TF-投射模與TF-投射維數(shù)

何 可, 王芳貴, 沈 磊

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

無撓Abel群的理論可以很自然地推廣到整環(huán).整環(huán)上的無撓模對刻畫整環(huán)的結(jié)構(gòu)發(fā)揮了很大的作用(例如,整環(huán)R是Prüfer整環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)任何無撓R-模都是平坦模,當(dāng)且僅當(dāng)任何有限生成無撓R-模都是投射模).將無撓模的概念推廣到交換環(huán)R上,可以用R的全體非零因子的乘法集來代替整環(huán)上的非零元定義無撓模,參見文獻(xiàn)[1]等.對非交換環(huán)R上無撓模最自然的定義是用全體正則元(既不是左零因子又不是右零因子的元素)代替整環(huán)的非零元，即設(shè)M是左R-模,如果對任何非零x∈M,及任何正則元c∈R,都有cx≠0,則稱M為無撓模.但是這樣定義的無撓模在應(yīng)用上受到很大的限制,例如文獻(xiàn)[2]中問題3.D.16就指出M中被某個正則元零化的元素一般不構(gòu)成M的子模.

平坦模在同調(diào)代數(shù)中是一個基本的模類,且整環(huán)(或有零因子的交換環(huán))上平坦模都是無撓模.文獻(xiàn)[3]從同調(diào)性質(zhì)的角度給出了一般的非交換環(huán)R上無撓模的定義:設(shè)M是左R-模,若對任意a∈R,及任何x∈M,只要ax=0,就有x∈rR(a)M,則稱M是無撓模,其中rR(a)={r∈R|ar=0}是a的右零化子.文獻(xiàn)[3]證明了M是無撓左R-模當(dāng)且僅當(dāng)對任意a∈R,都有

特別地,對于整環(huán)R,文獻(xiàn)[3]定義的無撓模與經(jīng)典的無撓模概念是一致的.文獻(xiàn)[4]利用矩陣討論了無撓模與平坦模的關(guān)系,并證明了:無撓左R-模M是平坦模,當(dāng)且僅當(dāng)對任何正整數(shù)n,都有Mn是無撓左Mn(R)-模,其中Mn={(x1,x2,…,xn)T|x1,x2,…,xn∈M}(上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置),Mn(R)是R上的n-階矩陣環(huán).由此可見文獻(xiàn)[3]定義的無撓模是值得研究的模類.本文以下提到的無撓模都采用這種定義.

眾所周知,任何環(huán)上任何模都有內(nèi)射包,但是投射蓋,作為其對偶的概念,只有在左完全環(huán)上任何左模才都有投射蓋.于是文獻(xiàn)[5]提出了平坦蓋猜想,并證明了任何環(huán)上任何模都有平坦蓋.近年來,對各種特定模類的包絡(luò)與覆蓋的研究成為相對同調(diào)代數(shù)的一個熱點(diǎn),文獻(xiàn)[6]中定理4.1.1(b)指出任何模都有無撓蓋.在討論模的無撓預(yù)包時,發(fā)現(xiàn)了一個新的模類,即本文引入的TF-投射模,在討論與之相應(yīng)的同調(diào)維數(shù)時又引入了強(qiáng)TF-投射模的概念.

本文提到的環(huán)都是有單位元1的結(jié)合環(huán).右(或左)R-模的特征模HomZ(M,Q/Z)記為M+,且(M+)+簡記為M++.符號rR(a)(lR(a))表示環(huán)中元素a的右(左)零化子.未提到的概念和符號,讀者可以參見文獻(xiàn)[1,6-10]等.

1 預(yù)備知識

定義1.1設(shè)R是環(huán),M是左R-模:

定義1.21) 若R的任何主左理想都是投射(平坦)的,則稱R為左PP環(huán)(PF環(huán))[3];

2) 若R的任何主左理想都是有限表現(xiàn)的(等價地,對任何a∈R都有l(wèi)R(a)都是有限生成左理想),則稱環(huán)R為左P-凝聚環(huán)[7];

3) 若R的任何主左理想都是循環(huán)表現(xiàn)的(等價地,對任何a∈R都有l(wèi)R(a)都是主左理想),則稱環(huán)R為左強(qiáng)P-凝聚環(huán)[7];

4) 若R的有限生成左理想都是主左理想,則稱R為左Bézout環(huán)[12].

