導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

摘要：極限貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的始終，其計(jì)算對(duì)于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)非常重要，洛必達(dá)法則屬于極限計(jì)算的重要方法，文章通過(guò)舉例說(shuō)明洛必達(dá)法則解決的常見(jiàn)的幾種極限形式，并根據(jù)在教學(xué)過(guò)程的心得提出了對(duì)于高職學(xué)生在運(yùn)用洛必達(dá)法則的過(guò)程中的注意事項(xiàng)。

關(guān)鍵詞：洛必達(dá)法則；極限；高職教學(xué)

極限是學(xué)生從高中數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)過(guò)度的第一課，也是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)遇到的第一道坎，然而極限方法是研究變量的一種基礎(chǔ)方法，也是后續(xù)導(dǎo)數(shù)及微積分學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，然而，在高職教學(xué)過(guò)程中，由于學(xué)生的基礎(chǔ)以及后續(xù)專業(yè)課對(duì)基礎(chǔ)課的需求，我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)的教學(xué)中弱化了學(xué)生對(duì)理論的推導(dǎo)與掌握，我們的重點(diǎn)更偏向于計(jì)算部分，因此，在極限的學(xué)習(xí)當(dāng)中，極限計(jì)算的方法在高職學(xué)生接觸高等數(shù)學(xué)的第一課顯得尤為重要。

在極限的計(jì)算形式當(dāng)中，主要有既定式和未定式兩種形式的計(jì)算，對(duì)于既定式的求解，由于其采用的方法比較簡(jiǎn)單（直接代入法），所以高職學(xué)生易于掌握，但對(duì)未定式極限的計(jì)算，由于其類型復(fù)雜，不同類型的處理方法有所不同，所以求解技巧性強(qiáng)，對(duì)于高職學(xué)生來(lái)說(shuō)掌握有一定難度，但當(dāng)運(yùn)用洛必達(dá)法則解決未定式極限時(shí)，其技巧性稍弱，學(xué)生掌握起來(lái)更容易。

所以，本文對(duì)運(yùn)用洛必達(dá)法則求解各種未定式極限進(jìn)行相應(yīng)舉例說(shuō)明，并總結(jié)了在高職教學(xué)中運(yùn)用洛必達(dá)法則過(guò)程中需要注意和經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題，為高職學(xué)生學(xué)習(xí)洛必達(dá)法則提供了一定的幫助。

一、 洛必達(dá)法則

若函數(shù)f（x）和g（x）滿足：

（1）limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=0（或limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=∞

（2）若函數(shù)f（x）和g（x）在點(diǎn)x0處的某個(gè)去心領(lǐng)域內(nèi)均可導(dǎo)，且g（x）′≠0

（3）limx→x0f（x）′g（x）′=A（或∞）

則有l(wèi)imx→x0f（x）g（x）=f（x）′g（x）′=A（或∞）

二、 洛必達(dá)法則解未定式極限方法舉例

（一） 直接運(yùn)用洛必達(dá)法則00型與∞∞型

此類函數(shù)求極限只需運(yùn)用洛必達(dá)法則直接對(duì)此分式函數(shù)的分子分母求導(dǎo)，直到分子分母只要有一個(gè)不為0或∞

此類型函數(shù)舉例如下：

1. 00型

例1limx→0ex-e-xsinx=00limx→0ex+e-xcosx=2

2. ∞∞型

例2limx→+∞x2ex=∞∞limx+∞2xex=limx→+∞2ex=0

（二） 需要變形計(jì)算（∞-∞型、0型、00型、1型、∞0型等）

1. ∞-∞型

對(duì)于此類函數(shù)的極限，我們需要將其變?yōu)?0型或∞∞型，處理手段有以下兩種：

（1）通分

例3limx→32x2-9-1x-3=

∞-∞limx→32-x+3x2-9=limx→3-12x=-16

（2）有理化：①分子有理化；②分母有理化

由于有理化主要針對(duì)含有根號(hào)的式子，而根號(hào)的出現(xiàn)會(huì)使得求導(dǎo)過(guò)程變得復(fù)雜，鑒于數(shù)學(xué)計(jì)算的目的是計(jì)算變得簡(jiǎn)單、可行，所有對(duì)于含有根號(hào)的

00型或∞∞型，我們一般不采取洛必達(dá)法則求解，而采取其他求極限的方法進(jìn)行求解。

2. 0·∞型

處理方法：針對(duì)此類函數(shù)極限應(yīng)用洛必達(dá)法則求解時(shí)，我們通常需要選擇其中一個(gè)因式到分母，將兩個(gè)式子相乘變?yōu)閮蓚€(gè)式子相除，從而將0·∞型變?yōu)?0型或∞∞型，由于洛必達(dá)法則涉及求導(dǎo)問(wèn)題，所以在選擇誰(shuí)去作為分母時(shí)，我們通常遵循的原則是：選擇更易于求導(dǎo)的式子去作為分式函數(shù)的分母，這樣才不會(huì)使得我們的求解過(guò)程變得復(fù)雜或不易求出。

