中考試題中的面積問題與方法

廣東省中山市教育教學研究室(528400) 周曙

按照義務(wù)教育數(shù)學課程標準的要求,小學階段學生初步掌握長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形與圓的面積公式,并能解決簡單的實際問題.初中階段與面積有關(guān)的教學內(nèi)容只有以下兩條:會計算圓的弧長、扇形的面積;了解相似三角形面積比等于相似比的平方.但近年來,廣東省中考試題中關(guān)于面積的題目屢見不鮮,詳情見下表:

?

由上表可見,面積問題在近幾年廣東中考試題中年年出現(xiàn),而且基本上都是在選擇、填空和解答題的最后一題的位置,其重要性可見一斑.由于初中階段沒有系統(tǒng)的學習與歸納面積方法,以致學生答題過程中常常感到無從下手,本文試圖對近幾年的中考試題進行分析,對常見的面積問題與方法加以歸納,供初三復習備考時參考.

一、直接利用面積公式求面積

例1 (廣東省2015年第9題)如圖1,某數(shù)學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心,AB為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細),則所得的扇形DAB的面積為( )

A.6 B.7 C.8 D.9

圖1

此題考查的是扇形面積公式.解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)圖中正方形和扇形之間的兩個關(guān)系:(1)周長相等;(2)扇形的半徑與正方形的邊長相等.由正方形周長得到扇形的周長等于12,由正方形邊長得到扇形的半徑等于3,由扇形的周長和半徑得到弧長等于6,代入扇形面積公式得扇形面積為9.答案為D.

例2 (廣東省2013年第22題)如圖2,矩形ABCD中,以對角線BD為一邊構(gòu)造一個矩形BDEF,使得另一邊EF過原矩形頂點C.

(1)設(shè) Rt△BCD的 面 積 為S1,Rt△BFC的 面 積 為S2,Rt△DEC的面積為S3,則(用“＞”、“=”、“＜”填空);

圖2

(2)寫出題22圖中的三對相似三角形,并選擇其中一對進行證明.

此題第(1)問考查的是三角形和矩形的面積公式.由已知條件無法求出S1,S2和S3的值,但是可以根據(jù)三角形的面積公式和矩形的面積公式判斷S1是矩形BDEF面積的一半,進而得到S2+S3也是矩形BDEF面積的一半,所以得到S1與S2+S3的相等關(guān)系.

二、利用面積之和(差)求面積

例3 (廣東省 2012年第10題)如圖3,在平行四邊形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以點A為圓心,AD的長為半徑畫弧交AB于點E,連結(jié)CE,則陰影部分的面積是____(結(jié)果保留π).

圖3

此題陰影部分為不規(guī)則圖形,解題關(guān)鍵是將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成面積之差,即S陰影=S平行四邊形ABCD?S扇形DAE?S△BCE,通過計算得到陰影部分的面積為

例4 (廣東省 2014年第 16題)如圖4,△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn) 45°得到 △A′B′C′,若∠BAC=90°,則圖中陰影部分的面積等于___.

圖4

圖5

此題陰影部分是不規(guī)則的四邊形,解題關(guān)鍵是能夠?qū)㈥幱安糠值拿娣e轉(zhuǎn)化成面積之差或面積之和.這道題既可利用△ABF與△BDE的面積之差求得陰影部分的面積是也可利用三角形△ADE與△ADF的面積之和求得.

三、利用三角形邊長、高與面積之間的關(guān)系求面積

例5 (廣東省2017年第10題)如圖6,已知正方形ABCD,點E是BC邊的中點,DE與AC相交于點F,連接BF,下列結(jié)論:S△ABF=S△ADF;S△CDF=4S△CEF;3S△ADF=2S△CEF;△ADF=2S△CDF,其中正確的是()

A.B.C.D.

圖6

兩個三角形如果底相同或相等,則三角形的面積比等于高的比.如果高相同或相等,則三角形的面積比等于底的比.根據(jù)正方形的性質(zhì)可判斷△AFD和△AFB屬于同底等高的三角形,所以面積相等,故正確,由BE=EC=所以S△ADF=2S△CDF,S△CDF=2S△CEF,S△ADF=4S△CEF,故正確,錯誤.答案為C.

例6 (廣東省2015年第16題)如圖7,△ABC三邊的中線AD,BE,CF的公共點G,若S△ABC=12則圖中陰影部分面積是____.

圖7

此題陰影部分兩個三角形都不是特殊三角形,邊長也不易求得,題設(shè)條件是△ABC的面積及中線,可以根據(jù)中線的性質(zhì)得到線段之間的關(guān)系,進而得到面積之間的關(guān)系.根據(jù)AD,BE,CF是△ABC三邊的中線可以得到所以S△BFC?S四邊形BDGF=S△BDA?S四邊形BDGF,即S△CDG=S△AFG,同理可得S△AEG=S△BDG.又因為點D,E,F分別是BC,AC,AB邊上的中點,所以得到S△BDG=S△CDG,S△CEG=S△AEG,S△AFG=S△BFG.根據(jù)等式的傳遞性得S△BDG=S△CDG=S△CEG=所以,陰影部分的面積為4.

