☉四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林 李雪梅
函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念,是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線.著名數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為:“函數(shù)概念,應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂.”[1]函數(shù)定義深含數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn),具有較高的立人樹人價(jià)值.但是,高中函數(shù)定義是公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn).有調(diào)查顯示,超過90%的中學(xué)生弄不清究竟函數(shù)是指f,是f(x),還是y=f(x);高中學(xué)生很難接受“對(duì)應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)”的表述[2].學(xué)生感到理解函數(shù)定義困難的重要原因是很難接受對(duì)應(yīng)關(guān)系f,其根本原因是認(rèn)知負(fù)荷的總量超過了工作記憶容量的上限[3].關(guān)于高中函數(shù)定義已有一些教學(xué)設(shè)計(jì),但尚未看到在初中函數(shù)定義基礎(chǔ)上直接建構(gòu)高中函數(shù)定義的教學(xué)設(shè)計(jì).對(duì)此,本文在初中函數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上基于認(rèn)知負(fù)荷理論給出函數(shù)定義的“八步”教學(xué)設(shè)計(jì).
米勒的組塊理論表明,成人工作記憶可以同時(shí)處理5至9個(gè)信息組塊(chunk)[4].1988年澳大利亞教育心理學(xué)家斯威勒(J.Sweller)等人提出了認(rèn)知負(fù)荷理論[5].該理論認(rèn)為認(rèn)知資源(即工作記憶容量)是有限的[6].認(rèn)知負(fù)荷分為內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷、外在認(rèn)知負(fù)荷和相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷,該理論認(rèn)為這三種認(rèn)知負(fù)荷的總量應(yīng)限制在工作記憶容量的范圍之內(nèi).
內(nèi)部認(rèn)知負(fù)荷是指工作記憶對(duì)認(rèn)知任務(wù)本身所包含的信息元素及其交互性進(jìn)行認(rèn)知加工活動(dòng)所產(chǎn)生的負(fù)荷[7].當(dāng)學(xué)習(xí)材料的內(nèi)部認(rèn)知負(fù)荷高于工作記憶容量的上限時(shí),可以將學(xué)習(xí)材料進(jìn)行適當(dāng)分解,采用“小步子”教學(xué)來降低內(nèi)部認(rèn)知負(fù)荷;也可以通過呈現(xiàn)一些與新知學(xué)習(xí)具有實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的引導(dǎo)性材料也就是所謂的“腳手架”,來降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷.對(duì)于新學(xué)習(xí)的高中函數(shù)定義而言,最好的“腳手架”就是初中學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等具體函數(shù)模型.下面將以學(xué)生熟知的二次函數(shù)y=x2-1作為新知識(shí)的“腳手架”,通過幾個(gè)引導(dǎo)性問題的思考與探究,最后師生協(xié)同完成用“集合”和“對(duì)應(yīng)”概念給這個(gè)二次函數(shù)重新定義的任務(wù),這里的重新定義,其實(shí)質(zhì)就是用高中函數(shù)定義的方式重新來定義二次函數(shù)y=x2-1.這樣處理的意圖是分解和降低內(nèi)部認(rèn)知負(fù)荷.
外在認(rèn)知負(fù)荷是添加給內(nèi)部認(rèn)知負(fù)荷的額外負(fù)荷,它是由學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式及其所要求的學(xué)習(xí)活動(dòng)所帶來的負(fù)荷,主要是由于不恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)所致[8].可通過優(yōu)化學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)形式來控制或減少外在認(rèn)知負(fù)荷.
相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷是在建構(gòu)圖式時(shí)不是必須但投入后又有利于圖式建構(gòu)的認(rèn)知負(fù)荷,也與教學(xué)設(shè)計(jì)有關(guān)[8].良好的教學(xué)設(shè)計(jì)雖然可能會(huì)適度增加學(xué)生的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷,使之在圖式建構(gòu)中投入更多的努力,但它有利于圖式建構(gòu)和圖式自動(dòng)化.
