談數(shù)學(xué)中的“元”及其處理策略

☉浙江省三門縣三門中學(xué) 方勇兵

解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵在于解題突破口的準(zhǔn)確攫取，著名專家羅增儒教授所提出的“問題結(jié)構(gòu)差異分析”著眼于問題條件和結(jié)論在結(jié)構(gòu)上的差異并探尋一定的手段進行問題的解決.本文將問題中的“元”作為問題分析和解決的突破口進行了數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一些思考.

一、“元”的概念

數(shù)學(xué)問題中的研究對象所包含的某個未知數(shù)或已知量、式子、基本圖形單元等等是本文研究所特指的“元”.從其形式上來看，“元”有“數(shù)元”和“形元”之分，其中“數(shù)元”又包含未知“元”、常數(shù)“元”和式“元”這幾種，而“形元”又包含點、直線、三角形等基本的圖形.從“元”在問題中的地位來進行區(qū)分，“元”又有主元和非主元之分.本文所要研究的“元”主要是“數(shù)元”.

問題1 已知x∈［-1，1］時，x2+2a+1-a≤0，求a的取值范圍.

問題2 已知a∈［-1，1］時，x2+2a+1-a≤0，求x的取值范圍.

問題3 已知x、y為正數(shù)，x+y=xy，求xy的最大值.

x，y，a正是上述問題中的“數(shù)元”，其中，x和a分別是問題1中的“主元”和“非主元”，問題2相反.xy、x+y則是問題3中的“式元”.

二、“元”的常見分析與處理策略

如何對數(shù)學(xué)問題中的“元”進行分析和處理是解題的關(guān)鍵，其常見方法有以下幾種.

1.消元

解決多元問題時常用的“消元法”是最為常見的一種方式.

例1 已知x、y是正實數(shù)，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.

解：由2x+8y-xy=0知因為x，y是正實數(shù)，所以y-2＞0，則x+y=+10=18，當(dāng)且僅當(dāng)y-2＞0，即y=6，x=12時，x+y有最小值18.

評注：問題在消元之后轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)中的常見模型

例2 當(dāng)S，t取遍所有實數(shù)時，求A=（S+5-3|cos t|）2+（S-2|sin t|）2的最小值.

評注：利用公式、定理等進行消元也是數(shù)學(xué)解題中常用的方法.

2.增元

尋找問題中量的本質(zhì)聯(lián)系還可以通過增設(shè)變量來實現(xiàn)，問題本質(zhì)得以揭示的同時還能使運算更加簡便.

例3 已知橢圓=1，直=1，點O為坐標(biāo)原點，P為l上一點，射線OP交橢圓于點R，點Q在OP上并滿足|OQ|·|OP|=|OR|2.當(dāng)點P在l移動時點Q的軌跡方程如何？其軌跡為什么曲線？

圖1

解：由已知|OQ|·|OP|=|OR|2，得（0，1），所以.由P、R位置關(guān)又點R在橢圓C上，點P在直線l上，將坐標(biāo)代入橢圓和直線，得=λ，消去λ，化簡得=1（其中x、y不同時為零）.

故Q點軌跡為以（1，1）為中心、長短半軸分別為且長軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點.

評注：比值的引入使得二次運算簡化成了一次運算.

例4 已知x＜0，且

評注：未知數(shù)的值難求及形式復(fù)雜使得解方程與求值產(chǎn)生了困難，但問題中的關(guān)系因為增設(shè)元的行為得到了清晰的梳理.

3.換元

數(shù)學(xué)解題中最為常見的換元思想根據(jù)換元對象和方法的不同存在整體代換、三角代換、均值代換這幾種不同的方法，問題的本質(zhì)及其轉(zhuǎn)化常常在換元中能夠得到很好的揭示.

例5 解方程

解：令則原方程即即A2+B2+2AB-2（A+B）=0，所以（A+B）（A+B-2）=0，因為A≥0，B≥0，且A、B不同時為0，所以A+B＞0，且A+B-2=0，即A+B=2. ①

又易知A2-B2=2， ②

由①②，得A-B=1， ③

評注：考慮題中是關(guān)鍵量，利用它們可以來表示其他的量，這種關(guān)系通過整體換元而表現(xiàn)得更為明確，問題解決起來更加順利.

例6 已知x、y、z為實數(shù)，且求證：x，y，z中必有兩個互相相等.解： 設(shè)x=tanα，y=tanβ，z=tanγ，則已知等式即為0，即tan（β-γ）+tan（γ-α）+tan（α-β）=0.因為（β-γ）+（γ-α）+（α-β）=0，所以tan（β-γ）·tan（γ-α）·tan（α-β）=tan（β-γ）+tan（γ-α）+tan（α-β）=0，即tan（β-γ）=0，tan（γ-α）=0，tan（α-β）=0必有一個成立，即β-γ=k1π，γ-α=k2π，α-β=k3π（k1，k2，k3，∈Z）必有一個成立，即tanβ=tanγ，tanγ=tanα，tanα=tanβ必有一個成立，所以x，y，z中必有兩個相等.

評注：由題中式子特征與兩角和正切公式具備一定的相似性聯(lián)想三角代換法使得問題得以轉(zhuǎn)化是換元法中一個比較典型的用法.

4.主元轉(zhuǎn)換

解題過程中被予以特殊地位并被特別看重的某個“元”稱之為“主元”，“主元法”的運用往往能夠起到很好的解題效果.

例7 已知a，b，c，d滿足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值.

解：由已知兩式消去a，得（8-b-c-d-e）2+b2+c2+d2+e2=16，即2b2-2（8-c-d-e）b+（8-c-d-e）2+c2+d2+e2-16=0（以b為主元）.

因為b∈R，所以=（8-c-d-e）2-2［（8-c-d-e）2+c2+d2+e2-16］≥0，

即3c2-2（8-d-e）c+（8-d-e）2-2（16-d2-e2）≤0（以c為主元）.

因為c∈R，所以=（8-d-e）2-3［（8-d-e）2-2（16-d2-e2）］≥0，

即4d2-2（8-e）d+（8-e）2-3（16-e2）≤0（以d為主元）.

因為d∈R，所以=（8-e）2-4［（8-e）2-3（16-e2）］≥0，即5e2-16e≤0，所以0≤因此e的最大值為

評注：四個未知數(shù)在設(shè)定主元之前具有平等的地位，問題隨著主元設(shè)置的變化也轉(zhuǎn)變成了方程、不等式及函數(shù)等問題而得到有效解決.

5.非主元分離

“分離參數(shù)法”這一典型的非主元分離法在解題中的應(yīng)用主要是為了將非主元的干擾進行一一的清除.

例8已知a＞0，且a≠1，0＜x＜1，判斷|loga（1-x）|與|loga（1+x）|的大小.

故|loga（1-x）|＞|loga（1+x）|.

評注：分離參數(shù)a的運用使得對a的討論得以規(guī)避.分離參數(shù)在解不等式恒成立等問題中也經(jīng)常得到運用，此類問題往往因為構(gòu)造函數(shù)并轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題得到很好的解決.H