四、利用圖形全等或相似求面積

例7 (廣東省2013年第16題)如圖8,三個小正方形的邊長都為1,則圖中陰影部分面積的和是___.(結(jié)果保留π)

圖8

此題右下陰影部分和左下陰影部分都不是特殊角的扇形,不能直接利用扇形面積公式,注意到左下陰影部分與右上小扇形全等,恰好補成一個圓心角為90°的扇形,因此利用割補法可求左下陰影部分與右下陰影部分的面積和為再與左上陰影部分扇形面積相加得出結(jié)果:

例8 (廣東省 2011年第 10題)如圖 (1),將一個正六邊形各邊延長,構(gòu)成一個正六角星形AFBDCE,它的面積為1;取 △ABC和△DEF各邊中點,連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1,如圖 (2)中陰影部分;取△A1B1C1和△D1E1F1各邊中點,連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2,如圖(3)中陰影部分;如此下去…,則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積為____.

圖9

此題屬于規(guī)律探索題,解題關(guān)鍵是能夠判斷圖中正六角星形相似并找到相似比.利用相似圖形的面積比等于相似比的平方,得到這些正六角星形的面積依次為……即正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積為

五、一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形求面積

例9 (2014年第 23題)如圖10,已知B(?1,2)是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)0,m＜0)圖象的兩個交點,AC⊥x軸于C,BD⊥y軸于D.

(1)根據(jù)圖象直接回答:在第二象限內(nèi),當x取何值時,一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值?

(2)求一次函數(shù)解析式及m的值;

(3)P是線段AB上的一點,連接PC,PD,若△PCA和△PDB面積相等,求點P坐標.

圖10

圖11

圖12

此題第(3)問考查在直角坐標系中求三角形面積的問題.關(guān)鍵是會把一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形,利用點的坐標得到線段的長度.常用的點的坐標和線段之間的關(guān)系是:平行于x軸的線段長等于線段兩個端點的橫坐標差的絕對值,平行于y軸的線段長等于線段兩個端點的縱坐標差的絕對值,常用輔助線做法是過已知點作坐標軸的垂線段.

雖然△PCA和△PDB都不是特殊的三角形,但是AC和BD分別與x軸,y軸平行,所以過點P作AC延長線的垂線PE,過點P作BD延長線的垂線PF.局部圖形分解出來如圖12所示.設(shè)P點坐標為(x,y),則PE=x+4,PF=2?y,利用△PCA和△PDB面積可以列出方程進行求解.

例10 (廣東省2015年第25題)如圖13,在同一平面上,兩塊斜邊相等的直角三角板Rt△ABC與Rt△ADC拼在一起,使斜邊AC完全重合,且頂點B,D分別在AC的兩旁,∠ABC=∠ADC=90°,∠CAD=30°,AB=BC=4cm.

(1)填空:AD=____(cm),DC=____(cm);

(2)點M,N分別從A點,C點同時以每秒1cm的速度等速出發(fā),且分別在AD,CB上沿A→D,C→B的方向運動,當N點運動到B點時,M,N兩點同時停止運動,連結(jié)MN,求當M,N點運動了x秒時,點N到AD的距離(用含x的式子表示);

圖13

圖14

圖15

(3)在(2)的條件下,取DC中點P,連結(jié)MP,NP,設(shè)△PMN的面積為y(cm2),在整個運動過程中,△PMN的面積y存_在最大值,請求出這個最大值.(參考數(shù)據(jù):

近幾年,中考壓軸題都是與面積有關(guān)的函數(shù)綜合題.這類問題的解題關(guān)鍵是能夠在復雜的圖形背景中識別出常見的基本圖形,把一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形.

此題第(3)問中三角形PMN不是特殊的三角形,如圖二可以過點N作NF⊥CD于點F,將三角形PMN的面積問題轉(zhuǎn)化成直角梯形MDFN與直角三角形MDP和直角三角形NFP的面積之差,即S△PMN=S梯形MDFN?S△MDP?S△NFP.局部分解出來如圖15所示.此題計算量比較大,結(jié)果形式復雜,對學生的運算能力要求比較高.

面積是初中數(shù)學中一個非常重要的概念,解決面積問題的主要方法是轉(zhuǎn)化,將一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形,將面積問題轉(zhuǎn)化面積之和或面積之差.在轉(zhuǎn)化的過程中可以培養(yǎng)學生的幾何直觀、推理能力,又可以滲透模型思想、符號意識.直角坐標系中的面積問題要善于利用線段長度與坐標之間的關(guān)系,在初中數(shù)學總復習中,設(shè)計與面積問題有關(guān)的專題復習課,引導學生對面積問題進行梳理分類,對解題方法進行歸納總結(jié),可以進一步完善學生的知識結(jié)構(gòu),提升解決問題的能力.