• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    一類雙質(zhì)子耦合格點系統(tǒng)的對稱周期解

    2018-07-04 11:53:40黃娟娟
    關(guān)鍵詞:正數(shù)降維調(diào)和

    王 超, 黃娟娟, 楊 瀟

    (鹽城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 江蘇 鹽城 224001)

    1 引言及預(yù)備知識

    本文考慮雙質(zhì)子耦合格點系統(tǒng)

    (1)

    其中h、p是連續(xù)的2π-周期偶函數(shù)且滿足

    權(quán)函數(shù)q(t):R→R+為2π-周期連續(xù)函數(shù),g:R→R是局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)且滿足

    一維質(zhì)子鏈系統(tǒng)具有廣泛的應(yīng)用背景.例如,對于系統(tǒng)(1),當q(t)≡A∈R,g:R+→R+在原點具有奇性時,系統(tǒng)(1)可以刻劃在一條直線上的2個受迫充電質(zhì)子的運動[1].在文獻[1]中,Torres等討論了周期解存在的充分必要條件,他們通過使用變量代換的方法對系統(tǒng)進行降維后得到文獻[1]中的結(jié)果,并在文獻[2-3]中把結(jié)果推廣到無限維的情形.另外,在文獻[2-3]中對Toda鏈的情形也進行了討論.關(guān)于一維質(zhì)子鏈系統(tǒng)的研究有許多工作,涉及到解的動力行為的許多特征,如周期解[4-5]、擬周期解的不變環(huán)面[6]、離散孤立子和呼吸子[7]、同宿行波解的存在性[8]以及指數(shù)吸引子[9]等,其中,文獻[4,6-7]涉及到時變的FPU鏈.

    定義1.1函數(shù)(x(t),y(t))稱為方程(1)偶的2kπ-周期解(k∈Z+),如果對正整數(shù)k有

    (x(0),y(0))=(x(2kπ),y(2kπ)),(x′(0),y′(0))=(x′(2kπ),y′(2kπ)),

    且對任意t∈[0,2kπ]都有

    (x(-t),y(-t))=(x(t),y(t)).

    特別地,當k=1時,稱(x(t),y(t))為方程(1)偶的調(diào)和解;當k>1時,稱(x(t),y(t))為方程(1)偶的次調(diào)和解.

    關(guān)于方程對稱周期解的討論也是動力系統(tǒng)的一個有趣問題,它與方程的穩(wěn)定性問題有關(guān).一個經(jīng)典的工作是Nakajima在文獻[10]中證明了Duffing方程無窮多個對稱調(diào)和解的存在性以及對稱次調(diào)和解的稠密性分布結(jié)果.在文獻[1]中,作者考慮二階方程

    (2)

    的周期解問題時,主要的證明方法還是降維.通過討論降維后2個非耦合方程周期解的存在性來推斷原來系統(tǒng)周期解的存在性問題;但當方程是偶對稱方程時,證明方程是否存在偶的周期解并不是一件容易的事.事實上,對降維后的等價方程而言,即使能夠證明其中一個方程具有偶的周期解,也不能輕易看出另一個非耦合方程也具有偶的周期解.

    針對上述主要困難,本文在引理1.1中解決了這一問題.我們證明:對于降維后的等價方程組,只要其中一個非耦合方程具有偶的周期解,則原系統(tǒng)一定存在與之對應(yīng)的偶的周期解.

    為二階自治方程x″+g(x)=0的軌道

    上的周期解的最小正周期,其中

    且e為充分大的正實數(shù).記

    其中,h>0為充分大的正實數(shù).本文將考慮下述2種情況時,方程(1)的對稱周期解問題:

    當考慮條件(τ1)的情況時,為了滿足解的可延拓性,要求權(quán)函數(shù)q(t):R→R+為連續(xù)的有界變差函數(shù),且滿足:

    (q0) 1) ?t∈[0,2π],q(t)≥0,且{t∈[0,ω]:q(t)>0}≠?;

    2) 集合{t∈[0,2π]:q(t)≡0}只有有限個連通分支;

    3) 若在(c,d)?[0,2π]上q>0且q(c)=0(或q(d)=0),則q在c的一個右鄰域內(nèi)單調(diào)不減(或相應(yīng)地q在d的一個左鄰域內(nèi)單調(diào)不增).

    本文首先給出了證明方程(1)存在偶的周期解的一般性框架與偶的周期解存在的充分必要條件;其次,針對超線性條件(τ1),證明了方程(1)無窮多個偶的調(diào)和解的存在性;最后,針對次線性條件(τ2),證明了方程(1)無窮多個偶的次調(diào)和解的存在性.

