初中數(shù)學(xué)“存在性問(wèn)題”研究

肖艷霞

【摘 要】存在性的問(wèn)題是探索題目中比較典型的問(wèn)題，在存在性問(wèn)題中，探究的方向是比較明確的，即存在或者是不存在。下面，本文就初中數(shù)學(xué)中的存在性問(wèn)題展開(kāi)具體的敘述。

【關(guān)鍵詞】初中階段 數(shù)學(xué)教學(xué) 存在性問(wèn)題

具體來(lái)說(shuō)，“能力型”的問(wèn)題其實(shí)也可以叫做“選拔性”的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)隱晦知識(shí)點(diǎn)的延伸拓展，考察學(xué)生的知識(shí)掌握情況以及遷移運(yùn)用能力。一般來(lái)說(shuō)，能力型的問(wèn)題主要就包括存在性的問(wèn)題，學(xué)生在對(duì)這種類(lèi)型的題目進(jìn)行解答的過(guò)程中，不僅要產(chǎn)生相應(yīng)的知識(shí)敏感度，還要能夠恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用相應(yīng)的知識(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)進(jìn)行解決?？梢哉f(shuō)，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考察。

一、初中數(shù)學(xué)“存在性”問(wèn)題淺析

初中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)可以說(shuō)是一個(gè)承上啟下的過(guò)渡階段，學(xué)生在這個(gè)階段不僅要完成從“具像思維”到“抽象思維”得轉(zhuǎn)化，還需要在進(jìn)行學(xué)習(xí)的過(guò)程中，加強(qiáng)對(duì)自己數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，加強(qiáng)對(duì)自己邏輯思維能力的培養(yǎng)。而存在性問(wèn)題，恰恰是對(duì)這些能力的綜合考察，這也就是為什么在近幾年的初中數(shù)學(xué)中頻頻出現(xiàn)“存在性”的問(wèn)題。所謂的“存在性問(wèn)題”，其實(shí)也就是給出一個(gè)具體的題目，題目中給你一些相應(yīng)的條件，然后，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)對(duì)這些條件的研究，判斷某個(gè)點(diǎn)或者是某種現(xiàn)象存不存在。其實(shí)這類(lèi)題目主要的難點(diǎn)就在于其具有很大的跳躍性，它并不像常規(guī)的題目，給出你一系列的條件，然后理所當(dāng)然的解答出某個(gè)問(wèn)題，在這個(gè)問(wèn)題中，需要學(xué)生能夠準(zhǔn)確的把握住存在或者是不存在的關(guān)鍵點(diǎn)，然后，通過(guò)利用題目中的相應(yīng)條件，證明出這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，最后給出答案。其實(shí)具體來(lái)說(shuō)，我們通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述，所謂存在問(wèn)題也就是說(shuō)，給出學(xué)生一個(gè)相應(yīng)的條件M，然后判斷Q是否存在某種特性。通過(guò)對(duì)“存在性問(wèn)題”的具體解析，就可以看出，解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是，需要學(xué)生能夠“看懂問(wèn)題”，看明白問(wèn)題后面究竟是想問(wèn)你些什么問(wèn)題，也就是說(shuō)它存在或者是不存在是由哪個(gè)關(guān)鍵因素決定的，然后通過(guò)以這個(gè)關(guān)鍵因素為切入點(diǎn)進(jìn)行逐步的剖析。

二、存在性問(wèn)題的具體分類(lèi)

1.廣義分類(lèi)

“存在性問(wèn)題”具體來(lái)說(shuō)也是有很多種的，從廣義上來(lái)看，存在性的問(wèn)題主要包括肯定的存在性問(wèn)題和否定的存在性問(wèn)題。

2.狹義分類(lèi)

從狹義上來(lái)看，存在性問(wèn)題的分類(lèi)就顯得多種多樣了，具體包括以下幾個(gè)方面。

（1）關(guān)于數(shù)值存在性的問(wèn)題。

這類(lèi)題目，顯而易見(jiàn)就是給出一些具體的條件，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)這些條件的處理分析，證明是否存在某一個(gè)具體的數(shù)值，滿(mǎn)足相應(yīng)的條件。例如已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是直線(xiàn)y=-x+2與雙曲線(xiàn)y=k/x （k≠0）的兩個(gè)不同的交點(diǎn).

①求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

②是否存在這樣的k的值。使（x1-2）（x2-2）=x2/x1+x1/x2.

若存在，求出k的值。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

這類(lèi)題目就屬于數(shù)值類(lèi)的存在性問(wèn)題，需要學(xué)生經(jīng)過(guò)推算，判斷出是否存在這樣一個(gè)數(shù)值滿(mǎn)足相關(guān)的條件。具體解答如下，

（1）y=-x+2代入y=k/x，得x（-x+2）=k，x^2-2x+k=0，

有兩個(gè)不等實(shí)根，判別式4-4k>0，

實(shí)數(shù)k的取值范圍：k<1.

（2）x1+x2=2，

x1x2=k，

x1^2+x2^2=（x1+x2）^2-2x1x2=4-2k，

（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=k，

x2/x1+x1/x2=（x1^2+x2^2）/x1x2=（4-2k）/k，

k=（4-2k）/k，k=-1±√5.

-1+√5>1舍去，k=-1-√5時(shí)，（x1-2）（x2-2）=x2/x1+x1/x2

通過(guò)對(duì)條件的層層深入分析，可以解答出相應(yīng)的條件。

（2）圖形的存在性問(wèn)題。

另外一類(lèi)就是圖形的存在性問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)，圖形類(lèi)的存在性問(wèn)題往往會(huì)與函數(shù)相結(jié)合，需要學(xué)生能夠通過(guò)對(duì)函數(shù)圖像的深入分析，判斷出某個(gè)點(diǎn)或者是某種關(guān)系是否存在。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的解答，往往有相應(yīng)的解題思路。學(xué)生先對(duì)題目進(jìn)行總覽，然后假設(shè)相應(yīng)的問(wèn)題存在，然后對(duì)這個(gè)結(jié)論進(jìn)行具體的推理，在推理的過(guò)程中，如果一切都合理，證明推論是正確的，也就是相關(guān)的現(xiàn)象是存在的，如果在推理的過(guò)程中，出現(xiàn)矛盾，說(shuō)明假設(shè)是存在問(wèn)題的，這時(shí)候，就可以證明相關(guān)的現(xiàn)象不存在。

三、解答存在性問(wèn)題的思想

解答“存在性問(wèn)題”的過(guò)程，往往需要學(xué)生具備相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，具體來(lái)說(shuō)，主要包括數(shù)形結(jié)合思想，要求學(xué)生能夠通過(guò)數(shù)與形之間的相互關(guān)系，巧妙的進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)以形助數(shù)，找出具體的特殊點(diǎn)或者是特殊位置，結(jié)合相應(yīng)的特性進(jìn)行具體的計(jì)算，通過(guò)從數(shù)到形，結(jié)合相應(yīng)數(shù)量關(guān)系的特征，找出具體的特殊點(diǎn)。另外，分類(lèi)討論思想也是學(xué)生所必須具備的，學(xué)生需要有這個(gè)意識(shí)，能夠?qū)l件進(jìn)行具體分析，然后結(jié)合具體的分類(lèi)依據(jù)，進(jìn)行逐個(gè)擊破。

總結(jié)來(lái)說(shuō)，“存在性問(wèn)題”是初中數(shù)學(xué)中的一大重點(diǎn)，但同時(shí)，也是學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，這就需要教師在開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，能夠結(jié)合具體的問(wèn)題分析，開(kāi)展恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。

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