例1.31) 無零因子環(huán)和半遺傳環(huán)都是雙邊PP環(huán),左PP環(huán)都是左PF環(huán)[3];

2) 左PP環(huán)和左凝聚環(huán)都是左P-凝聚環(huán),此外,環(huán)R是左凝聚環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對任何n≥1,n階矩陣環(huán)Mn(R)都是左P-凝聚環(huán)[7];

3) 左PP環(huán)、Von Neumann正則環(huán)、左(廣義)morphic環(huán)都是強(qiáng)P-凝聚環(huán),強(qiáng)P-凝聚環(huán)是P-凝聚環(huán)[7](稱R為左廣義morphic環(huán)[13],是指對任何a∈R,存在b∈R,使得lR(a)?R/Rb,此外,若b=a,則稱R為左morphic環(huán)[14]);

4) 若R既是左P-凝聚環(huán),又是左PF環(huán),則R是左PP環(huán).

關(guān)于包絡(luò)覆蓋和余撓理論,可以參見文獻(xiàn)[6,9,15]等,限于篇幅,不再贅述.左(或右)強(qiáng)P-凝聚環(huán)R上右(或左)模M的無撓維數(shù)記為leftTF-dimM,關(guān)于此維數(shù)的研究可以參見文獻(xiàn)[7,16].

2 TF-投射模的定義與基本性質(zhì)

注2.2由定義立即可得以下結(jié)論:

1) 投射模是強(qiáng)TF-投射模,強(qiáng)TF-投射模是TF-投射模;

2) (強(qiáng))TF-投射模是(強(qiáng))余純投射模.

首先給出TF-投射的一些等價刻畫.

命題2.3設(shè)R是環(huán),M是右R-模,則下列各條等價:

1)M是TF-投射模;

2) 若0→K→F→M→0是正合列,其中F是無撓模,則K→F是TF-預(yù)包;

3) 存在TF-預(yù)包φ:A→B,其中B是投射模,使得M?coker(φ);

4) 對任何正合列ξ:0→A→B→C→0,只要A是無撓模,就有誘導(dǎo)序列HomR(M,ξ)是正合列.

證明1)?2)和1)?4) 顯然.

2)?3) 取正合列0→K→P→M→0,其中P是投射模,于是K→P是TF-預(yù)包.

3)?1) 設(shè)A→B→M→0是正合列,其中B是投射模,φ:A→B是TF-預(yù)包.令K=im(φ),則

0→K→B→M→0

是正合列.對任何無撓模左R-模N,則有

4)?1) 設(shè)N是無撓模左R-模,E=E(N)是N的內(nèi)射包,則有正合列

ξ:0→N→E→E/N→0,

及長正合列

接下來討論TF-投射模的基本性質(zhì).

命題2.4設(shè)R是環(huán),則有:

1) (強(qiáng))TF-投射模對直和與直和加項(xiàng)封閉;

2) (強(qiáng))TF-投射模對模擴(kuò)張封閉;

3) 強(qiáng)TF-投射模對滿同態(tài)的核封閉;

4) 強(qiáng)TF-投射模類是可解的.

證明1) 設(shè){Mγ}γ∈Γ是一簇左R-模,其中Γ是指標(biāo)集.對任何整數(shù)i≥1,及任何無撓左R-模N,由自然同構(gòu)

立即可得.

2) 設(shè)0→A→B→C→0是左R-模正合列,則對任何i≥0,及任何無撓左R-模N,由誘導(dǎo)序列

是正合的立即可得.