    2 引理

    類似于文獻[3]中的做法,作變量代換

    (3)

    得方程(1)的等價系統(tǒng)

    v″=h(t)+p(t),

    (4)

    u″+2q(t)g(u)=p(t)-h(t).

    (5)

    下面,分別研究方程(5)的偶周期解的存在性和重性問題.事實上,若方程(5)存在偶周期解u(t)且方程(4)存在偶周期解v(t),則易見

    是方程(1)的偶的周期解.

    下面,研究方程(1)存在偶周期解的條件.

    引理2.1設(shè)(h0)成立,則方程(4)一定存在周期為2π的偶周期解.

    證明設(shè)函數(shù)F(t)是h(t)+p(t)的一個原函數(shù),令

    φ(t)=F(t)-F(0),

    則顯然有φ′(t)=h(t)+p(t)且φ(0)=0.

    p(2kπ-t)=h(t)+p(t),

    注意到

    v′(-t)=-v′(t),

    φ(-t)=-φ(t).

    從而有

    v′(-π)=-v′(π).

    因為

    由(h0)知

    v′(π)-v′(-π)=2v′(π)=0,

    從而

    v′(π)=v′(0)=0.

    根據(jù)上述命題知

    v(t)=v(-t)=v(t+2π).

    得證.

    推論2.1若方程(5)存在偶的調(diào)和解,則方程(1)一定存在偶的調(diào)和解(x(t),y(t)).

    稱一個偶的周期解u(t)的初值點(u(0),u′(0))為一個ε-點,由u的偶性可知u′(0)=0.特別地,若一個偶的周期解u(t)的最小周期為2mπ(m∈Z+),稱ε-點(u(0),u′(0))為m階的.

    引理2.2[11]方程(5)的一個解u(t)是一個偶的周期解當且僅當存在一個正整數(shù)m,使u′(0)=u′(mπ)=0.特別地,這個ε-點(u(0),u′(0))為m階的當且僅當u′(0)=u′(mπ)=0且u′(kπ)≠0,k=1,2,…,m-1.

    設(shè)對二維歐式空間R2中的每一個點q=(a,b)∈R2,定義

    記u(t,a)為方程(5)在t=0時刻從(a,0)出發(fā)的解,a∈R.從引理2.1可知(a,0)是一個ε-點當且僅當存在某一個正整數(shù)m≥1使

    u′(mπ)=0.

    (6)

    3 問題的轉(zhuǎn)化

    考慮方程(5)的等價系統(tǒng)

    (7)

    其中,g1(u)=2g(u),e(t)=p(t)-h(t).

    設(shè)連續(xù)截斷函數(shù)η:R2→R為

    且滿足|η(u,w)|≤1.定義新的系統(tǒng)

    (8)

    在原點附近系統(tǒng)(8)為

    u′=w,w′=-q(t)g1(u).

    容易看出此時原點為該系統(tǒng)的平衡點,由解的唯一性可知從原點外任一點出發(fā)的解都不會經(jīng)過原點.在半徑為1的圓域之外,系統(tǒng)(8)為

    u′=w,w′=-q(t)g1(u)+e(t).

    顯然此時與原系統(tǒng)(7)一樣,從而系統(tǒng)(8)的任一滿足|(u(t),w(t))|>1的解都是原系統(tǒng)(7)的解.

    設(shè)(u(t;u0,w0),w(t;u0,w0))為方程(8)滿足初值(u(0),w(0))=(u0,w0)的連續(xù)解.

    引進極坐標:假設(shè)(u0,w0)≠(0,0),則解(u(t;u0,w0),w(t;u0,w0))可以用極坐標表示

    (9)

    其中r(t)、θ(t)是連續(xù)函數(shù).易證,在坐標變換(9)下,(r(t;r0,θ0),θ(t;r0,θ0))滿足方程

    其中,u0=r0cosθ0,w0=r0sinθ0.

    在下文中,為了討論方便,總假設(shè)對?R>R0,記(r(t,R),θ(t,R))為方程(10)的滿足r(0)=R,θ(0)=0(modπ)的解.

    由u(t,a)的定義和方程(9)知,θ(t,a)是t的連續(xù)函數(shù)且可設(shè)θ(0,a)=0(因為u′(0,a)=0).從方程(6)可知下述引理成立.

    引理3.1(a,0)是一個ε-點,即u(t,a)是一個偶的周期解當且僅當存在某個m≥1使得

    θ(mπ,a)=0(modπ).

