涉及三角形邊長(zhǎng)與半徑不等式的簡(jiǎn)證及加強(qiáng)

安振平

(陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心　712000)

在文[1]中，筆者提出并證明了如下不等式：

命題1△ABC中，三邊長(zhǎng)為a,b,c，求證：

①

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)，等號(hào)成立.

通過(guò)探究，調(diào)整不等式①左面根式內(nèi)分子字母的次序，獲得了如下不等式：

命題2設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c，外接圓和內(nèi)接圓的半徑分別為R,r，求證：

②

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)，等號(hào)成立.

本文先給出不等式②的兩個(gè)直接證法.事實(shí)上

證明1(三角函數(shù)方法)記△ABC的面積為S，有

于是，有如下關(guān)系式

于是，不等式②等價(jià)于

等價(jià)于

等價(jià)于

③

注意到常見(jiàn)不等式

故③成立，即不等式②獲證.

證明2(代數(shù)換元方法)由a,b,c為△ABC三邊長(zhǎng)，可設(shè)a=y+z,b=z+x,c=x+y，其中x,y,z為正數(shù)．則易知

則不等式②等價(jià)于

兩邊平方，整理知其等價(jià)于

因?yàn)?/p>

所以，只需證

④

這等價(jià)于

故④成立，即不等式②獲證.

顯然不等式④是一個(gè)優(yōu)美的代數(shù)不等式，它顯然是如下常見(jiàn)不等式的一種有趣組合.

更進(jìn)一步，通過(guò)深入探究，筆者獲得了不等式②的一種如下加強(qiáng).

命題3設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，外接圓和內(nèi)接圓的半徑分別為R、r，求證：

⑤

證明應(yīng)用上文的三角函數(shù)變形，易知不等式④等價(jià)于

等價(jià)于

于是，只要證明

等價(jià)于較不等式⑤更強(qiáng)的不等式：

命題4在△ABC中，求證：

有xy+yz+zx=1,其中x,y,z>0.

于是，不等式⑥等價(jià)于

等價(jià)于

應(yīng)用二元均值不等式，得

故(*)成立，即不等式⑥獲證.