三款動態(tài)數(shù)學(xué)軟件設(shè)計“迭代”類積件的比較分析*
——以《圓的面積》公式推導(dǎo)為例

☆ 楊秀燕 黃立春 唐劍嵐

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西桂林 541004）

迭代是一種類似于程序設(shè)計中遞歸算法的特殊變換，是指按照一定的變換規(guī)則，由原象（發(fā)生迭代的初始對象）到初象（原象經(jīng)過一系列變換操作得來的對象）反復(fù)映射的過程。原象可以是進(jìn)行幾何迭代的點，也可以是進(jìn)行數(shù)值迭代的參數(shù)。

一、積件基本原理及效果

《圓的面積》是人教版六年級上冊第五章的內(nèi)容，在圓的面積公式的推導(dǎo)中滲透“轉(zhuǎn)化思想”、“圖形的割補”、“化曲為直”、“無限逼近”等數(shù)學(xué)思想與方法，有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力。

引入動態(tài)數(shù)學(xué)軟件一方面是為了增強(qiáng)課堂互動性，另一方面旨在通過積件，動態(tài)視覺化的呈現(xiàn)圓切割并拼接成矩形的過程，從而突破圓的面積公式推導(dǎo)的難點，提效課堂教學(xué)。積件首先呈現(xiàn)半徑為r且切割成若干等份的圓（如圖1）；接著，將上、下部分扇形展開至同一水平線并拼接成矩形（或平行四邊形），其中矩形的高近似圓的半徑r，底近似圓周長的一半；最后，增加分割份數(shù)，得出矩形面積，從而推出圓的面積計算公式。

圖1 圓的面積積件展示

一般而言，考慮將上、下半圓分成N等分，總體上為2N等分。N為奇數(shù)或偶數(shù)影響制作過程。首先，考慮當(dāng)N為偶數(shù)時。在圓展開至同一水平線過程中，可以發(fā)現(xiàn)，各扇形上的弦與水平方向夾角逐漸減小，直至水平時夾角為0度。考慮四分之一圓（如圖2），圓弧展開動畫實質(zhì)上經(jīng)歷了（1）Rotate({S4},P4,α)（表示扇形S4繞著點P4旋轉(zhuǎn)α，α＞0時逆時針方向旋轉(zhuǎn)）；（2）Rotate({S3,S4},P3,α)；（3）Rotate({S2,S3,S4},P2,α)；（4）Rotate({S1,S2,S3,S4},P1,α/2)。 其中α為等分后扇形的圓心角，值為180°/N，值得注意的是，弦P1P2在半徑OP1上的弦切角僅為扇形所對的圓心角的一半。因此，上述（4）的旋轉(zhuǎn)角為α/2。

圖2 N為偶數(shù)

圖3 N為奇數(shù)

由上分析可得，對四分之一圓n等分，展開動畫為

接著，分析當(dāng)N為奇數(shù)時。在四分之一圓中（如圖3），發(fā) 生（1）Rotate({S3},P3,α)；（2）Rotate({S2,S3},P2,α)；（3）Rotate({S1,S2,S3},P1,α)。與N為偶數(shù)的區(qū)別在于不存在旋轉(zhuǎn)角為α/2的情況。如下以N為偶數(shù)為例，分別應(yīng)用三款軟件實現(xiàn)圓的分割。

二、三款軟件的制作過程

三款軟件均能夠動態(tài)地展現(xiàn)出幾何對象的位置關(guān)系、運行變化規(guī)律。但是，操作過程與動畫原理之間存在一定的差異性。

（一）幾何畫板制作過程

20世紀(jì)80年代幾何畫板由美國Key Curriculum Press公司制作并出版，1996年該公司授權(quán)人民教育出版社在中國發(fā)行該軟件的中文版。強(qiáng)大的迭代功能是幾何畫板制作本積件的優(yōu)勢所在，特別是能夠支持參數(shù)與幾何的同步迭代，為本積件的制作帶來了便利。具體制作過程如下。

1.創(chuàng)建控制點以及參數(shù)

繪制點A(1,0)與B(1,-1)，選中點O（原點）、A、B構(gòu)造“三角形的內(nèi)部”，并在三角形上取“邊界上的點”，得點C，作為控制點；度量點C的橫與縱坐標(biāo)，新建參數(shù)t=1與 N=4；依次計算“abs(yc)”、“t=1”、“N-1”、“-90°/N”、“-90°/2N”、“90°(sgn(t-1)+1)/2/N·xc”。