    (11)

    定義

    為向量(u(t),w(t))在區(qū)間[t1,t2]上隨時間增加時在相平面上所轉(zhuǎn)的角度增量.易見,該值與θ(t)的選擇無關(guān).因此,方程(11)也可以表示為

    θ(mπ,a)-θ(0,a)=lπ,l∈Z.

    (12)

    4 超線性方程

    假設(shè)權(quán)函數(shù)q(t):R→R+為2π-周期連續(xù)的有界變差函數(shù)且滿足條件(q0).

    類似于文獻[12]中的方法,可以證明下面的引理.

    引理4.1假設(shè)(g0)和(q0)成立,任取(u0,w0)∈R2,則解(u(t;u0,w0),w(t;u0,w0))在(-∞,+∞)上有定義.

    推論4.1對任一個L>0和α>0都存在一個常數(shù)β(α,L)>0,使

    1) 若|(u0,w0)|≤α,則|(u(t),w(t))|≤β(α,L),對|t|≤L;

    2) 若|(u0,w0)|>β(α,L),則|(u(t),w(t))|>α,對|t|≤L.

    易證存在充分大的正數(shù)R*>0使得對任意的a>R*以及t∈(0,π],有θ(t,a)<0.

    引理4.2[11]假設(shè)(g0)、(τ1)和(q0)成立,則對任意的正數(shù)H>0,都存在一個正數(shù)R=R(H)>R*,使得如果(r(t),θ(t))為方程(10)的定義在[a,b]上的一個解且滿足r(a)≥R,則有

    θ(a)-θ(b)≥2πH.

    引理4.3假設(shè)(g0)、(τ1)和(q0)成立,則方程(5)有無窮個偶的2π-周期解.

    證明將證明分成以下兩步:第一步,從有關(guān)方程(11)的討論可知,我們的目標是找到一列數(shù){ak},使得當k→±∞時有ak→±∞且θ(π,ak)=0(modπ).因為對于充分大的β>0來說,集合{θ(π,α);α>β}和{θ(π,α);α<-β}是連續(xù)的,所以,相應(yīng)地,只須證明

    (13)

    第二步,定義

    表示從點(0,a)出發(fā)的解在區(qū)間[0,π]內(nèi)繞原點旋轉(zhuǎn)的圈數(shù),記

    x(t,a)=x(t;0,(a,0)),

    x′(t,a)=x′(t;0,(a,0)),

    易見

    rot[0,π](a):=

    注意到e(t)是有界函數(shù),由推論4.1和引理4.2可得:當|a|→+∞時,對任意的t∈[0,π]都有

    r(t,a)→+∞,

    rot[0,π](a)→+∞.

    注4.1對充分大的β>0,若定義函數(shù)

    Φ:[β,+∞)→R

    則易證存在正數(shù)γ使得函數(shù)的值域為

    Φ([β,+∞)):=(-∞,-γ].

    由引理3.1和(12)式知,存在可數(shù)個al∈[β,+∞)滿足

    θ(π,a)-θ(0,a)=lπ,l∈Z,

    因此方程(5)有可數(shù)個偶的2π-周期解.

    由引理4.3、引理2.1和推論2.1有定理4.1.

    定理4.1假設(shè)(g0)、(τ1)和(q0)成立,則方程(1)有無窮多個偶的2π-周期解.

    5 次線性方程

    假設(shè)函數(shù)g(x):R→R滿足(g0)和(τ2).

    引理5.1[13]存在正數(shù)R0>1,對(10)式的任意解(r(t),θ(t)),若r(t)>R0,則θ′(t)<0.

    類似于文獻[14]中的方法,容易證明下述引理.

    引理5.2假設(shè)(g0)和(τ2)成立,若(r(t),θ(t))是方程(10)的解滿足

    r(t)≥R1≥R0, 0

    θ(t2)-θ(t1)=-2π,

    引理5.3[13]對每一個R>R0和每一個j>0,都存在L(R,j)>R使得如果(r(t),θ(t))是方程(10)的解滿足r(t1)=L(R,j),r(t2)=R(或者r(t1)=R,r(t2)=L(R,j))及

    R≤r(t)≤L(R,j), ?t∈[t1,t2],

    θ(t2)-θ(t1)<-2jπ.

    另一方面,由θ′的連續(xù)性易證下述引理.

    引理5.4設(shè)R2>R1>R0是充分大的正數(shù),(r(t),θ(t))是(10)式的一個解滿足

    R1≤r(t)≤R2, ?t≥0,

    θ(t)-θ(0)→-∞,t→+∞.

    定理5.1假設(shè)(g0)、(τ2),則方程(5)有無窮個偶的次調(diào)和解.

