2235號(hào)問題的推廣

劉南山

(江西省都昌縣第一中學(xué)　 332600)

(1)

該不等式簡(jiǎn)潔優(yōu)美、內(nèi)涵豐富，經(jīng)探究，可從變?cè)獋€(gè)數(shù)和冪指數(shù)方面得到如下推廣：

(2)

為證明結(jié)論，先給出引理(柯西不等式的變式)：設(shè)xi∈R+,yi∈R,i=1,2,…,n(n≥2)，則

該不等式可由柯西不等式直接推出，故證明略.

定理的證明因?yàn)閙≥2，ai∈R+，i=1，2，…，n， 所以由冪平均不等式得

因?yàn)棣?0，所以1+λai>0(i=1,2,…,n)，

由引理和冪平均不等式得

設(shè)a1+a2+…+an=x，

所以f(x)在[n,+∞)上單調(diào)遞增，

故不等式(2)成立，

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an=1時(shí)，等號(hào)成立，證畢.

問題2235是定理中當(dāng)n=3,m=2,λ=1時(shí)的特殊情形.

顯然，在不等式(2)中令n=3,m=2得到：

推論1已知a,b,c是正實(shí)數(shù)，且abc=1,λ>0,則

(3)

令m=2即得：

(4)

利用類似定理的證明可得：

(5)