π的由來(lái)探究

黃麗蘭

摘 要：圓是最簡(jiǎn)單又是最美麗的幾何圖形，常數(shù)π即圓周率，將圓的周長(zhǎng)、面積和半徑緊密聯(lián)系在一起，成為解決有關(guān)問題的關(guān)鍵。學(xué)生通過觀察、推理和動(dòng)手實(shí)驗(yàn)認(rèn)識(shí)π的產(chǎn)生發(fā)展過程，驗(yàn)證圓的周長(zhǎng)和直徑的關(guān)系，能夠加深學(xué)生的理解和認(rèn)知，從而培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；π；由來(lái)；觀察；推理；驗(yàn)證

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2018）10-0073-02

【教學(xué)內(nèi)容】人教版六年級(jí)上冊(cè)第五單元第二課時(shí)“圓的周長(zhǎng)”。

【教材分析】圓的周長(zhǎng)是人教版六年級(jí)上冊(cè)第五單元“圓”的第二課時(shí)內(nèi)容。這部分內(nèi)容是學(xué)生在三年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)了周長(zhǎng)的一般概念以及長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)計(jì)算，并初步認(rèn)識(shí)了圓的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。它是學(xué)生初步研究曲線圖形的基本方法的開始，也是后面學(xué)習(xí)圓的面積以及學(xué)習(xí)圓柱、圓錐等知識(shí)的基礎(chǔ)。本節(jié)教學(xué)內(nèi)容主要截取課本“你知道嗎”有關(guān)π的產(chǎn)生與發(fā)展這個(gè)微知識(shí)，為學(xué)生介紹數(shù)學(xué)史料，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教師通過給學(xué)生介紹π的產(chǎn)生與發(fā)展，讓學(xué)生了解π的魅力，并讓學(xué)生通過觀察、推理、動(dòng)手實(shí)踐重走π的產(chǎn)生之路，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯烤瘛?/p>

【教學(xué)目標(biāo)】1）借助數(shù)學(xué)史料了解π的由來(lái)。2）在觀察、推理、動(dòng)手實(shí)踐過程中發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系，發(fā)展推理能力。3）培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯烤瘛?/p>

【教學(xué)重點(diǎn)】探究圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系。

【教學(xué)難點(diǎn)】探究圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系。

【學(xué)具準(zhǔn)備】三個(gè)大小不同的圓片、直尺、三角板、繩子。

【教學(xué)過程】

一、設(shè)疑導(dǎo)入，引出史料

（1）設(shè)疑導(dǎo)入，激發(fā)好奇心理。師：π是什么呢？（出示π和問號(hào)）生：圓周率、圓的周長(zhǎng)和直徑的比值、3.1415926……師：π到底是什么呢？π是怎么產(chǎn)生的呢？別著急，我們一起來(lái)看看古人的研究。

（2）再現(xiàn)史料，揭示π的由來(lái)。師：早在兩千多年前，《周髀算經(jīng)》中就說(shuō)到“周一徑三”，意思就是圓的周長(zhǎng)約是它的直徑的3倍。后來(lái)在一千六百多年前， 有一個(gè)數(shù)學(xué)家叫劉徽，看到這個(gè)圖形（出示圓內(nèi)接六邊形）受到了啟發(fā)，他割啊割，從正六邊形到正八邊形，正十六邊形……邊數(shù)逐次加倍，內(nèi)接正多邊形就越來(lái)越接近圓，于是有了：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣！這就是著名的割圓術(shù)，劉徽通過割圓術(shù)發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)和直徑的比值約是 3.14。數(shù)學(xué)家們割了整整六百多年，后來(lái)到了公元前460年左右，又有一位非常厲害的數(shù)學(xué)家——祖沖之，他精確地計(jì)算出了圓的周長(zhǎng)與直徑的比值在 3.1415926與3.1415927之間。這是世界上第一個(gè)把倍數(shù)精確到7位小數(shù)的人，這個(gè)發(fā)現(xiàn)比國(guó)外的數(shù)學(xué)家早了 一千多年。可是到這里人們并沒有停止研究的腳步，后人經(jīng)過不斷研究，證明了圓的周長(zhǎng)與直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，它叫作圓周率，用字母π表示。π是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。為了計(jì)算方便人們把π近似成3.14。隨著社會(huì)的發(fā)展進(jìn)步，圓周率已經(jīng)計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后2000 億位了。那究竟是什么力量，吸引著一代又一代的數(shù)學(xué)家為此付出畢生的心血， 而樂此不疲呢？師：對(duì)，不僅是圓周率的魅力，更是人們對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛和追求。同學(xué)們，你們想一起來(lái)感受圓周率的魅力嗎？就讓我們一起來(lái)經(jīng)歷π的產(chǎn)生吧。

二、圓的周長(zhǎng)與直徑的倍數(shù)關(guān)系

（1）初步感知，尋找關(guān)系。師：剛剛有同學(xué)說(shuō)到π是圓的周長(zhǎng)與直徑的比值，也就是說(shuō)圓的周長(zhǎng)與直徑有關(guān)，真的有關(guān)系嗎？出示三個(gè)圓。師：請(qǐng)看（學(xué)生靜靜地觀賞），我把直徑延長(zhǎng)，再延長(zhǎng)，圓的周長(zhǎng)會(huì)發(fā)生怎樣的變化，你能用一句話來(lái)描述這個(gè)變化過程嗎？生：圓的直徑越長(zhǎng)，圓的周長(zhǎng)越長(zhǎng)。看來(lái)直徑和周長(zhǎng)關(guān)系密切。師：圓的周長(zhǎng)和直徑到底有怎樣的關(guān)系呢？師：我們知道正方的周長(zhǎng)是邊長(zhǎng)的四倍，你覺得圓的周長(zhǎng)與直徑有倍數(shù)關(guān)系嗎？可能是幾倍呢？生：2倍、3倍、4倍。師：這只是你們的猜想。數(shù)學(xué)講究有理有據(jù)，圓的周長(zhǎng)究竟是直徑的多少倍呢？我們一起來(lái)看下面的動(dòng)畫（教師演示動(dòng)畫）。