    θ(mπ)-θ(0)<-2jπ.

    1) 或者(u(t),v(t))∈Aj,?t∈[0,mπ],其中(u(t),v(t))由(9)式給出;

    θ(mπ)-θ(0)<-2jπ.

    以及

    [1] TORRES P J, ZANOLIN F. Periodic motion of a system of two or there charged particles[J]. J Math Anal Appl,2000,250(2):375-386.

    [2] TORRES P J. Periodic motions forced infinite lattices with nearest neighbor interaction[J]. Z Angew Math Phys,2000,51(3):333-345.

    [3] TORRES P J. Necessary and sufficient conditions for existences of periodic motions of forced systems of particles[J]. Z Angew Math Phys,2001,52(3):535-540.

    [4] SUN J, MA S. Nontrivial periodic motions for resonant type asymptotically linear lattice dynamical systems[J]. J Math Anal Appl,2014,417(2):622-634.

    [5] WANG C, QIAN D. Periodic motions of a class of forced infinite lattices with nearest neighbor interaction[J]. J Math Anal Appl,2008,340(1):44-52.

    [7] GENDELMAN O. Exact solutions for discrete breathers in a forced-damped chain[J]. Physical Review E:Statistical Nonlinear & Soft Matter Physics,2013,87(6):062911.

    [8] LIU Z, GUO S, ZHANG Z. Existence of homoclinic travelling waves in infinite lattices[J]. Bulletin of the Malaysian Mathematicalences Society,2013,36(4):965-983.

    [9] ZHOU S F, HAN X Y. Pullback exponential attractors for non-autonomous lattice systems[J]. J Dynamics and Differential Equations,2012,24(3):601-631.

    [11] 王超. 一類帶正權(quán)超線性對稱方程對稱周期解的分布[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,34(6):844-849.

    [12] PAPINI D. Boundary value problems for second order differential equations with superlinear terms:a topological approach[D]. Trrieste:Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati,2000.

    [13] 楊瀟,周鑫,楊曉燕,等. 一類次線性雙質(zhì)子耦合格點系統(tǒng)的周期解[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,39(2):236-241.

    [14] DING T, ZANOLIN F. Subharmonic solution of second order nonlinear equations:a time-map approach[J]. Nonlinear Analysis Theory Methods & Applications,1993,20(5):509-532.

    [15] FABRY C, HABETS P. Periodic solutions of second order differential equations with superlinear asymmetric nonlinearities[J]. Arch Math,1993,60(3):266-276.

    [16] PAPINI D, ZANOLIN F. Differential equations with indefinite weight:boundary value problems and qualitative problems of the solutions[J]. Rendiconti Del Seminario Matematico,2003,60(4):265-295.

