年，小客車限購指標分別為24萬、24萬、24萬、12萬、12萬．在未來幾年中，小客車限購指標將減少至每年10萬．通過調(diào)控，北京市機動車(包含摩托車，小客車，貨車等)增長趨勢得到了一定的控制(見下圖)，截至2015年年底，北京市機動車保有量為562萬．市交通委此前發(fā)布規(guī)劃：力爭到2020年將全市機動車保有量控制在630萬輛以內(nèi).

根據(jù)材料中的信息，請你嘗試解決下面的問題.

問題1請你估計若不實行限購，2015年底北京市機動車保有量約為多少？

閱讀材料比前測更貼近實際，包含的數(shù)據(jù)和信息量較大，材料中的可用信息有待學生自己挖掘，學生需要對信息進行分析、篩選并利用不同的函數(shù)模型進行數(shù)據(jù)擬合和結(jié)果預測.

為了落實教學重點，筆者設計了自主探究、展示交流、討論小結(jié)三個學習活動，引導學生逐步掌握建立函數(shù)模型解決實際問題的步驟.

(1)自主探究

在這個環(huán)節(jié)中，學生借助圖形計算器進行自主探究．多數(shù)學生能正確的選擇數(shù)據(jù)(2002——2010年機動車保有量)并利用不同的函數(shù)模型進行擬合，得到相應的預測結(jié)果(部分結(jié)果見下)．

函數(shù)模型1：y=ax+b預測結(jié)果607萬

函數(shù)模型2：y=ax3+bx2+cx+d預測結(jié)果1207萬

函數(shù)模型3：y=a·bx預測結(jié)果789萬

函數(shù)模型4：y=a·xb預測結(jié)果470萬

(2)展示交流

在自主探究的基礎上，筆者請一名同學從數(shù)據(jù)提取、函數(shù)擬合、結(jié)果預測等方面展示她的研究過程，并鼓勵其他同學進行補充.

一方面，這是對問題進行再分析的過程．學生在闡述方案的同時，有意識的分析方案的合理性，探究能力得到提高，如一名同學在闡述自己思路的時候說到“通過觀察散點圖發(fā)現(xiàn)，機動車保有量的增幅先減小，再增大，因此我選用了三次函數(shù)模型對數(shù)據(jù)進行擬合”；另一方面，通過交流，學生直觀的感受到現(xiàn)實問題結(jié)論的多樣性．由此，筆者引導學生就兩個問題作進一步的探討.

(3)討論小結(jié)

①為什么會有不同的預測結(jié)果？

②是不是所有的預測結(jié)果都是合理的？

問題①讓學生認識到每種函數(shù)模型都只是近似的反映機動車保有量與年份之間函數(shù)關系，從而提供了對結(jié)果的不同預測．在對結(jié)果合理性的討論中，學生結(jié)合實際對結(jié)果進行了評價，如“利用模型y=a·xb預測的結(jié)果(470萬)比實行限購后的實際數(shù)據(jù)(562萬)小，不合常理”，“利用三次函數(shù)進行擬合的預測數(shù)據(jù)過大(1207萬)，不符合實際”等．學生對問題的認識得到提升，反思的意識得到加強.

通過本環(huán)節(jié)的學習與探討，學生認識到需要選取適當?shù)臄?shù)據(jù)，利用函數(shù)擬合的方法進行預測，并應該根據(jù)實際背景對結(jié)果進行檢驗．至此，建立函數(shù)模型解決實際問題的方法得以呈現(xiàn)，重點得到落實.

環(huán)節(jié)三：應用方法，解決問題

在問題1的基礎上，筆者向?qū)W生展示了問題2.

問題2請你預測一下按照現(xiàn)行的小客車限購政策， 2020年北京市機動車保有量控制在630萬以內(nèi)的目標能否達到？

題后反思：請你評價一下這個應用問題.

要解決問題2，學生需要理解機動車、小客車、私人小客車之間的關系，并對數(shù)據(jù)進行適當?shù)奶幚恚@為本節(jié)課的難點．為了突破難點，本階段學生采用了合作探究的學習方式.

首先，通過合作互助，學生能及時發(fā)現(xiàn)解題過程中的困難并予以克服，突破學習的難點．其次，在合作探究的過程中，學生能及時交流解題思路并在圖形計算器的支持下進行充分探索，有利于發(fā)展學生的創(chuàng)新思維.

在充分的探究后，學生從數(shù)據(jù)選取和函數(shù)模型兩方面交流了他們的方案.