2.確定半徑以及制作拼接動畫

在y軸上取點D，雙擊O標(biāo)記中心，按固定比1/2縮放D得到點E；以O(shè)為中心，“-90°/2N”為旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)E得到點E′；以D為中心，縮放E′固定比-yc/2得到點F；標(biāo)記向量DO，平移F得到點F′。其中點D用于控制圓的半徑大小。

3.制作迭代原像

在畫布上任意畫G、H兩點，以G為中心，最后一個參數(shù)為旋轉(zhuǎn)角度（如圖4），旋轉(zhuǎn)H得到點H′；再以H′為中心，“-90°/N”為旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)G得到點 G′；連接線段FF′，雙擊線段FF′標(biāo)記鏡面，反射如圖5所示扇形（包括線段GH′、G′H′、弧 GG′以及面 GG′H′）；再以O(shè)為中心，將兩扇形旋轉(zhuǎn)180°。

圖4 幾何畫板各參數(shù)

圖5 迭代原像

4.深度迭代

依次選中G、H、t以及N-1，按住Shift鍵不放，選擇深度迭代，創(chuàng)建 (G,H,t)→(G′,H′,t+1)的迭代；選中點G和F，單擊“編輯/合并”，重復(fù)操作，將點H和F′也合并。

5.優(yōu)化界面

隱藏?zé)o關(guān)對象，分別制作C到A、B、O的移動按鈕，添加文本等。此時已實現(xiàn)“化圓為方”效果，其中底邊長為周長的一半πr，高為半徑r。

（二）Hawgent皓駿制作過程

Hawgent皓駿是一款動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，能夠處理幾何、代數(shù)、三角、概率、統(tǒng)計、算法、微積分等數(shù)學(xué)問題，并且能夠根據(jù)圖形間的邏輯關(guān)系推理出幾何性質(zhì)，即自助推理。Hawgent皓駿同樣具備迭代功能，雖然當(dāng)前版本不能實現(xiàn)參數(shù)與幾何圖形的同步迭代（數(shù)值迭代中的參數(shù)能在幾何迭代中直接應(yīng)用），在本案例中無法判斷旋轉(zhuǎn)角為α還是α/2，但也可以通過其他操作達(dá)到目的。其具體實現(xiàn)方法如下。

在此之前，有必要說明：Hawgent皓駿測量值或計算值按照創(chuàng)建順序默認(rèn)給參數(shù)賦予u000-u999形式的變量名，引用參數(shù)時只需手動輸入?yún)?shù)的變量名即可。

1.創(chuàng)建控制點以及參數(shù)

顯示坐標(biāo)系，繪制點A（0，0）、B（1，0）、C（1，-1）；依次選中A、B、C創(chuàng)建多邊形，在多邊形上取點D；測量D的X-坐標(biāo)XD與y-坐標(biāo)yD，此時XD、yD變量名分別為u000、u001；創(chuàng)建變量尺，其中變量名為n，范圍為2到10，計算“ -90/floor(n)”。

2.確定半徑并制作拼接動畫

在y軸上取點E，依次選中A、E，創(chuàng)建中點F；依次選中F、A，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變化旋轉(zhuǎn)“u002/2”得到點G；依次選中E、G，創(chuàng)建參數(shù)為“-u001”的參數(shù)點H；依次選中H、E、A，構(gòu)造平移變換得到點I，線段連接HI。

3.制作迭代原像與初像

依次選中I、H，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)“-u000*u002/2”得到點J；依次選中H、J，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)“u002”得到點K；依次選中點H、J，繪制指定圓心角的圓弧，其中圓心角為“u002 ”；連接線段HJ、KJ；重復(fù)上述操作，J繞 K旋轉(zhuǎn)“-u000*u002”得到點L，然后K繞L旋轉(zhuǎn)“u002”得到點M，創(chuàng)建圓弧連接線段。

4.迭代變換

依次選中J、K，單擊迭代打開迭代窗口，新建(J，K)→(L,M)映射，勾選顯示弧以及扇形的兩條邊，確定迭代。此時默認(rèn)做5次，激活編輯模式，在對象窗口中找到迭代，右鍵打開迭代屬性窗口，修改迭代層數(shù)為“floor(n)-2”。