14世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家奧萊斯姆使用了圖形表示依時(shí)間t而變的x.這可能是函數(shù)概念的萌芽.17世紀(jì)伽俐略、笛卡爾等注意到一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系.在牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分時(shí),數(shù)學(xué)家還沒有明確的函數(shù)概念,他們把函數(shù)當(dāng)作曲線.1718年約翰·貝努利把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”.18世紀(jì)歐拉給出了函數(shù)符號(hào)f(x).歐拉的定義是:一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和常數(shù)組成的解析式[9].簡言之,函數(shù)即解析式(注:不嚴(yán)密).1822年傅里葉發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示,也可用一個(gè)式子表示,或用多個(gè)式子表示.1823年柯西認(rèn)為函數(shù)不一定要有解析表達(dá)式.1837年狄利克雷指出:“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的值x,y都有一個(gè)確定的值,那么y叫做x的函數(shù).”[9]至此,傅里葉、柯西和狄利克雷等對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)更全面、嚴(yán)密了,標(biāo)志著函數(shù)概念的成熟.
由此可見,函數(shù)概念從萌芽到成熟經(jīng)歷了300多年的時(shí)間,教師不能期望學(xué)生能在幾節(jié)課之內(nèi)把函數(shù)理解得很準(zhǔn)確、很到位.
基于認(rèn)知負(fù)荷理論,高中函數(shù)定義的教學(xué),需要分解和降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷,控制或減少外在認(rèn)知負(fù)荷,適當(dāng)增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷,以期促進(jìn)學(xué)生提升復(fù)雜認(rèn)知任務(wù)(高中函數(shù)定義學(xué)習(xí))的完成水平.據(jù)此,筆者構(gòu)建了高中函數(shù)定義的“八步”教學(xué)設(shè)計(jì),即“憶”—“激”—“問”—“探”—“粗”(“粗定義”)—“定”—“化”—“用”. 下面對(duì)這“八步”的基本含義、實(shí)施建議、設(shè)計(jì)意圖作簡要說明.
第一步:“憶”
“憶”是指回憶,也即復(fù)習(xí)舊知.
初中定義(選自1989年人教版初中教材):“設(shè)在某變化過程中有兩個(gè)變量x,y,如果對(duì)于變量x的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng),那么就說y是x的函數(shù),x叫做自變量.”
思考:x與y是怎樣對(duì)應(yīng)的?對(duì)應(yīng)關(guān)系(法則)是什么?怎樣理解對(duì)應(yīng)關(guān)系(法則)?這幾個(gè)問題留到后面的問題2中解決.
設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)初中函數(shù)定義的相關(guān)知識(shí),一是為新知學(xué)習(xí)搭建腳手架,二是為同化學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件.從而可降低新知學(xué)習(xí)的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷.
第二步:“激”
“激”是指激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).
問題1:y=2是函數(shù)嗎?
分析:由于初中函數(shù)定義要求“有兩個(gè)變量”,但y=2中只有一個(gè)變量,因此,學(xué)生用初中函數(shù)定義來判斷就可能有三種(或兩種)意見:不是函數(shù);不能判斷;搞不清楚.
設(shè)計(jì)意圖:問題1意在引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高中函數(shù)定義的內(nèi)在動(dòng)機(jī).這樣安排雖然會(huì)適度增加學(xué)生的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷,但能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,增加學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力.
第三步:“問”
“問”是指需要探究的問題.問題是探究的焦點(diǎn).問題是激發(fā)思維的催化劑.任何探究(索)都基于問題.
問題2:已知二次函數(shù)y=x2-1,思考與探究下列問題:
(1)給定x的值,怎樣計(jì)算x對(duì)應(yīng)的值呢?其算法是什么?
(2)x的取值范圍(集合)是什么?y的取值范圍(集合)是什么?
(3)這個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系(法則)是什么?