3) 設(shè)0→A→B→C→0是左R-模正合列,則對任何i≥1,及任何無撓左R-模N,有正合列

若B、C都是強(qiáng)TF-投射模,則正合列ξi兩端為零,從而中間也為零,于是A也是強(qiáng)TF-投射模.

4) 由2)和3)與注2.2即得.

命題2.5設(shè)R是環(huán),M是TF-投射模左R-模,則下列各條等價:

1)M是強(qiáng)TF-投射模;

2)M的第一階合沖模是強(qiáng)TF-投射模;

3)M的任意階合沖模都是強(qiáng)TF-投射模.

證明3)?2) 顯然.

2)?1) 設(shè)K是M的一個第一階合沖模,則對任何無撓模N,及任何i≥2,都有

1)?2) 設(shè)0→K→P→M→0是正合列,其中P是投射模,從而是強(qiáng)TF-投射模,由命題2.4得K是強(qiáng)TF-投射模.

1)?3) 對1)?2)的證明過程用歸納法即得.

證明設(shè)leftTF-dimN=n<∞,由文獻(xiàn)[7]中命題4.14知,存在正合列

0→F→Pn-1→…→P0→N→0,

其中,P0,…,Pn-1是投射模,F是無撓模,因此

命題2.7設(shè)R是右強(qiáng)P-凝聚環(huán),M是左R-模,則下列各條等價:

1)M是投射模;

2)M是強(qiáng)TF-投射模,且leftTF-dimM<∞.

證明1)?2) 顯然.

2)?1) 設(shè)0→K→F→M→0是正合列,其中F是自由模,由文獻(xiàn)[7]中命題4.14得

leftTF-dimK<∞.

命題2.8設(shè)R是右PF環(huán),M是左R-模,則下列各條等價:

1)M是投射模;

2)M是TF-投射模.

證明1)?2) 顯然.

眾所周知,投射模都是平坦模;反之,有限表現(xiàn)的平坦模是投射模.(強(qiáng))TF-投射模與(強(qiáng))D-平坦模也有類似的關(guān)系.

定理2.9設(shè)R是環(huán),M是左R-模,則有以下各條成立:

1) 若R是右P-凝聚環(huán),M是(強(qiáng))TF-投射模,則M是(強(qiáng))D-平坦模;

2) 若M是有限表現(xiàn)的D-平坦模,則M是TF-投射模;

3) 若R是右凝聚環(huán),M是有限表現(xiàn)強(qiáng)D-平坦模,則M是強(qiáng)TF-投射模.

證明1) 設(shè)D是可除右R-模,注意到R是右P-凝聚環(huán),由文獻(xiàn)[7]中定理2.7得D+是無撓模.從而對任何i≥1,由自然同構(gòu)

結(jié)論成立.

由f:K→F是TF-預(yù)包知存在φ:F→N,使得

hf1=φf=φλf1.

注意到f1是滿同態(tài),從而h=φλ,即λ:A→F是TF-預(yù)包.由命題2.3得M是TF-投射模.

3) 對任何右R-模N,及任何i≥1,由文獻(xiàn)[17]中定理2.2.13得

注意到凝聚環(huán)是P-凝聚環(huán),再由文獻(xiàn)[7]知,N是無撓模當(dāng)且僅當(dāng)N+是可除模,故結(jié)論成立.

下面給出一個TF-投射模但不是投射模的例子.

例2.10設(shè)R是雙邊強(qiáng)P-凝聚環(huán),但不是雙邊PP環(huán).由文獻(xiàn)[7]中推論5.4,存在有限表現(xiàn)左R-模M是D-平坦模但不是平坦模,從而M也不是投射模.由命題2.9得,M是TF-投射模.

引理2.11設(shè)R是右Bézout環(huán),M是左R-模,則M是無撓模當(dāng)且僅當(dāng)M是平坦模.

證明設(shè)I是有限生成右理想.由假設(shè),存在a∈R,使得I=aR,于是

故M是平坦模.

推論2.12設(shè)R是右Bézout環(huán),M是左R-模,則M是(強(qiáng))余純投射模當(dāng)且僅當(dāng)M是(強(qiáng))TF-投射模.