（2）數(shù)形結(jié)合，體驗(yàn)推理。師：大家觀察，我把直徑向上、向下、向右、向左移，能形成一個(gè)正方形。正方形的周長(zhǎng)和圓的直徑之間有著怎樣的關(guān)系？與圓的周長(zhǎng)呢？（通過線段平移）生：正方形的周長(zhǎng)是直徑的4倍。生：圓的周長(zhǎng)比正方形的周長(zhǎng)短一些，比2條直徑長(zhǎng)。師：也就是說(shuō)圓的周長(zhǎng)比直徑的2倍多，4倍少。師：那是不是3倍呢？我們?cè)購(gòu)牧硪粋€(gè)角度觀察。請(qǐng)看：等邊三角形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到正六邊形。師：正六邊形的周長(zhǎng)和圓的半徑、直徑有什么關(guān)系？生：六邊形的周長(zhǎng)是半徑的6倍。生：六邊形的周長(zhǎng)是直徑的3倍。師：想想這個(gè)圓的周長(zhǎng)和六邊形的周長(zhǎng)有怎樣的關(guān)系？生：圓的周長(zhǎng)比六邊形大。生：也就是說(shuō)圓的周長(zhǎng)比它直徑的3倍還多一些。師：說(shuō)得真好。（出示圓外接正方形）師：通過觀察和推理，發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)應(yīng)該大于它的直徑的3倍小于直徑的4倍。師：那到底是3倍多多少呢？為了得到更準(zhǔn)確的答案，下面我們來(lái)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)。

（3）動(dòng)手實(shí)踐，驗(yàn)證猜想。教師讓學(xué)生量一量準(zhǔn)備好的3個(gè)大小不同的圓，然后完成下表（表略）。（出示實(shí)驗(yàn)表格）1）實(shí)驗(yàn)。師：老師也測(cè)量了3個(gè)大小不同的圓，請(qǐng)看在這3個(gè)圓中，不管是大圓還是小圓，每一個(gè)圓的周長(zhǎng)都是它直徑的3倍多一些。如果再換成其他的圓來(lái)測(cè)量，同學(xué)們還會(huì)發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)圓的周長(zhǎng)還是它直徑的3倍多一些。師：?jiǎn)栴}來(lái)了，不是說(shuō)圓的周長(zhǎng)和直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)嗎？可測(cè)量出來(lái)的結(jié)果各不相同，這是怎么回事呢？師：首先因?yàn)槲覀兊臏y(cè)量存在誤差，還有測(cè)量的次數(shù)太少，如果我們像那些偉大的數(shù)學(xué)家們一樣進(jìn)行成千上萬(wàn)次的測(cè)量和計(jì)算，我們也能獲得較固定的數(shù)。2）小結(jié)。師：現(xiàn)在的我們是踩在巨人的肩膀上，所以圓的周長(zhǎng)與直徑的比值3倍多一些統(tǒng)一用字母π表示。也就是：圓的周長(zhǎng)與直徑的比值為π。

三、總結(jié)提升，思考深入

師：通過今天的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)對(duì)π并不陌生了，但是π還有很多的奧秘正等著我們繼續(xù)去發(fā)現(xiàn)。

【設(shè)計(jì)思路】

（1）設(shè)疑導(dǎo)入，激發(fā)好奇心理。本課從一個(gè)問題開始，“π是什么”為π蒙上一層神秘的面紗，激發(fā)學(xué)生對(duì)π的好奇心理和探究欲望。從心理學(xué)的角度看，學(xué)生對(duì)一些比較神秘的事物容易產(chǎn)生好奇心，想把它弄清楚，這樣能激發(fā)學(xué)生的求知欲。而教師正是抓住學(xué)生的這種心理反應(yīng)，設(shè)置疑問以激起學(xué)生對(duì)π深入了解的欲望。

（2）史料介紹，突顯文化價(jià)值。新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，在教學(xué)活動(dòng)中要不斷地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，挖掘教學(xué)內(nèi)容的教育價(jià)值。本課充分利用數(shù)學(xué)史料，以數(shù)學(xué)史料為線索，揭示π的發(fā)展過程。波利亞（George Polya）指出：“只有理解人類如何獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對(duì)人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識(shí)做出更好的判斷?！痹诒菊n的教學(xué)中，教師不僅滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)史，更是基于數(shù)學(xué)史的材料，再現(xiàn)圓周率產(chǎn)生發(fā)展的歷史軌跡，讓學(xué)生感受古人對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛與執(zhí)著追求的精神。這不僅能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，而且能增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感，培養(yǎng)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。

（3）猜想驗(yàn)證，發(fā)展推理能力。推理能力是新課標(biāo)提出的十大核心素養(yǎng)之一，也是曹培英教授提出的學(xué)科核心素養(yǎng)之一。通過觀察、推理和動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，學(xué)生經(jīng)歷了π的產(chǎn)生發(fā)展過程。學(xué)生通過觀察正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的關(guān)系進(jìn)行類比推理，得出圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系，然后通過猜想、推理、驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系，感受圓周率的產(chǎn)生。這個(gè)教學(xué)過程以生為本，讓學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證圓的周長(zhǎng)和直徑的關(guān)系，加深了理解和記憶。

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