(4)數(shù)學(xué)家用什么符號(hào)表示函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系(法則)?
(5)能否用“集合”和“對(duì)應(yīng)”等概念給這個(gè)函數(shù)重新下一個(gè)定義?
讓學(xué)生先思考幾分鐘.
第四步:“探”
“探”是指問題的探究(索).探究是解決問題的基本手段.探究源于問題,當(dāng)面對(duì)的新問題不能用現(xiàn)成方法解決時(shí),學(xué)生的探究意識(shí)就會(huì)自然產(chǎn)生.
探究:說明:教師和學(xué)生協(xié)同完成,盡量讓學(xué)生完成.若學(xué)生說不完整或說不準(zhǔn)確,則教師可邊分析邊講解,教師補(bǔ)充完整或準(zhǔn)確.
師:(1)這個(gè)問題有點(diǎn)抽象,可不可以先從具體化、特殊化著手,就是把x的值先取定,比如,我們不妨取幾個(gè)試試.(下面做法是,教師說出上句“取x=…”,讓學(xué)生說下句“則y=…”,不要求算出y的具體的值)
如果取x=3,那么y=32-1=…;
取x=x0,則y=(x0)2-1=x02-1.
師:現(xiàn)在,請(qǐng)回答這個(gè)二次函數(shù)的算法是什么?
生:“平方,減1”.
師:對(duì).算法是“(對(duì)x)平方,再減1”.
師:由此,能不能看出一些規(guī)律?(學(xué)生講不出來時(shí),教師自問自答)
首先,x和y有先后之分,即先給出x的值,再去算y的值;
其次,對(duì)于x取不同的值,算出y的值總是只有一個(gè);
再次,對(duì)于x取不同的值,算出y的值雖然可能不同,但算法都是相同的.也就是說,算法是不變的.從運(yùn)算的角度看,這個(gè)二次函數(shù)實(shí)質(zhì)上是給了一個(gè)確定的算法,且該算法具有不變性.
(2)x的取值范圍(集合)是R,y的取值范圍(集合)是{y|y≥-1}.
在函數(shù)理論里,一般把x的取值范圍(集合)叫做定義域,把y的取值范圍(集合)叫做值域.也就是說,二次函數(shù)y=x2-1的定義域是R,值域是{y|y≥-1}.
(3)這個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系(法則)是什么呢?
首先,要明確x和y有先后順序之分,就是用x去對(duì)應(yīng)y.習(xí)慣上,一般把x叫做自變量(注:自變量的概念初中已學(xué)),y叫做因變量.
其次,在本問題中,對(duì)應(yīng)關(guān)系(法則)就是“(對(duì)x)平方,減1”,即x→y=x2-1.
結(jié)論:在本問題中,對(duì)應(yīng)關(guān)系(法則)可以理解為對(duì)x施加的一系列運(yùn)算.簡言之,本問題的對(duì)應(yīng)關(guān)系(法則)就是算法.
(4)由(2)知,x∈R,y∈{y|y≥-1},或y∈[-1,+∞).也就是,x在實(shí)數(shù)集R里變化,y在集合{y|y≥-1}里變化.由x到y(tǒng)的對(duì)應(yīng)可以引出實(shí)數(shù)集R到集合{y|y≥-1}的對(duì)應(yīng),這個(gè)對(duì)應(yīng)可記為:R→{y|y≥-1}.
“對(duì)應(yīng)關(guān)系”是數(shù)學(xué)中的常用術(shù)語,說與寫都麻煩,數(shù)學(xué)家怎樣解決這個(gè)麻煩呢?
著名數(shù)學(xué)家歐拉最早想到用一個(gè)“符號(hào)”來表示“對(duì)應(yīng)關(guān)系”,他于1734年首次使用符號(hào)f(x)表示x的函數(shù)[10].從此,數(shù)學(xué)家也用符號(hào)“f”來表示“對(duì)應(yīng)關(guān)系”.