    猜你喜歡
    正數(shù)降維調(diào)和
    混動成為降維打擊的實力 東風風神皓極
    車主之友(2022年4期)2022-08-27 00:57:12
    五味調(diào)和醋當先
    降維打擊
    海峽姐妹(2019年12期)2020-01-14 03:24:40
    “正數(shù)和負數(shù)”檢測題
    從“調(diào)結(jié)”到“調(diào)和”:打造“人和”調(diào)解品牌
    調(diào)和映照的雙Lipschitz性質(zhì)
    絕對值的作用
    學(xué)好乘方四注意
    拋物化Navier-Stokes方程的降維仿真模型
    計算物理(2014年1期)2014-03-11 17:00:18
    基于特征聯(lián)合和偏最小二乘降維的手勢識別
    小蜜桃在线观看免费完整版高清| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 色吧在线观看| 国产av不卡久久| 久久久久久大精品| 两个人视频免费观看高清| 久久九九热精品免费| 美女 人体艺术 gogo| 中文字幕久久专区| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 我的女老师完整版在线观看| 美女cb高潮喷水在线观看| 少妇熟女欧美另类| 成人一区二区视频在线观看| 一个人看的www免费观看视频| 熟女电影av网| 久久精品国产亚洲av香蕉五月| 国产精品爽爽va在线观看网站| 性插视频无遮挡在线免费观看| 麻豆成人午夜福利视频| 性欧美人与动物交配| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 国产伦一二天堂av在线观看| 欧美日韩综合久久久久久| 此物有八面人人有两片| 乱人视频在线观看| 婷婷色av中文字幕| 欧美不卡视频在线免费观看| 国内揄拍国产精品人妻在线| 精品久久久久久久末码| 天堂影院成人在线观看| 国内精品美女久久久久久| 久久精品久久久久久噜噜老黄 | 久久久久久伊人网av| 精品免费久久久久久久清纯| 蜜桃亚洲精品一区二区三区| 国产黄片美女视频| 久久中文看片网| 能在线免费看毛片的网站| 日本三级黄在线观看| 伊人久久精品亚洲午夜| 色哟哟哟哟哟哟| 成人国产麻豆网| 亚洲av熟女| 精品日产1卡2卡| 亚洲最大成人中文| 精华霜和精华液先用哪个| 一夜夜www| 一级av片app| 18+在线观看网站| 亚洲中文字幕日韩| 久久精品久久久久久噜噜老黄 | 嫩草影院新地址| 麻豆乱淫一区二区| 亚洲最大成人中文| 亚洲av男天堂| 一区二区三区四区激情视频 | 村上凉子中文字幕在线| 99九九线精品视频在线观看视频| 韩国av在线不卡| 成人一区二区视频在线观看| 黄色日韩在线| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| videossex国产| 精品无人区乱码1区二区| 一级av片app| 老女人水多毛片| 国产午夜精品一二区理论片| 国产一区二区三区av在线 | 久久久久国产网址| 国产三级在线视频| 国产精品免费一区二区三区在线| 最近手机中文字幕大全| 丝袜喷水一区| 久久精品人妻少妇| 精品免费久久久久久久清纯| 99热6这里只有精品| 国产精品电影一区二区三区| 亚洲激情五月婷婷啪啪| kizo精华| 久久精品国产自在天天线| 成人午夜高清在线视频| 欧美高清性xxxxhd video| 婷婷亚洲欧美| 亚洲欧美精品专区久久| 亚洲av熟女| 99久国产av精品| 欧美日本视频| 黄片wwwwww| 岛国在线免费视频观看| 国产综合懂色| 又粗又爽又猛毛片免费看| 黄色视频,在线免费观看| 99热这里只有是精品在线观看| 亚洲人成网站在线观看播放| 国产真实伦视频高清在线观看| 我要看日韩黄色一级片| 赤兔流量卡办理| 免费观看在线日韩| 97在线视频观看| 99热6这里只有精品| 久久久欧美国产精品| 国产极品精品免费视频能看的| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 欧美一区二区精品小视频在线| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 亚洲四区av| 亚洲图色成人| 亚洲性久久影院| 亚洲真实伦在线观看| 成人漫画全彩无遮挡| 亚洲成人久久爱视频| 中文资源天堂在线| 久久精品国产亚洲av香蕉五月| 夜夜爽天天搞| 中文字幕久久专区| 婷婷色综合大香蕉| 免费搜索国产男女视频| 美女高潮的动态| 日韩成人伦理影院| 国产成人精品久久久久久| 婷婷六月久久综合丁香| 亚洲欧美清纯卡通| 十八禁国产超污无遮挡网站| 岛国毛片在线播放| 国产精品一区二区三区四区久久| 成人av在线播放网站| 少妇的逼水好多| 只有这里有精品99| 美女内射精品一级片tv| 国产精品野战在线观看| 久久精品久久久久久噜噜老黄 | 成人亚洲精品av一区二区| 特级一级黄色大片| 91午夜精品亚洲一区二区三区| 国产一区二区激情短视频| 国产美女午夜福利| 久久亚洲国产成人精品v| 一区二区三区高清视频在线| 亚洲精品色激情综合| 国产老妇伦熟女老妇高清| 国产色婷婷99| 人妻夜夜爽99麻豆av| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 婷婷色av中文字幕| 中文字幕熟女人妻在线| 在线免费十八禁| 丝袜喷水一区| 97超碰精品成人国产| 最近中文字幕高清免费大全6| 亚洲五月天丁香| 国产日本99.