點到直線距離公式的研究性學習成果

桂　弢

(江蘇省清河中學 　223001)

1　問題的提出

已知平面上的點P(x0,y0)，直線l:Ax+By+C=0(A,B不全為0)， 求點P到直線l的距離d.

圖1

對于直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)外一點P(x0,y0)，過點P作PQ⊥l，垂足為Q. 過點P分別作x軸、y軸的平行線，交l于點M(x1,y0),N(x0,y2).

由Ax1+By0+C=0,Ax0+By2+C=0，得

PQ是Rt△PMN斜邊上的高，由三角形面積公式可知

當A=0或B=0時，此式仍然成立.

圖2

為什么要選擇等面積法呢？ 教學參考書是這樣解釋的：定義法是常規(guī)方法，思路比較清晰，但計算量較大；一般情況下，點到直線距離公式的推導是采用等面積法的思路.

不少教師教學時也是這樣說和這樣做的，這不禁讓人產(chǎn)生幾點疑惑：

1.定義法真的計算量較大嗎？一個例子就能說明這一問題嗎？

2.除了這兩種方法外，是否還有其他的推導方法或更簡潔的推導方法呢？

帶著這些問題，筆者設(shè)計了一次研究性學習活動，專門安排學生探究點到直線距離公式的推導. 放開手后，發(fā)現(xiàn)學生的創(chuàng)造力是巨大的，給出了不少新穎的推導方法. 現(xiàn)將學生的智慧結(jié)晶以及本人的一些思考整理出來介紹給大家，歡迎指正.由于特殊情形A=0或B=0對一般結(jié)論總是成立的，為了行文簡潔，下面只研究A≠0,B≠0的情形.

2　多視角探究，彰顯聯(lián)系

唯物辯證法認為事物是普遍聯(lián)系的. 所謂聯(lián)系，是指事物之間以及事物內(nèi)部諸要素之間的相互依賴、相互影響、相互制約和相互作用. 聯(lián)系具有普遍性、客觀性和多樣性. 用聯(lián)系的觀點看問題，可以讓我們的視野更開闊，看問題也更全面，聯(lián)系也是數(shù)學的本質(zhì)之一. 對于點到直線距離公式的推導，可以從多個角度進行探究，這正體現(xiàn)了不同數(shù)學模塊之間的內(nèi)在聯(lián)系.

2.1　定義的視角

將兩式分別平方并相加，得

(A2+B2)[(x1-x0)2+(y1-y0)2]

=(Ax0+By0+C)2,

點評由此可見，對于定義法，若用一般形式來處理，則其運算量可以比具體問題小很多.

2.2　軸對稱的視角

作出點P關(guān)于直線l的對稱點R，要求點P到直線l的距離，就是要先求出PR的長，然后再除以2即可，做法也很簡潔.

解析設(shè)點P(x0,y0)關(guān)于直線l的對稱點為R(m,n)，則

將兩式分別平方并相加，得

(A2+B2)[(m-x0)2+(n-y0)2]

=4(Ax0+By0+C)2，

點評此推導方法是一種迂回的做法，它與定義法有異曲同工之妙.

2.3　向量的視角

由于兩點間的距離公式是可以利用向量來推導的，那么點到直線的距離公式能否用向量來推導呢？不少學生產(chǎn)生了這樣的想法，回答是肯定的.

于是點P到直線l的距離

點評該推導方法簡潔明了，令人稱奇. 可見，向量是一種很重要的數(shù)學工具.

2.4　函數(shù)的視角

由于點P到直線l的距離就是點P到直線l上任意一點的距離的最小值，故可以通過建立目標函數(shù)，利用求二次函數(shù)的最小值來推導點到直線的距離公式，方法常規(guī)，想法自然，但對學生的運算能力有較高要求.

PM2=(x-x0)2+(y-y0)2

點評函數(shù)是中學數(shù)學的主要內(nèi)容，建立目標函數(shù)解題則是一種很重要的數(shù)學思想方法.

2.5　不等式的視角

設(shè)a,b,c,d均為實數(shù)，則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，等號當且僅當ad=bc時成立. 這是柯西不等式的二維形式，利用這一不等式，可以輕松地推導出點到直線的距離公式.

解析設(shè)M(x,y)是直線l上任意一點，則

PM2=(x-x0)2+(y-y0)2，

由柯西不等式，得

(A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]

≥[A(x-x0)+B(y-y0)]2，

即(A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]

≥(Ax+By-Ax0-By0)2=(-Ax0-By0-C)2，

所以

當且僅當A(y-y0)=B(x-x0)，

即PM⊥l時，取等號.

點評此方法的產(chǎn)生源于對點到直線距離公式結(jié)構(gòu)特征的細心觀察和廣泛聯(lián)想.

2.6　解三角形的視角

構(gòu)造直角三角形，將點P到直線l的距離d和直線l的傾斜角α或角π-α置身其內(nèi)，這是多數(shù)學生想到的方法. 構(gòu)造直角三角形的方法有多種，如過點P作直線l的平行線，構(gòu)造斜邊在x軸或y上的直角三角形等，下面僅介紹一種.

解析設(shè)直線l:Ax+By+C=0的傾斜角為α，過點P作PQ⊥l，垂足為Q. 過點P作x軸的垂線，交l于點M(x0,y1).

在Rt△PQM中，當α為銳角時，∠MPQ=α；當α為鈍角時，∠MPQ=π-α.

于是d=PQ=PM·cos∠MPQ=PM·|cosα|

點評這種構(gòu)造直角三角形的方法較為普遍，但會忽視對傾斜角α的討論.

圖3

3適當推廣，凸現(xiàn)發(fā)展

唯物辯證法認為事物不僅是普遍聯(lián)系的，而且是永恒發(fā)展的. 發(fā)展的實質(zhì)是指事物的前進和上升，新事物的不斷產(chǎn)生. 聯(lián)系的觀點和發(fā)展的觀點都是我們認識和觀察事物的基本方法. 利用發(fā)展的觀點看問題，會讓我們的思維更活躍，想象力更豐富，數(shù)學也是一門不斷發(fā)展的科學. 在研究性學習活動中，既要培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，也要培養(yǎng)學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力. 為此，筆者還啟發(fā)學生進行類比、聯(lián)想和猜想，嘗試將二維問題向三維空間拓展，研究空間中的點到平面的距離問題.

問題已知空間內(nèi)的點P(x0,y0,z0)，平面α:Ax+By+Cz+D=0(A，B，C不全為0)，求點P到平面α的距離d.

下面采用向量法進行研究.

設(shè)點Q(x1,y1,z1)為點P在平面α上的射影，則Ax1+By1+Cz1+D=0. 因為

4　結(jié)束語

從上可以看出，點到直線距離公式的推導方法是很多的，不少方法十分簡潔，也來自于學生. 可見，如果我們總是盲信教材，缺乏批判精神，就失去了激發(fā)學生創(chuàng)造力、培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的機會，教學也始終是淺層次的. 無論是教師還是學生，對待教材的態(tài)度是既要尊重它，但又不能迷信它，要有自己的思考，要敢于質(zhì)疑教材的編寫，這才是科學的態(tài)度，這對教師的專業(yè)成長和學生的能力發(fā)展也都是有益的.