核心素養(yǎng)視角下的教材研究與教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“一元一次方程”為例

□王亞權(quán)

（杭州文瀾中學(xué)，浙江杭州 310015）

我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組給出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)要素是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.目前，涉及初中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究文章相對(duì)偏少，在日常教學(xué)中思考落實(shí)新理念的方法，在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中尋找發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的途徑[1]的課例則更少.本文以浙教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)“5.1一元一次方程”為例，試圖闡釋一線教師在核心素養(yǎng)視角下的教材研究和教學(xué)設(shè)計(jì)，以期核心素養(yǎng)這棵大樹能在日常教學(xué)中落地生根.

一、教材分析

（一）地位作用

一元一次方程是初中階段的一個(gè)重要內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)代數(shù)式的有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他方程知識(shí)的基礎(chǔ).本節(jié)課是一元一次方程的起始課、概念課，它為學(xué)生學(xué)習(xí)一元一次方程的解法、列方程解應(yīng)用題作準(zhǔn)備.

（二）教學(xué)內(nèi)容

教材在“合作學(xué)習(xí)”欄目中安排了3個(gè)小問題，讓學(xué)生根據(jù)題意列出方程，通過對(duì)這三個(gè)方程的分析，引出一元一次方程的概念以及一元一次方程解的概念，并對(duì)其中一個(gè)方程通過列表嘗試的方法找到該方程的解.最后以“課內(nèi)練習(xí)”的方式讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何判別一個(gè)數(shù)是不是已知方程的解等.

（三）設(shè)計(jì)意圖

由于學(xué)生在小學(xué)階段對(duì)方程的概念已經(jīng)有了初步了解，并且能解一些簡(jiǎn)單的方程、列簡(jiǎn)單的一元一次方程解決問題.從表面上看，本節(jié)課似乎起一個(gè)承上啟下的作用.細(xì)細(xì)品味，不難揣摩教材的編寫意圖.

1.引領(lǐng)教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變

教材在回顧方程的基礎(chǔ)上設(shè)置了一個(gè)“合作學(xué)習(xí)”欄目，讓學(xué)生經(jīng)歷一元一次方程這一概念的形成過程.同時(shí)，以“問題情境—建立模型—解釋與應(yīng)用”作為課程內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，一方面是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，這也是新課程下的教科書特色以及學(xué)生學(xué)習(xí)過程的模式之一[2]；另一方面是試圖以教科書為載體促進(jìn)教師改變固有的教學(xué)方式，從而改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.

2.引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)嘗試檢驗(yàn)的方法

“合作學(xué)習(xí)”欄目中的問題（3）：小強(qiáng)、小杰、張明參加投籃比賽，每人投了20次.小強(qiáng)投進(jìn)10個(gè)球，小杰比張明多投進(jìn)2個(gè)，三人平均每人投進(jìn)14個(gè)球.問小杰和張明各投進(jìn)多少個(gè)？設(shè)張明投進(jìn)x個(gè)，可列方程不妨依次取x的值為11，12，13，14，15，16，17，代入方程左邊的代數(shù)式，求出代數(shù)式的值（見表1）.

表1

由表1知，當(dāng)x=15時(shí)所以x=15就是一元一次方程的解.

教材為什么要設(shè)計(jì)這樣的一個(gè)過程讓學(xué)生體會(huì)方程的解？如果按這樣的方式設(shè)計(jì)教學(xué)，課堂上勢(shì)必會(huì)花費(fèi)比較多的時(shí)間，有沒有必要？

或許，教材中下面這段文字就是對(duì)這個(gè)問題的最好解釋：“對(duì)于一些較簡(jiǎn)單的方程，可以確定未知數(shù)的一個(gè)較小的取值范圍，逐一將這些可取的值代入方程進(jìn)行嘗試檢驗(yàn)，能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解.這種嘗試檢驗(yàn)的方法是解決問題的一種重要的方法.”

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

【片段一】

師：在小學(xué)里我們已經(jīng)學(xué)過，方程是指含有未知數(shù)的等式.你能根據(jù)下列條件分別列出相應(yīng)的方程嗎？

1.初一（2）班同學(xué)在文瀾中學(xué)第55屆田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)中頑強(qiáng)拼搏，屢創(chuàng)佳績(jī)，獲得總分95分、年級(jí)第二名的好成績(jī).