免费观看| 国产av一区在线观看免费| 级片在线观看| 久久久久久久久中文| 亚洲国产高清在线一区二区三| 久久久久久九九精品二区国产| 热99在线观看视频| 一个人免费在线观看电影| 国产日本99.免费观看| 成人欧美大片| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看| 91av网一区二区| 日韩强制内射视频| 国产麻豆成人av免费视频| 国产高清三级在线| 全区人妻精品视频| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| 免费大片18禁| 美女 人体艺术 gogo| 免费人成在线观看视频色| 国产精品久久久久久久电影| 26uuu在线亚洲综合色| 久久综合国产亚洲精品| 国产成人aa在线观看| 免费一级毛片在线播放高清视频| 黄色一级大片看看| 久久精品久久久久久噜噜老黄 | 国产精品三级大全| 国产精品久久久久久精品电影小说 | 丝袜美腿在线中文| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 国产高清激情床上av| 麻豆国产av国片精品| 久久久久久久久久成人| 亚洲自偷自拍三级| 国产真实乱freesex| 精品国内亚洲2022精品成人| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片 精品乱码久久久久久99久播 | 91精品一卡2卡3卡4卡| 欧美又色又爽又黄视频| 美女cb高潮喷水在线观看| 中国美白少妇内射xxxbb| 在线观看一区二区三区| 亚洲av熟女| 中文字幕免费在线视频6| 国产精品一区二区三区四区免费观看| 久久人人精品亚洲av| 免费看美女性在线毛片视频| 高清在线视频一区二区三区 | 在线播放无遮挡| 欧美日本亚洲视频在线播放| 91久久精品国产一区二区三区| 日韩 亚洲 欧美在线| 亚洲,欧美,日韩| 欧美bdsm另类| 韩国av在线不卡| 在线a可以看的网站| 国国产精品蜜臀av免费| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 中文字幕久久专区| 国产精品综合久久久久久久免费| 亚洲综合色惰| 亚洲四区av| 日韩一区二区视频免费看| 国产一区二区在线观看日韩| 日日摸夜夜添夜夜爱| 级片在线观看| 亚洲精品日韩av片在线观看| 久久国内精品自在自线图片| 国产探花在线观看一区二区| 91久久精品电影网| 亚洲国产欧美人成| 精品一区二区三区视频在线| 国产成人精品一,二区 | 亚洲欧美清纯卡通| 一级毛片aaaaaa免费看小| 免费看a级黄色片| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 亚洲av不卡在线观看| 网址你懂的国产日韩在线| 国产高清激情床上av| 麻豆成人午夜福利视频| 国产精品久久久久久久电影| 国产精品久久久久久av不卡| 精品久久久久久久人妻蜜臀av| 精品人妻偷拍中文字幕| 嫩草影院入口| 久久精品国产亚洲av涩爱 | 国产精品永久免费网站| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 国产成年人精品一区二区| 国内精品宾馆在线| 日韩欧美在线乱码| 少妇丰满av| 51国产日韩欧美| 久久久久久久久久久免费av| or卡值多少钱| 亚洲人成网站高清观看| 波多野结衣高清无吗| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 一级毛片aaaaaa免费看小| 精品人妻视频免费看| 国产精品嫩草影院av在线观看| 欧美潮喷喷水| 国产精品人妻久久久影院| 人妻久久中文字幕网| 此物有八面人人有两片| 两个人视频免费观看高清| 国产精品蜜桃在线观看 | 欧美日韩乱码在线| 最后的刺客免费高清国语| 91精品国产九色| 国产精品.久久久| 久久精品国产亚洲av香蕉五月| 亚洲av熟女| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 国产成人一区二区在线| 少妇人妻一区二区三区视频| 亚洲av熟女| 在线播放国产精品三级| 亚洲中文字幕日韩| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 春色校园在线视频观看| 成人一区二区视频在线观看| 欧美又色又爽又黄视频| 国产黄片视频在线免费观看| 午夜精品国产一区二区电影 | 午夜视频国产福利| 久久国产乱子免费精品| 好男人视频免费观看在线| 高清在线视频一区二区三区 | 在线观看66精品国产| 只有这里有精品99| 青青草视频在线视频观看| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 亚洲不卡免费看| 全区人妻精品视频| 