數(shù)學(xué)命題:讓“變”生長(zhǎng)在教材母題上—一道七年級(jí)期末測(cè)試題的命制與啟示

廣東省珠海市金鼎中學(xué)(519085) 呂堯華

筆者有幸參與了2017年珠海市七年級(jí)第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題的整個(gè)命制過程且擔(dān)任命題組長(zhǎng).全卷共20道小題,下面筆者結(jié)合試卷中的第18題的命制過程,談?wù)剬?duì)“教材母題”改造的具體做法和命題啟示.

一、命題的過程

第18題命題起始制定雙向細(xì)目表時(shí)對(duì)這道題目的定位是:(1)有關(guān)“第五章相交線與平行線”的幾何綜合題;(2)既要控制難度又要考察學(xué)生解決幾何問題的能力.

基于以上定位,確定命制此題的切入點(diǎn):先選擇合適的“母題”,經(jīng)過一番思考后,確定以下這道題目作為命制第18題的“母題”.

教材母題:(課本第37頁第13題)

(1)如圖1,點(diǎn)D、E、F分別是三角形ABC的邊BC、CA、AB上的點(diǎn),DE//BA,DF//CA.求證:∠FDE=∠A.

(2)如圖2,AB和CD相交于點(diǎn)O,∠C=∠COA,∠D=∠BOD.求證:AC//BD.

圖1

圖2

第18題的雛形如圖3,點(diǎn)D、E、F分別是三角形ABC的邊BC、CA、AB上的點(diǎn),AG與DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,∠1=∠3,∠2=∠4,∠5=∠B.

圖3

(1)求證:AG//BC;

(2)若AC平分∠BAG,∠C=65°,求∠5的度數(shù).

與命題組的老師商討后,對(duì)第18題的雛形有如下修改意見:

主題干表述冗長(zhǎng),是否可以精簡(jiǎn)文字?

主題干中已知條件“相等的角的數(shù)量”有些多,是否可以去掉一組?

圖形中角多、線段多,有些復(fù)雜,能否簡(jiǎn)化圖形?

基于以上意見,我對(duì)雛形做了如下一番改造:針對(duì)“圖形中角多、線段多”的問題,我的解決辦法是去掉“線段DF”使原有圖形中的兩個(gè)“A”圖形變?yōu)橐粋€(gè)“A”圖形以達(dá)到簡(jiǎn)化圖形的目的,把∠1與∠2合并成∠BAE,把∠4與∠3合并成∠BDE,以達(dá)到減少角的目的,得第18題的第一稿 :

如圖4,已知∠1=∠B,∠BAE=∠BDE,AC與DE相交于點(diǎn)F.

圖4

(1)求證:AE//BC;

(2)若AC平分∠BAE,∠C=65°,求∠1的度數(shù).

與命題組的老師再次商討后,對(duì)第18題的第一稿的修改意見:本題的第(2)問與試卷第13題重復(fù)考察運(yùn)用平行線的性質(zhì)求角度問題,而且問題設(shè)置偏簡(jiǎn)單,沒有達(dá)到命題起始的定位:既要控制難度又要考察學(xué)生解決幾何問題的能力.

于是,對(duì)第18題的第一稿再做如下改造:我嘗試將第(2)問中的已知條件“AC平分∠BAE”變成求證的結(jié)論,然后運(yùn)用“分析法”逆向推理發(fā)現(xiàn)已知條件“∠DFC=∠C”,得第18題的第二稿 :

如圖5,已 知∠1 =∠B,∠BAE=∠BDE,AC與DE相交于點(diǎn)F.

圖5

(1)求證:AE//BC;

(2)若∠DFC=∠C,求證:AC平分∠BAE.

此時(shí)第18題“基本”大功告成,為什么說是“基本”,請(qǐng)大家火眼金睛比較“第18題的第二稿”與“第18題的終稿”有什么不同?

第18題的終稿如圖6,已知∠1=∠B,∠BAE=∠BDE,AC與DE相交于點(diǎn)F.

圖6

(1)求證:AE//BC;

(2)若∠DFC=∠C,求證:AC平分∠BAE.

細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn),“圖形”有細(xì)微的差別,第(2)問中已知“∠DFC=∠C”,所以在畫圖形時(shí)應(yīng)該準(zhǔn)確的體現(xiàn)出來,初一的學(xué)生剛剛接觸幾何證明,不要在題目設(shè)計(jì)上迷惑學(xué)生,給學(xué)生解答題目設(shè)置障礙.

二、命題的啟示

證明題的考核目標(biāo)在于考查學(xué)生的邏輯推理能力.初一學(xué)生對(duì)幾何證明的要求不能過高,因此命題時(shí)要注意:

(1)控制證明題試題的難度;

(2)選擇學(xué)生熟悉的基本的幾何圖形;(第18題是基本圖形“A”字圖形與“X”圖形的組合圖形)

(3)預(yù)設(shè)多種論證方式.(第18題設(shè)計(jì)了兩種證法,證法1用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”,結(jié)合圖形利用“平角”來證AE//BC;證法2用“內(nèi)錯(cuò)角相等”來證AE//BC.此題的兩種證法都運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的演繹法和分析法.)

如果我們?cè)诿}時(shí),讓題目之根扎在教材中,再讓“變”生長(zhǎng)在教材母題上,那么這種寓“變”于教學(xué)之中的方法,不但可以以少勝多,而且可以培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新精神,還可以促使學(xué)生愛學(xué)數(shù)學(xué).所以教師在平時(shí)教學(xué)中要多關(guān)注教材中的重點(diǎn)例題、習(xí)題,然后由這些題目出發(fā),讓“變”生長(zhǎng)在教材母題上,由淺入深,由此及彼,讓學(xué)生越來越對(duì)數(shù)學(xué)感興趣,越來越愛上數(shù)學(xué),變得越來越聰明!