命題2.13設(shè)R是環(huán),考慮以下條件:

1) 任何無撓左R-模都是投射模;

2) 任何無撓左R-模都是強(qiáng)TF-投射模;

3) 任何無撓左R-模都是TF-投射模;

4) 任何D-平坦左R-模都是TF-投射模;

5) 任何強(qiáng)D-平坦左R-模都是強(qiáng)TF-投射模.

則有4)?5)?3)?2)?1)成立.此外,若R既是右P-凝聚環(huán)又是右Bézout環(huán),則1)?4)成立.

證明1)?2)?3)和5)?2) 顯然.

因此Ki是強(qiáng)D-平坦模,從而是TF-投射模.于是對任何i≥0,都有

即M是強(qiáng)TF-投射模.

1)?4) 設(shè)M是D-平坦左R-模,N是無撓右R-模,則N+是可除左R-模,于是

由引理2.11,N是平坦模.由假設(shè)可得R是左凝聚環(huán),從而N是純內(nèi)射模,再由文獻(xiàn)[18]中命題1.1,N→N++是純單同態(tài).因此存在右R-模X,使得

N⊕X?N++.

從而有

命題2.14設(shè)R是環(huán)，若任何左R-模都是TF-投射模,則R是QF環(huán).此外,如果R是右Bézout環(huán),反之也成立.

命題2.15設(shè)R是環(huán),則(STP,STP⊥)是遺傳的余撓理論.

證明設(shè)X∈STP,N∈STP⊥,0→K→P→X→0和0→N→E→L→0是正合列,其中P是投射模,E是內(nèi)射模,則由命題2.5,K∈STP,從而

于是L∈STP⊥.

今設(shè)M∈⊥(STP⊥),則

用歸納法立即可得:對任意i≥0,都有

設(shè)F是無撓模,顯然F∈STP⊥,從而對任意i≥0,都有

故M∈STP,即(STP,STP⊥)是余撓理論.注意STP是可解的,由文獻(xiàn)[6]中引理2.2.10,(STP,STP⊥)還是遺傳的余撓理論.

3 TF-投射維數(shù)

令1.tpD(R)=sup{tpd(M)|M為左R-模},并稱之為R的左整體TF-投射維數(shù).

注3.2設(shè)R是環(huán),M是左R-模,則有:

1)M是強(qiáng)TF-投射模當(dāng)且僅當(dāng)tpd(M)=0;

2) 若1.tpD(R)=0,則R是QF環(huán).若R既是QF環(huán),又是右Bézout環(huán),則1.tpD(R)=0.

cpd(M)=∞.

關(guān)于余純投射模和余純投射維數(shù)的更多結(jié)果可以參見文獻(xiàn)[19-22].

余純投射維數(shù)與TF-投射維數(shù)有命題3.3關(guān)系:

命題3.3設(shè)M是左R-模下列各條成立:

1) cpd(M)≤tpd(M)≤pd(M);

2) r.cpD(R)≤1.rtpD(R)≤rD(R);

3) 若tpd(M)<∞,則tpd(M)=cpd(M).

證明1) 由注2.2即得.

2) 由1)即得.

由同調(diào)代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方法可以證明以下2個命題,在此從略.

命題3.4設(shè)M是左R-模,n為非負(fù)整數(shù),則下列各條等價:

1) tpd(M)≤n;

3) 對任何左R-模N∈STP⊥,都有

4)M的第n階合沖是強(qiáng)TF-投射模;

5) 存在正合列0→Pn→…→P0→M→0,其中P0,…,Pn都是強(qiáng)TF-投射模.

命題3.5設(shè)R是環(huán),0→A→B→C→0是右R-模正合列.若tpd(A)、tpd(B)、tpd(C)中任何2個是有限的,則第3個也是有限的.此外還有:

1) tpd(A)≤sup{tpd(B),tpd(C)-1};

2) tpd(B)≤sup{tpd(A),tpd(C)};

3) tpd(C)≤sup{tpd(B),tpd(A)+1}.