热99在线观看视频| 超碰av人人做人人爽久久| 国产v大片淫在线免费观看| 伦理电影大哥的女人| 美女黄网站色视频| 人妻少妇偷人精品九色| 国产伦一二天堂av在线观看| 婷婷色综合大香蕉| 性色avwww在线观看| 国产成人精品一,二区 | 91久久精品国产一区二区成人| 韩国av在线不卡| 婷婷亚洲欧美| 丰满人妻一区二区三区视频av| 国产亚洲av嫩草精品影院| 波多野结衣巨乳人妻| 神马国产精品三级电影在线观看| 亚洲精品粉嫩美女一区| 99热这里只有是精品在线观看| 国产探花在线观看一区二区| 欧美+亚洲+日韩+国产| 天美传媒精品一区二区| a级一级毛片免费在线观看| av又黄又爽大尺度在线免费看 | 精品久久久久久成人av| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 一本久久中文字幕| av.在线天堂| 亚洲五月天丁香| 波多野结衣巨乳人妻| 一区福利在线观看| 乱系列少妇在线播放| 国产在线男女| 国产一区二区三区av在线 | 欧美日本视频| 国内揄拍国产精品人妻在线| 乱系列少妇在线播放| 国产午夜精品论理片| 一区福利在线观看| 亚洲av免费高清在线观看| 97超碰精品成人国产| 日韩国内少妇激情av| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 一本一本综合久久| 色5月婷婷丁香| 国产成人91sexporn| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 伦理电影大哥的女人| 变态另类丝袜制服| 如何舔出高潮| 国产一级毛片七仙女欲春2| 一个人免费在线观看电影| 天堂网av新在线| 此物有八面人人有两片| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 成年av动漫网址| 两个人的视频大全免费| 18禁在线播放成人免费| 天堂影院成人在线观看| 国产亚洲5aaaaa淫片| 97热精品久久久久久| 欧美变态另类bdsm刘玥| avwww免费| 51国产日韩欧美| 免费av不卡在线播放| 亚洲国产欧美人成| 亚洲美女搞黄在线观看| 亚洲精品自拍成人| 国产精品久久视频播放| 久久亚洲国产成人精品v| 国产私拍福利视频在线观看| 麻豆乱淫一区二区| 国产熟女欧美一区二区| 免费观看人在逋| 一级黄色大片毛片| 丰满乱子伦码专区| 99精品在免费线老司机午夜| 亚洲欧洲日产国产| 99精品在免费线老司机午夜| 亚洲精品国产成人久久av| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 91麻豆精品激情在线观看国产| 女人被狂操c到高潮| 国产成人精品久久久久久| 91在线精品国自产拍蜜月| 国产在线男女| 深爱激情五月婷婷| 搞女人的毛片| 免费人成视频x8x8入口观看| 精品久久久久久久人妻蜜臀av| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| 晚上一个人看的免费电影| 哪个播放器可以免费观看大片| a级毛色黄片| 久久人人精品亚洲av| 青春草国产在线视频 | 成人漫画全彩无遮挡| 亚洲三级黄色毛片| 精品午夜福利在线看| 中文字幕久久专区| 亚洲无线在线观看| 久久久久久久久久成人| 国产精品三级大全| 国产精品电影一区二区三区| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看| 一级二级三级毛片免费看| 欧美人与善性xxx| 日本爱情动作片www.在线观看| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 国产一区二区在线观看日韩| 久久精品夜色国产| 日本黄大片高清| av卡一久久| 九草在线视频观看| 亚洲精品久久国产高清桃花| 寂寞人妻少妇视频99o| 国产真实乱freesex| 大型黄色视频在线免费观看| 桃色一区二区三区在线观看| 国产不卡一卡二| 别揉我奶头 嗯啊视频| 久久中文看片网| 成人综合一区亚洲| 最近视频中文字幕2019在线8| 亚洲丝袜综合中文字幕| 高清日韩中文字幕在线| 久久久久久久久久久丰满| 我的女老师完整版在线观看| 成人一区二区视频在线观看| 成人漫画全彩无遮挡| 日韩,欧美,国产一区二区三区 | 国产单亲对白刺激| 亚洲精品亚洲一区二区| 久久精品国产99精品国产亚洲性色| 在线观看av片永久免费下载| 99久国产av精品国产电影| 白带黄色成豆腐渣| 国产精品精品国产色婷婷| 啦啦啦韩国在线观看视频| 国产成人福利小说| 麻豆成人av视频| 岛国在线免费视频观看| 亚洲中文字幕日韩| 热99re8久久精品国产| 亚洲自拍偷在线| 精品久久久久久成人av| 国产成年人精品一区二区| a级一级毛片免费在线观看| 深爱激情五月婷婷| 波野结衣二区三区在线| 亚洲欧美日韩高清专用| 1000部很黄的大片| 日本一二三区视频观看| 国产精品一区二区性色av| 午夜激情欧美在线| 婷婷色综合大香蕉| 国产色爽女视频免费观看| 麻豆国产97在线/欧美| 久久久久免费精品人妻一区二区| 校园人妻丝袜中文字幕| 黄色一级大片看看| 成人午夜高清在线视频| 成人亚洲欧美一区二区av| 