（1）已知每塊金牌得9分，（2）班同學(xué)除金牌外的其余獎(jiǎng)牌共得了59分，問初一（2）班同學(xué)獲得了幾塊金牌？若設(shè)初一（2）班同學(xué)獲得了x塊金牌，可列出方程：___________.

（2）若金牌比銀牌多1塊，除金牌、銀牌外其余獎(jiǎng)牌共得38分，已知每塊金牌得9分，每塊銀牌得7分.問初一（2）班同學(xué)獲得了幾塊金牌？若設(shè)初一（2）班同學(xué)獲得了x塊金牌，可列出方程：__________.

（3）除金牌、銀牌外其余名次共得38分，已知每塊金牌得9分，每塊銀牌得7分，若設(shè)初一（2）班同學(xué)獲得x塊金牌，y塊銀牌，可列出方程：__________.

2.運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式所用的旗幟是面積為4平方米的長(zhǎng)方形，已知長(zhǎng)比寬多0.5米，設(shè)旗幟的寬為x米，可列出方程：__________.

3.在教工運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目“勇挑重?fù)?dān)”比賽中，四位教師分別抬了校長(zhǎng)和牛雨涵同學(xué)，牛雨涵同學(xué)的體重是校長(zhǎng)體重的一半還少4kg，他們兩人的平均體重恰好是58kg.設(shè)校長(zhǎng)的體重為xkg，則牛雨涵同學(xué)的體重可表示為_____kg，可列出方程：___________.

問題1：列方程與列算式有什么不同？

問題2：你能對(duì)列出的方程按一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類嗎？

問題3：什么樣的方程叫作一元一次方程？

方程這個(gè)名詞，最早見于我國(guó)古代算書《九章算術(shù)》.《九章算術(shù)》是在我國(guó)東漢初年編定的一部現(xiàn)有傳本的、最古老的中國(guó)數(shù)學(xué)經(jīng)典著作.書中收集了246個(gè)應(yīng)用問題和其他問題的解法，分為九章，“方程”是其中的一章.其中解方程組的方法，不但是我國(guó)古代數(shù)學(xué)中的偉大成就，而且是世界數(shù)學(xué)史上一份非常寶貴的遺產(chǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】以學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以學(xué)校剛剛舉行的運(yùn)動(dòng)會(huì)為情境，設(shè)計(jì)一串列方程的實(shí)際問題，特別是教工項(xiàng)目的“勇挑重?fù)?dān)”是運(yùn)動(dòng)會(huì)的一個(gè)高潮，學(xué)生更是記憶猶新，在課的起始就能引起學(xué)生的注意和興趣.通過學(xué)生所列的方程以及不同的分類方法，讓學(xué)生經(jīng)歷一元一次方程概念的形成過程，加深對(duì)概念的理解.最后通過數(shù)學(xué)史的介紹，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)自豪感、榮譽(yù)感等教育.

【片段二】

師：使一元一次方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫作一元一次方程的解.你能根據(jù)方 程求 出 校 長(zhǎng) 的 體重嗎？

小組合作：先獨(dú)立思考下列問題，再小組合作交流.問題1：你估計(jì)校長(zhǎng)的體重在什么范圍？問題2：在表2中，可以選哪些x的值進(jìn)行嘗試？能找到方程的解嗎？

