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    廣義Riesz變換高階交換子的CBMO估計

    2018-07-04 11:53:56鐘海萍周偉松張京友王興武
    關鍵詞:積分算子郵電大學廣義

    鐘海萍, 周偉松, 張京友, 王興武

    (1. 豫章師范學院 自然科學系, 江西 南昌 330103; 2. 重慶郵電大學 系統(tǒng)理論與應用研究中心, 重慶 400065; 3. 重慶三峽學院 數學與統(tǒng)計學院, 重慶 404000)

    近年來,隨著偏微分方程、算子理論、多復變函數理論、位勢理論和幾何分析等學科的不斷發(fā)展,許多數學學者開始關注非光滑區(qū)域上的奇異積分或者非光滑核上的奇異積分理論,二階復函數橢圓型散度算子L有關的Riesz變換是其中一個典型的例子.

    定義一個二階散度型橢圓算子Lf=-div(Af),A=A(x)是指一個定義在Rn上的復的、L系數的n×n矩陣,且滿足一致性橢圓條件:存在0<λ≤γ<,使得

    其中ξ、ζ∈Cn.

    定義Littlewood-Paley-Stein型函數Gf(f)為

    由此利用算子的譜理論,定義算子L的廣義Riesz變換為

    RL=

    (1)

    當L=-Δ,即Rn上的Laplacian算子,以上廣義Riesz變換是通常意義的Riesz變換.

    設Kt(x,y)是t1/2e-tL的核,相應的與CBMO函數b(x)生成的高階交換子

    定義

    (2)

    設pt(x,y)是解析半群e-tL的熱核,若滿足A是實矩陣,或A是n≤2的復矩陣,或者當n≥3時核是H?lder連續(xù)的[1],那么pt(x,y)具有Gaussian上界,即

    (3)

    由此,本文給出熱核的2個假定[2-3].

    (a) 設全純半群為e-zL,|arg(z)|<π/2-θ核為az(x,y),對所有的v>θ,核az(x,y)滿足Poisson上界.|arg(z)|

    |arg(z)|<π/2-v,

    (b) 算子L在L2(Rn)上滿足有界H全純演算.關于H全純演算相關定義定理參見文獻[1,4].

    1 預備知識

    定義1.1[9]設α∈R,0

    其中

    當p=時取通常意義的極限形式.

    定義1.2[8]設1≤q<,稱f∈CBMOq(Rn),如果有

    ‖f‖CBMOq=

    其中B(0,r)={x∈Rn:|x|

    引理1.1[1]設n≥2,L滿足(1)和(2)式,設Kt(x,y)是t1/2e-tL的核,則存在常數c>0使得

    引理1.2[3]設L滿足假定(a)和(b),那么是弱(1,1)型并且在Lq(Rn)上有界,其中1

    引理1.3[8]設f∈CBMOq(Rn),1≤q<,r1,r2>0,t那么

    2 主要結果及其證明

    1

    證明只考慮0

    則有

    E1+E2+E2.

    (4)

    對于E2,根據Minkowski和H?lder不等式,因此得到

    mBk(b))|i‖Lq/i‖χk|(b(y)-

    mBk(b))|m-i‖Lq/(m-i)‖fj‖Lq1≤

    (5)

    根據引理1.2有

    (6)

    對于E1,當x∈Ak,y∈Aj,注意到j≤k-2,2k-2≤|x-y|≤2k+1,根據Minkowski和H?lder不等式

    E11+E12.

    (7)

    對于E11,由引理1.3得

    (8)

    因此得到

    (9)

    再應用引理1.1,有

    (10)

    因此

    ‖fj‖Lq1(Rn)2-kα22jα1.

    (11)

    對于E12,由引理1.3得

    |(b(x)-mBj(b))|i×

    (12)

    類似于(10)式的估計得

    (13)

    因此得

    ‖fj‖Lq1(Rn)2-kα22jα1.

    (14)

    結合E11和E12的估計,得

    (15)

    (16)

    對于E3,注意到k≤j-2,當x∈Ak,y∈Aj,有2j-2≤|x-y|≤2j+1.類似E1的估計過程,得到

    (17)

    (18)

    定理2.1的證明完畢.

    3 L2off-diagonal估計

    設E,F為Rn上的閉子集,dist(E,F)表示集合E與F的歐氏距離,f是n-tupple函數.關于L2off-diagonal估計的引理如下.

    引理3.1[5]設E和F是Rn上的閉子集,那么對于所有的t>0,有

    ‖f‖Lp(E),suppf?E;

    ‖f‖Lp(E),suppf?E;

    ‖f‖Lp(E), suppf?E;

    ‖f‖Lp(E),suppf?E,

    定理3.1設RL如(2)式所定義,

    λ≥0, 1

    α2滿足

    則有

    Q1+Q2+Q3.

    (19)

    對于Q2,根據引理3.2以及H?lder不等式,類似E2的估計得到

    (20)

    對于Q1,注意到

    x∈Ak, j≤k-2, y∈Aj,

    2k-2≤|x-y|≤2k+1,

    由Minkowski和H?lder不等式,得

    ‖L-1/2(fj)χk‖Lq2(Rn)≤

    (21)

    根據引理3.1,得

    ‖L-1/2(fj)χk‖Lq2(Rn)≤c2(kn/q2-kn/2)×

    (22)

    (23)

    最后估計Q3,注意到當x∈Ak,y∈Aj,k≤j-2,有

    2j-2≤|x-y|≤2j+1,

    由引理1.3類似于Q1,得

    ‖L-1/2(fj)χk‖Lq2(Rn)≤c2(k-j)(n/q1-n/2+α1)×

    2-kα22jα1‖fj‖Lq1(Rn).

    致謝重慶郵電大學博士啟動基金(A2016-80)和重慶郵電大學大學生科研訓練計劃項目(A2017-71)對本文給予了資助,謹致謝意.

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