1024手机看黄色片| av天堂在线播放| 欧美xxxx性猛交bbbb| 日韩欧美 国产精品| 国产老妇伦熟女老妇高清| 日本-黄色视频高清免费观看| 精品免费久久久久久久清纯| 看黄色毛片网站| 精品久久国产蜜桃| 国产在视频线在精品| 亚洲精品自拍成人| 亚洲人与动物交配视频| ponron亚洲| 最近中文字幕高清免费大全6| 中文字幕久久专区| 九九久久精品国产亚洲av麻豆| 99久久成人亚洲精品观看| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 午夜福利成人在线免费观看| 日本与韩国留学比较| 久久人人爽人人片av| 国产爱豆传媒在线观看| 久99久视频精品免费| 国产三级在线视频| 亚洲成a人片在线一区二区| 人人妻人人澡欧美一区二区| 国产亚洲欧美98| 欧美日本亚洲视频在线播放| 亚洲国产精品国产精品| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 在线观看av片永久免费下载| 人妻久久中文字幕网| 日韩三级伦理在线观看| 91狼人影院| 亚洲五月天丁香| 国产免费一级a男人的天堂| 美女高潮的动态| 99热网站在线观看| 成人午夜精彩视频在线观看| 日韩强制内射视频| 91精品一卡2卡3卡4卡| 亚洲无线在线观看| 97超碰精品成人国产| 69人妻影院| 午夜福利在线观看免费完整高清在 | 91精品一卡2卡3卡4卡| 国产成人a∨麻豆精品| 全区人妻精品视频| 亚洲av免费高清在线观看| 永久网站在线| 一本一本综合久久| 两个人的视频大全免费| 男人狂女人下面高潮的视频| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 国产欧美日韩精品一区二区| 欧美精品国产亚洲| 国内精品久久久久精免费| 又粗又硬又长又爽又黄的视频 | 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 日本黄色片子视频| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 国产亚洲精品av在线| 一区二区三区免费毛片| 日韩精品青青久久久久久| 欧美另类亚洲清纯唯美| 国产男人的电影天堂91| 日韩,欧美,国产一区二区三区 | 美女高潮的动态| 男女下面进入的视频免费午夜| 丝袜喷水一区| 在线观看美女被高潮喷水网站| 国产精品1区2区在线观看.| 国产精品久久久久久精品电影小说 | 久久久久国产网址| 99在线视频只有这里精品首页| 国产亚洲5aaaaa淫片| 中文字幕人妻熟人妻熟丝袜美| 国产成人精品婷婷| 亚洲人成网站在线观看播放| 搡老妇女老女人老熟妇| 成年版毛片免费区| 美女内射精品一级片tv| 久久精品91蜜桃| 男插女下体视频免费在线播放| 国产精品一区二区在线观看99 | 日本熟妇午夜| 有码 亚洲区| 久久九九热精品免费| 欧美一级a爱片免费观看看| 久久久久久久午夜电影| 成人午夜精彩视频在线观看| 青青草视频在线视频观看| 国产亚洲精品av在线| 精品免费久久久久久久清纯| 国内精品一区二区在线观看| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 国产极品精品免费视频能看的| 亚洲欧美清纯卡通| 边亲边吃奶的免费视频| 少妇人妻精品综合一区二区 | 国产午夜福利久久久久久| 久久久久九九精品影院| 两个人的视频大全免费| 亚洲成a人片在线一区二区| 最新中文字幕久久久久| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| www.色视频.com| 国产在线精品亚洲第一网站| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 久久久久久久久中文| 嫩草影院新地址| 看十八女毛片水多多多| 一本久久中文字幕| 国产三级中文精品| 国产精品蜜桃在线观看 | 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 国产午夜福利久久久久久| 国产黄色视频一区二区在线观看 | 日韩av不卡免费在线播放| a级毛色黄片| av免费观看日本| 久久精品国产鲁丝片午夜精品| 久久亚洲精品不卡| av在线老鸭窝| 日韩强制内射视频| 成年版毛片免费区| 国产亚洲精品久久久com| 国产乱人视频| 干丝袜人妻中文字幕| av免费观看日本| 亚洲美女搞黄在线观看| 免费av毛片视频| 高清在线视频一区二区三区 | 男的添女的下面高潮视频| 99热6这里只有精品| 日韩欧美精品v在线| 国产精品蜜桃在线观看 | 一级毛片我不卡| 成人毛片a级毛片在线播放| 麻豆av噜噜一区二区三区| 最新中文字幕久久久久| 在线播放国产精品三级| 国产私拍福利视频在线观看| 午夜精品一区二区三区免费看| 国产精品一及| 中文字幕久久专区| 欧美一区二区国产精品久久精品| 美女被艹到高潮喷水动态| 哪里可以看免费的av片| 欧美人与善性xxx| 国产成人影院久久av| 久久热精品热| 国产精品久久久久久久久免| 亚洲av男天堂| 亚洲人成网站在线观看播放| 91在线精品国自产拍蜜月| 日本黄大片高清| 国产亚洲欧美98| 日韩精品有码人妻一区|