“一個(gè)折疊問題中兩個(gè)角大小比較”的再思考*

江蘇省盱眙中學(xué)(211700) 董培仁

問題在圖1的 △ABC中,邊AB=25、AC=40,高AD=24,沿高AD將△ABC折成如圖2的幾何體,試考慮∠BAC與∠BDC大小關(guān)系.

圖1

一、學(xué)生的思考

學(xué)生給出的結(jié)論大都是∠BAC＜∠BDC.

圖2

不少學(xué)生是這樣看的:在圖2中,因?yàn)锳D⊥BD,AD⊥CD,所以AD⊥平面BCD,∠BDC是∠BAC正投射到平面BCD得到的,顯然應(yīng)該有∠BAC＜∠BDC.有學(xué)生將圖2中△ABC“平放”到平面BCD上 (如圖3),連接AD并延長交BC于E.由于三角形的一個(gè)外角大于不相鄰的一個(gè)內(nèi)角,則∠BDE＞∠BAE,∠EDC＞∠EAC,所以∠BDC＞∠BAC.

圖3

二、教學(xué)的處理

為了糾正學(xué)生錯(cuò)誤,我們在講解時(shí)用“極端化”方法進(jìn)行了處理,即:當(dāng)折的幅度很小(接近圖1情形)時(shí),∠BDC接近180°,顯然∠BAC＜∠BDC;而當(dāng)折的幅度很大(接近B在DC上的圖4情形)時(shí),∠BDC接近0°,顯然∠BAC＞∠BDC.因此,∠BAC與∠BDC誰大誰小是不確定的.

圖4

上面的處理,并沒有給出兩個(gè)角大小關(guān)系轉(zhuǎn)換具體情形,雖學(xué)生不得不接受結(jié)論,但不能理解兩個(gè)角大小轉(zhuǎn)換的原因.

為讓學(xué)生理解,我們通過計(jì)算兩個(gè)角的余弦進(jìn)行處理.

在圖2中,Rt△ABD的斜邊AB=25,一直角邊AD=24,則另一直角邊Rt△ACD的斜邊AC=40,一直角邊AD=24,則另一直角邊DC=32.設(shè)BC=d,由于DC?BD＜BC＜DC+BD,則BC=d∈(25,39).由余弦定理:由得222d2=205950,即則當(dāng)時(shí),cos∠BAC＞cos∠BDC,即∠BAC＜∠BDC;當(dāng)時(shí),cos∠BAC=cos∠BDC,即∠BAC=∠BDC;當(dāng)時(shí),cos∠BAC＜cos∠BDC,即∠BAC＞∠BDC.因此,∠BAC與∠BDC的大小是不確定的.

三、問題的再思考

我們給出了“極端化”和求余弦值的兩種解法后,學(xué)生不得不承認(rèn)∠BAC與∠BDC的大小是不確定的這個(gè)結(jié)論.但一些喜歡思考的同學(xué)多次與我探討這個(gè)問題,始終不明白直觀體驗(yàn)到那么明顯的關(guān)系怎么就是錯(cuò)誤的,原因到底在哪里?

事實(shí)上,學(xué)生對圖的形狀與相應(yīng)數(shù)據(jù)沒有對應(yīng)好.為讓學(xué)生的“彎子”能繞過來,我們參照學(xué)生的“平放”法,在學(xué)校的江蘇省“數(shù)字化高中課程基地”里進(jìn)行了試驗(yàn).

在圖5中作DH⊥BC,垂足為H,連接AH.由于AD⊥平面BCD,則AD⊥BC,又DH⊥BC,AD∩DH=D,所以BC⊥平面ADH,故BC⊥AH.再將△ABC“平放”到平面BCD上(如圖6),則AH⊥BC且D在AH上.我們將圖6中AB、AC、BD、DC、AE(過D、H)做成骨架,且D、H在骨架AE上都可以滑動(dòng),移動(dòng)B、C點(diǎn)(始終有AE⊥BC).由于BC∈(25,39),我們就考察B與C兩點(diǎn)距離d在(25,39)范圍內(nèi)變化時(shí),∠BAC與∠BDC的大小關(guān)系.

圖5

圖6

d在(25,39)范圍內(nèi)變化時(shí),會出現(xiàn)三種情況:H在BC之間、H與B重合、H在CB的延長線上.

圖7

由條件及前面的計(jì)算已知AB=25,AD=24,BD=7,AC=40,AD=24,DC=32,d=BC∈(25,39).