因此,本題中“從實(shí)數(shù)集R到集合{y|y≥-1}的對(duì)應(yīng)關(guān)系”可記為“f:R→{y|y≥-1}”,“從x到y(tǒng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系”可記為“f:x→y”.
(5)綜上可得下面的結(jié)論:
①在函數(shù)y=x2-1中,隱藏著一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f,這個(gè)f就是算法的意思,即“(對(duì)x)平方,減1”.
②f有三個(gè)作用:一是把x和y聯(lián)系起來;二是隱蔽地把數(shù)集R和數(shù)集{y|y≥-1}也聯(lián)系起來了,聯(lián)系的方式叫做“對(duì)應(yīng)”,即f:R→{y|y≥-1},f:x→y;三是在f的作用(即算法規(guī)則)下,使得R中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著數(shù)集 {y|y≥-1}中的唯一確定的數(shù).
③用“集合”和“對(duì)應(yīng)”等概念給這個(gè)二次函數(shù)的新定義:設(shè)f是從R到{y|y≥-1}的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,若實(shí)數(shù)集合R中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著數(shù)集{y|y≥-1}中的唯一確定的數(shù),則稱f是一個(gè)函數(shù),記為y=f(x).
總結(jié)上述過程,可引出數(shù)學(xué)概念的抽象概括和形成的一般過程,即“問題→分析→概念→定義→應(yīng)用”.
設(shè)計(jì)意圖:在問題2中,(1)的主要作用是讓學(xué)生復(fù)習(xí)并加深理解求函數(shù)值的算法.(2)的作用是幫助學(xué)生理解x和y的變化是有范圍的,另外自然地引出定義域和值域的概念,在這里給出定義域和值域的概念為后面學(xué)習(xí)函數(shù)定義可以減少內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷.(3)的作用是為學(xué)生提供一個(gè)理解“對(duì)應(yīng)關(guān)系”并且學(xué)生很熟悉的模型即算法,算法對(duì)學(xué)生來說是非常熟悉的經(jīng)驗(yàn),這里把抽象的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”理解為“算法”,雖然是不準(zhǔn)確、不全面的,但這里的“算法”可以看成是“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的“腳手架”,對(duì)學(xué)生理解“對(duì)應(yīng)關(guān)系”這個(gè)抽象、模糊的概念很有幫助.(4)的作用是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)中有兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系(數(shù)的集合到數(shù)的集合,實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)),認(rèn)識(shí)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的常用符號(hào)f,使學(xué)生經(jīng)歷抽象化和符號(hào)化過程即“算法→對(duì)應(yīng)關(guān)系→f”的抽象線路,反過來,就是理解f的(心理)線路即“f→對(duì)應(yīng)關(guān)系→算法”.(5)的作用是得到這個(gè)二次函數(shù)的高中定義,并總結(jié)出數(shù)學(xué)概念的抽象概括和形成的一般過程,這對(duì)學(xué)生今后發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念或給概念下定義來說具有方法論的價(jià)值,真是“授人以漁”.
第五步:“粗”(即“粗定義”)
“粗定義”:設(shè)f是從數(shù)集A到數(shù)集B的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,若數(shù)集A中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著數(shù)集B的唯一確定的數(shù),則稱f是一個(gè)函數(shù),記為y=f(x).
認(rèn)知符號(hào)“f(x)”.給學(xué)生說明符號(hào)f(x)不是f與x相乘的意思,其中f叫做函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,或?qū)?yīng)法則.
