論高中數(shù)學(xué)中的周期函數(shù)

楊好

【摘要】周期函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一大重難點(diǎn)，掌握其基本性質(zhì)和主要特點(diǎn)，對(duì)于提升學(xué)生們的解題能力有很大幫助。本文簡單介紹了周期函數(shù)的定義和基本性質(zhì)，并結(jié)合教材內(nèi)容進(jìn)一步詳細(xì)探討了關(guān)于應(yīng)用周期函數(shù)需要注意的幾點(diǎn)問題，希望能夠幫助高中生更好地掌握這門課程。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 周期函數(shù) 性質(zhì)分析 應(yīng)用探討

一直以來，周期函數(shù)在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都占有十分重要的地位，并且在物理、化學(xué)等其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。因此，學(xué)好周期函數(shù)對(duì)于促進(jìn)高中生整體綜合素質(zhì)水平的提升而言具有十分積極的意義。高中生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，首先應(yīng)理清周期函數(shù)的基本性質(zhì)，其次要深入了解課本上所沒有提到的注意事項(xiàng)，做到靈活運(yùn)用周期函數(shù)知識(shí)來解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題，拓寬自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維。

一、周期函數(shù)的基本概念

根據(jù)高一課本教材中的定義，周期函數(shù)是指：對(duì)于函數(shù)f（x），若存在一個(gè)常數(shù)T（T≠0），使x取定義域內(nèi)的任一值時(shí)，均存在f（x+T）f（x）=恒成立，則這樣的函數(shù)被稱為周期函數(shù)，T為該函數(shù)的周期。在理解周期函數(shù)的基本概念時(shí)，我們需注意以下幾點(diǎn)內(nèi)容：

第一，若函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，則該函數(shù)的定義域一定為無界區(qū)間；

第二，若函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，周期為T，則KT也是函數(shù)f（x）的周期；

第三，并不是所有的函數(shù)都存在最小正周期，例如，當(dāng)函數(shù)f（x）的值為固定值時(shí)，即f（x）=c，任意一個(gè)非零的實(shí)數(shù)，我們都可以將其稱為f（x）的周期值，不存在最小正周期的說法；

第四，周期函數(shù)不都是三角函數(shù)，如常函數(shù)f（x）=c，包含三角函數(shù)符號(hào)的也不一定是周期函數(shù)，如f（x）=sin|x|等。

第五，部分非周期函數(shù)在其部分定義域分段上可以為周期函數(shù)，如函數(shù)f（x）=sin|x|等。

二、周期函數(shù)的重要性質(zhì)

根據(jù)課本教材內(nèi)容，一般而言，周期函數(shù)重要包括以下幾點(diǎn)重要性質(zhì)：

性質(zhì)1：若f（x）的定義域?yàn)镽，且該函數(shù)的圖像關(guān)于兩條不同的直線x=a和x=b對(duì)稱，則函數(shù)f（x）的周期T=2b-2a。特別地，如果f（x）為偶函數(shù)，圖像關(guān)于直線X=a對(duì)稱，則其周期T=2a。

證明過程如下：

由于f（x）圖像關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱，所以可以得到：f（x）=f（2a-x）和f（x）=f（2b-x），即f（2b-2a+x）=f（2b-（2a+x）），化簡可得：f（2a-x）=f（x），性質(zhì)1得證。

性質(zhì)2：若一個(gè)定義在R上的函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)P（a，0）和直線x=b對(duì)稱，則稱該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期T=4b-4a

證明如下：

f（x）關(guān)于點(diǎn)P（a，0）和直線x=b對(duì)稱，

f（x）=-f（2a-x），f（x）=f（2b-x）

則可得：

f（4b-4a+x）=f（2b-（4a-2b-x））

=f（4a-2b-x）

=f（2a-（2b-2a+x））

=f（（2b-2a+x））

=f[2b-（2a-x）]

=-f（2a-x）

=f（x）

由以上證明，不難得出f（x）為周期函數(shù)，且周期值為4b 4a。

性質(zhì)3：若函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，且函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）和點(diǎn)（b，0）對(duì)稱，則我們稱函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，周期T=2（a-b）。

證明如下：

由于函數(shù)f（x）關(guān)于兩個(gè)不同的點(diǎn)（a，0）、（b，0）對(duì)稱，所以有：

f（2a-x）=f（x），f（2b-x）=f（x），

則f[2（a-b）+x]=f[2a-（2b-x）]

=f（2b-x）

二-[-f（x）]

二f（x）

由上可證，函數(shù)f（x）為定義在R上的一個(gè)周期函數(shù)，且周期值為2（a-b）。

三、學(xué)習(xí)周期函數(shù)需要注意的幾點(diǎn)問題

高中生在學(xué)習(xí)周期函數(shù)這部分內(nèi)容時(shí)，除了要把握課本教材上的基本概念以外，還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)問題，以徹底弄懂周期函數(shù)的性質(zhì)內(nèi)涵。

一是，周期函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于其定義域內(nèi)的每一個(gè)x值都成立。即f（x）=f（x+T）對(duì)于任意一個(gè)x∈R都成立，所以我們?cè)谂袛嘁粋€(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)時(shí)，只需列舉一個(gè)反例證明即可。

二是，注意理清“x”的內(nèi)涵。函數(shù)的周期性是針對(duì)定義域內(nèi)的x值而言，學(xué)生在進(jìn)行換算時(shí)，一定要注意理清x值的概念。

三是，并不是每個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期。例如，常函數(shù)f（x）=a，任意一個(gè)正數(shù)都可以作為它的周期，而正數(shù)不存在最小的數(shù)值，所以該函數(shù)沒有最小正周期。

四是，若一個(gè)定義在R內(nèi)的函數(shù)f（x）周期值為T，則kT（k∈z，k≠0）也是該函數(shù)的周期。

五是，周期函數(shù)不一定是三角函數(shù)，學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)一定要克服思維上的習(xí)慣定勢(shì)，緊扣周期函數(shù)的定義來思考和解決問題。

四、結(jié)語

綜上所述，作為高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，周期函數(shù)一直都是高中生普遍感到學(xué)習(xí)起來較為吃力的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。要想徹底掌握周期函數(shù)知識(shí)，學(xué)生們除了要熟練把握課本上的基本概念和性質(zhì)以外，還應(yīng)結(jié)合具體例題來展開深層次的探究，理清周期函數(shù)的內(nèi)涵和主要特點(diǎn)，并將其靈活地應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題，從而不斷促進(jìn)自身綜合素質(zhì)水平的提升。

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