方案一：對2002-2014年機動車保有量數(shù)據(jù)進行函數(shù)擬合；

方案二：對2011-2014年機動車保有量數(shù)據(jù)進行函數(shù)擬合；

方案三：將2015年機動車保有量加上每年的小客車限購指標；

方案四：對每年小客車保有量增量與限購指標的比值進行函數(shù)擬合；

……

對學生的探究成果筆者予以肯定，并引導他們對方案進行評價和改進．在這個過程中，學生對問題的認識逐步深入，也提出了一個相對更合理的方案.

改進方案：(1)根據(jù)相關數(shù)據(jù)，計算2002年到2015年非小客車(不限購部分)保有量，選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型進行擬合，預測2020年的非小客車數(shù)量；(2)計算出2015年小客車(限購部分)保有量并以此為基礎，根據(jù)之后每年的小客車限購指標預測2020年的小客車數(shù)量；(3)將(1)(2)的結(jié)果相加，得到最后的預測結(jié)果(約620萬)，并得出結(jié)論——基本能完成630萬的控制目標.

通過對問題2的探究，學生獲得了將數(shù)學知識運用于實際問題的成功體驗，本節(jié)課的難點得以突破．之后，通過“請你評價一下這個應用問題”這一設問，學生再次經(jīng)歷了題后反思的過程．與前測相比，學生已經(jīng)能有意識的從問題背景、解題方法、探究結(jié)果等方面來評價這個問題，反思的層次得到提升.

環(huán)節(jié)四：總結(jié)收獲，提升認識

在總結(jié)階段，師生共同總結(jié)了建立函數(shù)解決實際問題的基本步驟．在此基礎上，筆者指出，由于所學知識的限制，在問題解決的過程中，并未考慮更多的影響因素，并留下了拓展作業(yè)——上網(wǎng)搜集與北京交通有關的數(shù)據(jù)，提出相應的問題，并嘗試利用所學的知識解決問題．至此，本節(jié)課的教學得以完成.

3　總結(jié)反思

通過對《函數(shù)的應用》這節(jié)課的教學設計與實施，筆者有以下幾點感想.

1.在數(shù)學建模活動中，學生是認知活動的主體，教師是幫助者、促進者、引導者．在建模的教學中，方案的探索、實施、調(diào)整和反思應盡量由學生自主或合作探究完成，同時在評價學習效果時，無需過多的強調(diào)結(jié)果的正確性，應主要考查學生使用的數(shù)學方法是否得當，求解過程是否合乎常理，建模的結(jié)果是否有一定的實際意義.

2.數(shù)學建模本質(zhì)上是一個問題解決的過程，因此問題的設置是教學中關鍵的一環(huán)．數(shù)學建模的問題應來自于學生熟悉的日常生活、現(xiàn)實世界等多方面．同時，解決問題所涉及的知識、思想、方法應與高中數(shù)學課程內(nèi)容有聯(lián)系．由于課堂教學面對的是全體學生，因此問題的設計應該有梯度，以使所有學生都能有所收獲．以本節(jié)課為例，“前測——問題1——問題2——拓展作業(yè)”難度逐漸加大，不同發(fā)展水平的學生都可以在適當?shù)膶哟紊汐@得數(shù)學建模的經(jīng)驗.

3.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出，“教師應整體設計、分步實施數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動，引導學生從類比、模仿到自主創(chuàng)新，從局部實施到整體構想，……”．考慮到高一學生數(shù)學建模的經(jīng)驗不足，在本節(jié)課中，“發(fā)現(xiàn)和提出問題”這個環(huán)節(jié)主要由教師課前完成，在呈現(xiàn)問題情境時，也剔除了一些復雜的現(xiàn)實因素．隨著學生數(shù)學知識的擴充，數(shù)學能力的發(fā)展，我們還可以開展以數(shù)學應用和數(shù)學建模為主題的課外活動，讓學生進一步經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程.

4.由于數(shù)學建模的問題的來源更生活化，可用信息和數(shù)據(jù)量很大，因此，在問題解決的過程中，信息技術(如圖形計算器等)的使用是必要的．利用圖形計算器，學生能從多角度、多層次研究問題，為發(fā)展他們的創(chuàng)新思維提供了支持.

史寧中教授指出：“抽象、推理、模型”是高中階段的數(shù)學核心素養(yǎng)中最重要的三個要素”，數(shù)學建模的教學應當貫穿高中數(shù)學教育教學的全過程．作為教師，我們應當積極研究教學內(nèi)容，在課堂教學中為學生提供適于數(shù)學建模的素材和課題，讓學生積累發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的經(jīng)驗，促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展．