表2

問題3：這個(gè)方程的解唯一嗎？你判斷的依據(jù)是什么？

問題4：你們小組還有什么發(fā)現(xiàn)？

【設(shè)計(jì)意圖】70歲的老校長(zhǎng)是最受學(xué)生歡迎的一位長(zhǎng)者，讓學(xué)生通過猜校長(zhǎng)的體重來理解方程解的概念，既生動(dòng)又有趣.以小組合作的方式思考四個(gè)問題，意在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷嘗試檢驗(yàn)的過程和方法.問題1是想讓學(xué)生明白，在估計(jì)代數(shù)式“”的值時(shí)，首先要對(duì)選取的x的值有一個(gè)大致的范圍，范圍越小，越能節(jié)省嘗試的時(shí)間；問題2是想讓學(xué)生明白，列表是一種常用的方法，簡(jiǎn)單、有效；問題3是想讓學(xué)生明白，一元一次方程的解通常只有一個(gè)，可以通過觀察表格中數(shù)據(jù)的排列規(guī)律來發(fā)現(xiàn)代數(shù)式”的值是隨x的增大而增大的，滲透變化的思想及函數(shù)的對(duì)應(yīng)思想；問題4是想引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)思考，看學(xué)生在小組合作的過程中有沒有創(chuàng)新思維、獨(dú)特視角.

三、讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根

核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)都是研究人的素養(yǎng)問題，必然有許多共性，但數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科，在學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展中勢(shì)必有其學(xué)科的獨(dú)特性和不可替代性.

（一）發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情

一元一次方程是學(xué)生在小學(xué)階段就已經(jīng)接觸過的內(nèi)容，怎樣讓學(xué)生感到既熟悉又新鮮呢？從上述教學(xué)設(shè)計(jì)的“片段一”中我們看到，執(zhí)教者從本校運(yùn)動(dòng)會(huì)的獎(jiǎng)牌數(shù)引入，展示本班學(xué)生在運(yùn)動(dòng)會(huì)上的照片，既有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又很好地引入本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并把這個(gè)情景貫穿整節(jié)課的始終.特別是以“猜校長(zhǎng)的體重”進(jìn)行方程解的概念教學(xué)，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的參與熱情，能使學(xué)生在愉悅的心情中完成本節(jié)課的學(xué)習(xí).這是提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣、增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)信心的一種策略，也是滿足學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的基本需要.數(shù)學(xué)素養(yǎng)只能在學(xué)生所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)中產(chǎn)生，并在真實(shí)情境中表現(xiàn)出來，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成依賴于學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中對(duì)數(shù)學(xué)的體驗(yàn)、感悟和反思[3].

（二）發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，學(xué)習(xí)過程要體現(xiàn)數(shù)學(xué)味

數(shù)學(xué)概念教學(xué)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn).像一元一次方程的概念，執(zhí)教者從實(shí)際問題引入，讓學(xué)生參與對(duì)等式、方程的分類，歸納共性，形成概念，進(jìn)一步利用不同的方程進(jìn)行辨析，加深學(xué)生對(duì)一元一次方程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷一元一次方程的形成過程.本節(jié)內(nèi)容中，一元一次方程的解也是一個(gè)重要的概念，執(zhí)教者利用“哪一個(gè)數(shù)值是校長(zhǎng)的體重”來讓學(xué)生理解概念，進(jìn)一步用不同的數(shù)值來判斷是不是方程的解，凸顯數(shù)學(xué)“解”的本質(zhì).根據(jù)代數(shù)式的值隨x的變化規(guī)律來判斷一元一次方程解的唯一性，能讓人從中領(lǐng)略濃濃的數(shù)學(xué)味.

數(shù)學(xué)課除了要有數(shù)學(xué)味，還應(yīng)該有數(shù)學(xué)的文化！在一元一次方程的概念教學(xué)中，適時(shí)地介紹《九章算術(shù)》的內(nèi)容，適時(shí)地滲透一點(diǎn)數(shù)學(xué)史，不僅讓人感覺到自然，而且增加了濃濃的愛國(guó)情懷教育.

（三）發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，要激發(fā)學(xué)生的探究意識(shí)，培養(yǎng)探究精神和探究能力

對(duì)于方程的解的問題，教材是通過“列表—嘗試取值—代入求值—得解”的過程，發(fā)現(xiàn)其解為x=15.有教師認(rèn)為，既然學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單一元一次方程的解法，現(xiàn)在又已經(jīng)學(xué)習(xí)了代數(shù)式的概念及整式的加減運(yùn)算，何不直接教學(xué)生解方程？省略了這個(gè)列表嘗試的過程，省時(shí)省力，何樂而不為？

