多元最值巧轉(zhuǎn)化
——一題多解雙曲線的離心率問題

☉安徽省滁州中學(xué) 傅毓?jié)?/p>

著名科學(xué)家錢學(xué)森先生說過：“模型就是通過對問題現(xiàn)象的分解，利用我們考慮得來的原理吸收一切主要的因素，略去一切不主要的因素，所創(chuàng)造出來的一幅圖畫.”圓錐曲線中橢圓或雙曲線的離心率問題的求解一直是熱點問題，也是歷年高考、競賽中比較常見的一類問題.下面結(jié)合一道新穎的雙曲線試題，通過多元最值的巧妙轉(zhuǎn)化來解決雙曲線的離心率問題，知識板塊融合巧妙，方法多樣，是創(chuàng)新意識與素養(yǎng)培養(yǎng)的良好素材.

題目 已知c為雙曲線a＞0，b＞0）的半焦距，當(dāng)取得最大值時，雙曲線C的離心率e=______.

分析：涉及雙曲線問題的多元最值，解決的思維方式就是通過基本不等式、柯西不等式來轉(zhuǎn)化，或通過消元達到整體思維的應(yīng)用，或通過換元達到減少參數(shù)個數(shù)，或通過引入?yún)?shù)來轉(zhuǎn)化等方式達到求解的目的.方法眾多，思維各異.

思維方式1：結(jié)合多元代數(shù)式的平方，巧妙通過分式中分子的二次系數(shù)的關(guān)系，利用基本不等式確定代數(shù)式的最大值，根據(jù)基本不等式中取等號時的條件來確定參數(shù)a、b的比值關(guān)系，進而利用雙曲線的離心率公式來求解即可.

思維方式2：結(jié)合多元代數(shù)式與雙曲線中的參數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，巧妙利用柯西不等式來確定代數(shù)式的最大值，根據(jù)柯西不等式取等號時的條件來確定參數(shù)a、b的比值關(guān)系，進而利用雙曲線的離心率公式來求解即可.

解法2（柯西不等式法）：由于a，b，c均為正實數(shù)，且

由柯西不等式得（4a+3b）2≤（42+32）（a2+b2），當(dāng)且僅時等號成立，則有

思維方式3：結(jié)合多元代數(shù)式與雙曲線中的參數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，確定其相對應(yīng)的幾何意義，利用定點到動直線的距離的關(guān)系與兩直線垂直確定代數(shù)式的最大值，根據(jù)直線的斜率公式與兩直線垂直的條件來確定參數(shù)a、b的比值關(guān)系，進而利用雙曲線的離心率公式來求解即可.

解法3（幾何意義法）：由于a，b，c均為正實數(shù)，且c2=，其幾何意義是點P（4，3）到直線l：ax+by=0的距離d，而直線l是過原點O（0，0）的動直線，則有d≤|OP|=，當(dāng)且僅當(dāng)OP⊥l，即kOP·kl=取得最大值d=5，max

思維方式4：結(jié)合多元代數(shù)式與雙曲線中的參數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，設(shè)出兩個平面向量的坐標(biāo)，利用關(guān)系式所對應(yīng)的平面向量的夾角的余弦值，通過平面向量的位置關(guān)系來確定代數(shù)式的最大值，進而確定參數(shù)a、b的比值關(guān)系，利用雙曲線的離心率公式來求解即可.

思維方式5：根據(jù)雙曲線中的參數(shù)關(guān)系加以三角代換，把相應(yīng)的多元代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角關(guān)系式，利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定代數(shù)式的最大值，進而確定參數(shù)a、b的比值關(guān)系，利用雙曲線的離心率公式來求解即可.

解法5（三角換元法）：由于a，b，c均為正實數(shù)，且c2=a2+b2，故可設(shè)a=c cosα，b=c sinα，α∈4cosα+3sinα=5sin（α+φ），當(dāng)且僅當(dāng)sin（α+φ）=1，即α+φ=取得最大值5，此時有a=解得

思維方式6：結(jié)合多元代數(shù)式的平方，轉(zhuǎn)化為涉及參數(shù)a，b的比值關(guān)系式，引入?yún)?shù)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的函數(shù)，通過求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來確定函數(shù)的最大值問題，進而確定參數(shù)的取值，即參數(shù)a，b的比值關(guān)系，進而利用雙曲線的離心率公式來求解即可.

無論采用何種方法求解此類問題，解決的關(guān)鍵是減少參數(shù)個數(shù)或轉(zhuǎn)化參數(shù)，通過消元或換元（整體思想）或引參（目的是減元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題）等來轉(zhuǎn)化，達到可以根據(jù)不等式、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、相關(guān)的幾何意義等角度來確定最值的目的，從而得以巧妙轉(zhuǎn)化，圓滿解答.H