此類型函數(shù)舉例如下：

例4limx→0-x2·e1x2

=0·∞limx→0-e1x21x2=limx→0-e1x2·（-2）x-3（-2）x-3=∞

3. 00型、1型、∞0型等

處理方法：對(duì)于既是指數(shù)函數(shù)，又是冪函數(shù)型的式子求極限，為了不使整個(gè)計(jì)算式子太復(fù)雜，我們可以先求以此函數(shù)式為真數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)的極限，然后通過(guò)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以將此類型函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為兩個(gè)式子相乘，再利用0.型極限的計(jì)算方法，求出此對(duì)數(shù)函數(shù)的極限，最后，利用對(duì)數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的性質(zhì)，再反求以此次極限結(jié)果為指數(shù)的結(jié)果，即為所求的函數(shù)的極限。

此類型函數(shù)舉例如下：

例5limx→0+（sinx）x

解：此型式為00型

limx→0+ln（sinx）x=limx→0+xln（sinx）

=limx→0+ln（sinx）1x=limx→0+cosxsinx-1x2

=limx→0+-x2cosxsinx=limx→0+-x2cosxx=0

limx→0+（sinx）x=e0=1

例6limx→1x11-x

解：此型式為1∞型

limx→1lnx11-x=limx→111-xlnx=limx→1lnx1-x=limx→11x-1=-1

limx→1x11-x=e-1=1e

例7limx→1cotx1lnx

解：此型式為∞∞型

limx→1lncotx1lnx=limx→11lnxlncotx=limx→1lncotxlnx

=limx→1-csc2xcotx1x=limx→1-xsinxsin2xcosx=-1limx→1cotx1lnx=e-1=1e

三、 洛必達(dá)法則教學(xué)心得

（一） 洛必達(dá)法則求極限，其技巧性不如直接求極限方法強(qiáng)，學(xué)生掌握起來(lái)比較容易，但是其適用于易于求導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，當(dāng)表達(dá)式不易于求導(dǎo)數(shù)（比如含有根號(hào)的式子）時(shí)，盡管可以運(yùn)用洛必達(dá)法則，但會(huì)使得運(yùn)算過(guò)程比較復(fù)雜，所以建議考慮運(yùn)用其他方法。

（二） 運(yùn)用洛必達(dá)法則的終止：當(dāng)分子分母同時(shí)是無(wú)窮大或0時(shí)，可以無(wú)限次使用洛必達(dá)法則，但當(dāng)使用之后分子分母只要有一個(gè)不為0或無(wú)窮大時(shí)，則需要停止使用洛必達(dá)法則。

（三） 洛必達(dá)法則與其他求極限方法的混用：在使用洛必達(dá)法則時(shí)，等價(jià)無(wú)窮小的替換可以與其一起使用，這樣會(huì)使得求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算變得簡(jiǎn)單，但是，無(wú)窮小的替換一定要在運(yùn)用洛必達(dá)法則之前完成，千萬(wàn)不能分子分母一個(gè)在進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小的替換，一個(gè)在運(yùn)用洛必達(dá)法則，即洛必達(dá)法則的使用一定要分子分母同步。

（四） 洛必達(dá)法則不是萬(wàn)能，有些式子的雖然符合洛必達(dá)法則的使用條件，但是運(yùn)用洛必達(dá)法則無(wú)法計(jì)算出結(jié)果或極限不存在，這時(shí)并不表明此式子的極限不存在，以下例子將說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，此時(shí)我們需要考慮運(yùn)用其他方法。

例8limx→∞x+sinx1+x

解：根據(jù)其類型觀察，此類函數(shù)屬于∞∞型，根據(jù)洛必達(dá)法則的使用條件，我們可以運(yùn)用洛必達(dá)法則，運(yùn)用洛必達(dá)法則結(jié)果如下：

limx→∞x+sinx1+x=limx→∞1+cosx1=limx→∞1+cosx

根據(jù)函數(shù)極限的定義，由于limx→∞cosx的極限不存在，所以limx→∞

1+cosx的極限不存在

而此函數(shù)通過(guò)其他方法計(jì)算函數(shù)極限如下：

limx→∞x+sinx1+x=limx→∞（x1+x+sinx1+x）=limx→∞x1+x+

limx→∞sinx1+x=limx→∞11+1x+limx→∞sinx1+x

因?yàn)閘imx→∞11+1x=1

limx→∞11+x=0

所以limx→∞x+sinx1+x=1

參考文獻(xiàn)：

[1]周承貴，熊啟才，龍偉忠.應(yīng)用高等數(shù)學(xué)（理工類）[M].重慶：重慶大學(xué)出版社，2015.

作者簡(jiǎn)介：羅光俊，貴州省貴陽(yáng)市，貴州建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院。