設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過對(duì)問題及其變式的思考與探究,已經(jīng)對(duì)“函數(shù)”概念有了初步理解,加之“粗定義”比較簡短,所有理解“粗定義”就比較容易.函數(shù)的“粗定義”自然就成了函數(shù)(嚴(yán)格)定義的“引導(dǎo)性材料”.也可以說,此步的“粗定義”相當(dāng)于是給第四步和第六步搭的一個(gè)“橋”.由于“粗定義”易于理解和接受,學(xué)生對(duì)“粗定義”的工作記憶的加工也不會(huì)發(fā)生困難.在講“粗定義”的同時(shí),順便讓學(xué)生提前認(rèn)知函數(shù)的符號(hào),意在為下一步學(xué)習(xí)定義時(shí)減少工作記憶加工的組塊,也就是減少內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷,并有效控制外在認(rèn)知負(fù)荷.
第六步:“定”(即定義)
“定”(即定義)是指函數(shù)的形式化定義,即“精定義”,或者說嚴(yán)格定義.概念教學(xué)的最終目標(biāo)是達(dá)到定義的形式化標(biāo)準(zhǔn),即達(dá)到定義的嚴(yán)密化、符號(hào)化、一般化等要求.
函數(shù)定義[11]:設(shè)A,B是非空的數(shù)集,如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使A中的每一個(gè)數(shù)x都對(duì)應(yīng)著B中唯一確定的數(shù)f(x),那么就稱f:A→B為一個(gè)一元函數(shù),簡稱為函數(shù),記作y=f(x),x∈A.
設(shè)計(jì)意圖:給函數(shù)賦予形式化的定義與符號(hào),使其形成一個(gè)具體的數(shù)學(xué)對(duì)象,不僅實(shí)現(xiàn)了定義的精致化,嚴(yán)密化,符號(hào)化,一般化,而且可有效促進(jìn)學(xué)生將此數(shù)學(xué)對(duì)象融化到已有的認(rèn)知圖式中.
第七步:“化”
“化”是指函數(shù)定義的內(nèi)化.學(xué)習(xí)的本質(zhì)在于認(rèn)知,認(rèn)知的目的在于內(nèi)化.內(nèi)化就是使知識(shí)圖式化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化,達(dá)到“言有盡”、“意無窮”的境界[12].定義的內(nèi)化可以從概念域、函數(shù)符號(hào)的讀法、寫法,指數(shù)與函數(shù)的等價(jià)互化關(guān)系等方面分別去圖式化、系統(tǒng)化.
(1)概念域:自變量,因變量,定義域,對(duì)應(yīng)關(guān)系,值域,函數(shù),見表1.
表1 符號(hào)(字母)與名稱、意義的對(duì)應(yīng)表
(2)符號(hào)“y=f(x)”的讀法:y是x的函數(shù).
設(shè)計(jì)意圖:通過對(duì)概念域的認(rèn)識(shí)和熟悉,強(qiáng)調(diào)函數(shù)符號(hào)的規(guī)范讀法和寫法,起到示范作用的同時(shí),增強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)符號(hào)的熟悉程度.恰當(dāng)使用表格來說明符號(hào)(字母)與名稱、意義的對(duì)應(yīng)表,可以降低外在認(rèn)知負(fù)荷.
第八步:“用”
“用”是指定義的應(yīng)用,同時(shí)也兼鞏固練習(xí)之任務(wù).
例1已知函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(3)當(dāng)a>0時(shí),求f(a-1)的值.
設(shè)計(jì)意圖:練習(xí)的目的是使內(nèi)化后得到的圖式更加清晰和牢固,最終達(dá)到思維模塊化、反應(yīng)自動(dòng)化的水平,這就可以為將來解決新的數(shù)學(xué)問題降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷.例1可讓學(xué)生理解求函數(shù)定義域的方法,讓學(xué)生掌握求函數(shù)值的方法.
例2 分析并解答問題1.
分析:把y換成f(x),則有f(x)=2.從而,f:R→{2},且f:x→2.在f的作用下,集合R中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著集合{2}中的數(shù)2,所以f是函數(shù).故y=2是函數(shù).
設(shè)計(jì)意圖:用高中定義分析并解決問題1,有釋疑解惑的作用,并再一次強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)高中函數(shù)定義的必要性.
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