若H在BC之間 (如圖7(1))時(shí),∠DBH是銳角,則BD2+BC2＞DC2得所以d＜39.此時(shí)∠BDH是△ABD中∠BDA的外角,則∠BDH＞∠BAD,同理∠CDH＞∠CAD,則顯然有∠BAC＜∠BDC.

若H與B重合 (如圖7(2))時(shí),顯然有∠BAC＜∠BDC.

若H在CB的延長線上(如圖7(3))時(shí),易知25＜d＜情況比較復(fù)雜,下面進(jìn)行具體分析.由于H在BC之間、H與B重合兩種情形都有∠BAC＜∠BDC,因此兩個(gè)角大小轉(zhuǎn)換應(yīng)該在“H在CB的延長線上”這種情形中發(fā)生.

學(xué)生得出錯(cuò)誤結(jié)論的原因:一是只想到了“H在BC之間”這一種情形;二是雖然有的想到了三種情況,但認(rèn)為“H在CB的延長線上”這種情形下仍只有∠BAC＜∠BDC.

對于錯(cuò)誤一的糾正,要引導(dǎo)學(xué)生考慮∠DBC＞90°、∠DBC=90°的情況,再進(jìn)一步進(jìn)行處理.

對于錯(cuò)誤二的糾正,考慮到學(xué)生對“H在CB的延長線上情形中,圖的形狀與相應(yīng)數(shù)據(jù)沒有對應(yīng)好,我們先引導(dǎo)學(xué)生從圖形的模型變化中進(jìn)行體驗(yàn),再用數(shù)的形式進(jìn)行推導(dǎo)與計(jì)算.

圖8

我們在圖6的骨架中,移動(dòng)B、C點(diǎn)(D、H在骨架AE上滑動(dòng),始終有AE⊥BC),讓BC逐漸變小,學(xué)生就會體驗(yàn)到兩個(gè)角的大小就會出現(xiàn)三種情形變化:∠BAC＜∠BDC(如圖8(1)),∠BAC=∠BDC(如圖8(2)),∠BAC＞∠BDC(如圖8(3)).

為了讓學(xué)生理解形的變化與數(shù)量的變化保持一致,先看下面的一個(gè)問題:

如圖9,∠MON=90°,點(diǎn)A、B在射線OM上,其中OA=a,OB=b(b＞a＞0),點(diǎn)C是在射線ON上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠BCA取得最大值時(shí),求OC的長.

圖9

設(shè)OC=x,則可 得 tan∠BCA= tan(∠OCB?∠OCA) =即 tan∠BCA=我們知道:上是增函數(shù),在上是減函數(shù);y=tanx在上增函數(shù).因此容易知道:時(shí),x越大,tan∠BCA越大,所以∠BCA越大;時(shí),x越大,tan∠BCA越小,所以∠BCA反而越小.故當(dāng)時(shí),∠BCA取得最大值.

因此,“H在CB的延長線上”情形中(如圖7(3)),雖然A在D的上方,并不總有∠BAC＜∠BDC,而是有對應(yīng)圖8中的三種情形.

事實(shí)上,由于25＜d＜39,結(jié)合上面余弦定理計(jì)算的結(jié)果,數(shù)形對應(yīng)如下(如圖10):

圖10

當(dāng)25時(shí),∠BAC＞∠BDC;當(dāng)d=時(shí),∠BAC=∠BDC;當(dāng)時(shí),∠BAC＜∠BDC.

在后來的交流中,那些提出疑問的學(xué)生接受了上面對問題的處理.這也讓我們體會到:在問題處理中,數(shù)形之間不能切合時(shí),若只從一個(gè)角度進(jìn)行思考,雖然能得出解答,但并沒有讓學(xué)生真正理解,難以達(dá)到應(yīng)有的教學(xué)效果.因此,不能為了解決問題,只用“數(shù)解形”或用“形解數(shù)”,而是要讓兩者在真正地結(jié)合.這就要求我們在教學(xué)中,讓“做”與“算”建立協(xié)作體,對于學(xué)生不理解的“算”,要通過技術(shù)手段“做”出來讓學(xué)生看,同樣對于學(xué)生不理解的“做”時(shí),要通過“算”出來幫助理解,讓兩者全方位、多角度、深層次交互作用,達(dá)到真正地切合,才能讓教學(xué)效果最優(yōu)化.