5.完善圖形優(yōu)化界面

選中所有扇形以及線段HI，構(gòu)造對稱變換；再次選中所有扇形以及點A，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)180°；選中點D創(chuàng)建變量尺，隱藏?zé)o關(guān)變量，填充扇形顏色等（如圖6）。

圖6 Hawgent皓駿

（三）玲瓏畫板制作過程

經(jīng)過多年的探索與更新，玲瓏畫板在平面幾何、立體幾何、解析幾何、不等式、函數(shù)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。特別是在立體幾何上有著不錯的表現(xiàn)，立體圖形的創(chuàng)建、空間動畫制作等均有所突破。遺憾的是，玲瓏畫板當(dāng)前版本缺失迭代功能。所以在本案例中，只能制作確定切割份數(shù)的積件，具體制作過程如下。

1.等分圓以及創(chuàng)建參數(shù)

右鍵選擇“2D網(wǎng)格模式”，在網(wǎng)格上繪制半徑為4且第二個點位于圓心的正右側(cè)位置的圓，然后隱藏網(wǎng)格；自左向右用線段連接圓心與圓上的點，并在線段上取一點A；新建參數(shù)a，雙擊參數(shù)，選中線段上的點，修改終值為0.5，最大值為30，選中點A綁定動點。此時點A在0到0.5位置上移動時參數(shù)a的變化范圍是0到30。

2.制作展開動畫

將圓12等分，對點添加標(biāo)簽；單擊“創(chuàng)建—變換—旋轉(zhuǎn)”打開旋轉(zhuǎn)變換窗口，首先以點P3為中心，旋轉(zhuǎn)角度為a，將P4與O添加變換得到點O1和P5；然后再以P2為中心，旋轉(zhuǎn)角度為a，將對P3、O以及O1、P5添加變換得到點 O2、O3、P6、P7；最后再以P1為中心，旋轉(zhuǎn)a/2角度，將P2、O、O2、O3、P6、P7添加變換得到點 O4、O5、O6、P8、P9、P10。由于過程中涉及的點過多，可選擇性的將不需要的點隱藏。

3.補充其余展開動畫

連接OP1并作其中點B，選中點B，以O(shè)旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角度為-15°，添加變換得到點B′；連接OB′，在O點上新建自由點O′；打開平移動畫窗口，選中點A設(shè)定變量（拖動A可以實現(xiàn)動畫過程），選中OB′設(shè)定平移軸，修改起值為0.5終值為1，將O′添加到動畫；以O(shè)P1為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)角度為180°，對各扇形上的點添加變換；最后再以O(shè)′為中心，旋轉(zhuǎn)角度為180°，對各扇形上的點添加變換。如此即可補充其余部分圓上的展開動畫。

4.優(yōu)化界面

將各扇形圓弧補充完整，并創(chuàng)建“圓弧面”；修改顏色，隱藏?zé)o關(guān)對象等（如圖7）。

圖7 玲瓏畫板

三、總結(jié)與思考

Hawgent皓駿與玲瓏畫板是國內(nèi)新興的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，較之幾何畫板或許不夠成熟，但也各具千秋。對比發(fā)現(xiàn)，幾何畫板的迭代功能較強(qiáng)，能支持幾何與數(shù)值的同步迭代。而Hawgent皓駿的幾何迭代與數(shù)值迭代雖然分開進(jìn)行，但也能實現(xiàn)較好的迭代功能。玲瓏畫板目前還不能很好的支持迭代，于本案例而言，幾何畫板更具優(yōu)勢。

在實際教學(xué)中，教師可根據(jù)教學(xué)需求選擇合適的軟件。當(dāng)然，技術(shù)的使用是手段而不是目的。如果使用得當(dāng)，將技術(shù)有機(jī)融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，改善學(xué)習(xí)方式，將能在“授人以魚”的同時“授人以漁與欲”。

[1]唐劍嵐等主編.計算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)原理與實踐[M].北京：清華大學(xué)出版社,2012.

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[4]張景中,彭翕成.函數(shù)作圖軟件的評價和選擇[J].數(shù)學(xué)通報,2007(08):1-9.

[5]唐劍嵐.魚漁欲”三位一體優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的理念與策略—以“三角形的內(nèi)角”課例片段分析為例[J].基礎(chǔ)教育研究,2015(09):5-10.

[6]唐劍嵐,周元.授人以魚”的同時“授人以漁與欲”—以《等差數(shù)列的前n項和》公式推導(dǎo)片段為例[J].數(shù)學(xué)通報,2016(09):41-46.