具有這種想法的教師其實(shí)不在少數(shù)，那么我們?cè)撊绾握J(rèn)識(shí)和處理這個(gè)問題呢？筆者以為，此時(shí)我們需要思考兩個(gè)問題：一是教材這樣編寫的意圖是什么？二是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如何定位？

研讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》和浙教版教材我們都可發(fā)現(xiàn)，無論是一元一次方程還是二元一次方程組，學(xué)生第一次學(xué)習(xí)時(shí)都采用列表嘗試的方法來尋找其解.這不由使我們聯(lián)想到生活，當(dāng)我們遇到一個(gè)從未遇到過的新問題時(shí)，一般都會(huì)通過嘗試去尋找其解決的方法，這是一種本能！學(xué)習(xí)也不例外[4].人在成長(zhǎng)過程中，難免會(huì)遇到各種無法預(yù)測(cè)的新問題，學(xué)校教育需要為學(xué)生今后的發(fā)展打好基礎(chǔ)，這恰恰是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)所必需的！如果我們能站在這樣的高度去理解教材、設(shè)計(jì)教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)的問題就必然能落到實(shí)處.

（四）發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，要挖掘教材背后隱含的數(shù)學(xué)原理和方法

從表面上看，采用列表嘗試的方法，一方面試圖以教科書為載體促進(jìn)教師改變固有的教學(xué)方式，從而改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式；另一方面試圖體現(xiàn)嘗試的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷如何嘗試、感受哪個(gè)數(shù)值才是方程的解的過程.其背后我們又能挖掘出哪些數(shù)學(xué)的原理和方法呢？

1.如何合理選取字母x的取值范圍

教材上的處理方式是“不妨依次取x的值為11，12，13，14，15，16，17”.教學(xué)時(shí)我們必然要考慮學(xué)生的問題：為什么要取這些數(shù)？你是怎么想到的？在上述“教學(xué)設(shè)計(jì)”中，執(zhí)教者把背景設(shè)計(jì)成“猜校長(zhǎng)的體重”問題，列出方程，除了興趣因素外，學(xué)生對(duì)校長(zhǎng)的體重范圍估計(jì)有更大的想象空間，小到70kg，大到90kg，嘗試的意味更濃.

2.為什么所列方程的解只有一個(gè)

我們將表1中的12，14分別寫成（如表3所示），可以直觀發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式的值隨著x的增大而增大.即當(dāng)x＜15時(shí)，代數(shù)式的值越來越??；當(dāng)x＞15時(shí)，代數(shù)式的值越來越大，所以方程的解只有一個(gè).

表3

3.滲透函數(shù)思想

對(duì)初一的學(xué)生雖不宜過早提及變量、函數(shù)、對(duì)應(yīng)等概念，但利用教材提供的素材，有意識(shí)地進(jìn)行自然滲透，則是教師研究教材、研究學(xué)生的能力體現(xiàn)，因?yàn)榻滩碾[含的素養(yǎng)是需要教師的研究、挖掘的.學(xué)科思維的培養(yǎng)需要有“長(zhǎng)度”的教學(xué)，更需要有“深度”的教學(xué)[5].

學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)是21世紀(jì)國(guó)內(nèi)外基礎(chǔ)教育共同關(guān)注的熱點(diǎn)專題.數(shù)學(xué)教學(xué)如何為學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展做出自己的貢獻(xiàn)？作為一線教師，就是要在教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)內(nèi)容、問題情境、活動(dòng)過程、教學(xué)媒體、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)等方面都要加強(qiáng)落實(shí)核心素養(yǎng)的思考，就是要立足學(xué)生的發(fā)展，研究教材，設(shè)計(jì)教學(xué)，改變傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)方式和被動(dòng)式學(xué)習(xí)方式，培育基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以滿足學(xué)生終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展的需要 .

［1］章建躍.樹立課程意識(shí) 落實(shí)核心素養(yǎng)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（5）：1-4.

［2］顧繼玲.關(guān)于數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的選擇與組織［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（2）：1-4.

［3］康世剛，宋乃慶.論數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵及特征［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（3）：8-11.

［4］王亞權(quán).探索從嘗試開始［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（2）：20-24.

［5］殷容儀.循序漸進(jìn)的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效途徑［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（1）：14-16.