定理3.6設(shè)R是環(huán),下列各項(xiàng)的值相等:

1) 1.tpD(R);

2) sup{tpd(M)|M是有限生成左R-模};

3) sup{tpd(M)|M是無撓左R-模};

4) sup{id(N)|M是無撓左R-模};

5) sup{id(N)|N∈STP⊥}.

證明3)≤2)≤1)和4)?5) 顯然.

推論3.7設(shè)R是環(huán),下列各條成立:

1) 若0→A→B→C→0是右R-模正合列,且B是強(qiáng)TF-投射模,若0

tpd(C)=tpd(A)+1;

2) 設(shè)n≥2,則1.tpD(R)=n當(dāng)且僅當(dāng)

sup{cpd(I)|I是R的右理想}=n-1.

證明1) 顯然.

2) 由正合列0→I→R→R/I→0和定理3.6即得.

命題3.8設(shè)R是右強(qiáng)P-凝聚環(huán),M是TF-投射左R-模.若M是無撓模的子模,則存在無撓預(yù)包φ:M→P,其中P是投射模且φ是單同態(tài).

命題3.9設(shè)R是右強(qiáng)P-凝聚環(huán),M是左R-模.若tpd(M)≤1,則M有強(qiáng)TF-投射預(yù)蓋ψ:H→M,且ker(φ)是投射模.

證明由文獻(xiàn)[7]中命題4.14,存在正合列0→K→Q→M→0,其中Q是投射模,M是強(qiáng)TF-投射模.由命題3.8,存在平坦預(yù)包φ:K→P,其中P是投射模,且φ是單同態(tài).令L=coker(φ),則由命題2.3,L是TF-投射模,再由命題2.5,L是強(qiáng)TF-投射模.考查如下兩行正合的交換圖:

最后給出本文的主要定理.

定理3.10設(shè)R是右強(qiáng)P-凝聚左Noether環(huán),則下列各條等價:

1) 1.tpD(R)≤1;

2) 任何左R-模M有強(qiáng)TF-投射預(yù)蓋ψ:H→M,且ker(ψ)是投射模;

3) 任何TF-投射左R-模是強(qiáng)TF-投射模;

4) 對任何內(nèi)射左R-模M的無撓子模N,都有商模M/N是內(nèi)射模;

5) 任何強(qiáng)TF-投射左R-模的子模是強(qiáng)TF-投射模;

6) 任何左理想是強(qiáng)TF-投射模.

證明1)?2) 由命題3.9即得.

2)?1) 由命題3.4即得.

1)?3) 設(shè)M是TF-投射模,K是M第一階合沖.由命題3.4,K是強(qiáng)TF-投射模,再由命題2.5,M是強(qiáng)TF-投射模.

3)?1) 設(shè)M是有限生成左R-模.考查正合列0→K→P→M→0,其中P是有限生成投射模,注意到R是左Noether環(huán),故K是有限生成的.設(shè)f:K→N是無撓預(yù)包,其中F是有限生成投射模,記L=coker(f).由K是P的子模,知f是單同態(tài).再由命題2.3,知L是TF-投射模,從而是強(qiáng)TF-投射模.由命題2.5,K也是強(qiáng)TF-投射模.故tpd(M)≤1.由命題3.6,知1.tpD(R)≤1.

1)?4) 設(shè)N是內(nèi)射左R-模的M無撓子模,則N∈STP⊥.由命題3.6,id(N)≤1,從而M/N是內(nèi)射模.

4)?1) 設(shè)N是無撓模,E(N)是T的內(nèi)射包,由假設(shè)E(N)/T是內(nèi)射模,從而id(N)≤1.由命題3.6,知1.tpD(R)≤1.

5)?6) 顯然.

6)?1) 設(shè)I是R的左理想,由正合列

0→I→R→R/I

知cpd(R/I)≤1,由命題3.6,1.tpD(R)≤1.

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