把握問題本質(zhì)數(shù)形結(jié)合化解

吳先名

[摘要]縱觀近幾年中考題可發(fā)現(xiàn)，以一次函數(shù)與反比例函數(shù)為載體的綜合題出現(xiàn)的頻率較高.這類題目考查反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)、解方程組等知識點(diǎn)，求解過程需要把握問題本質(zhì)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想.

[關(guān)鍵詞]一次函數(shù)；反比例函數(shù)；數(shù)形結(jié)合思想

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2018）08003202

近年來，以一次函數(shù)與反比例函數(shù)為載體的綜合題成為中考的熱點(diǎn)題型，用以考查學(xué)生圖像分析、邏輯推理和解決問題的能力，下面例談此類型題的解法.

一、真題解析

1.真題呈現(xiàn)

【例1】（2017年武漢市中考卷第22題）如圖1所示，直線y=2x+4與反比例函數(shù)y=kx的圖像相交于A（-3，a）和B兩點(diǎn).

（1）求k的值；

（2）略；

（3）直接寫出不等式6x-5>x的解集.

2.試題解析

分析：（1）求反比例函數(shù)解析式的參數(shù)的值，只需要確定函數(shù)上一點(diǎn)即可，而點(diǎn)A既在直線上又在雙曲線上，從而可求解；（3）y=6x-5的圖像相當(dāng)于將函數(shù)y=6x向右平移了5個單位，求6x-5>x的解集，實(shí)際上是函數(shù)y=6x-5與y=x的交點(diǎn)問題，分析圖像即可.

解：（1）點(diǎn)A在直線上，將（-3，a）代入y=2x+4，解得a=-2，則A（-3，-2），點(diǎn)A又在y=kx的圖像上，解得k=6.（3）函數(shù)y=6x-5在x=5處趨于無窮大， 求交點(diǎn)y=6x-5y=x

，得x=-1，y=-1或x=6y=6，兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)為（-1，-1）和（6，6），則6x-5>x的解集為x<-1或5

3.試題點(diǎn)評

本題目為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，主要考查學(xué)生對曲線上點(diǎn)坐標(biāo)與方程關(guān)系的理解以及圖像的分析應(yīng)用能力.對于反比例函數(shù)系數(shù)，充分利用其幾何意義根據(jù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)來求解；對于不等式求解問題，其本質(zhì)上還是求圖像的交點(diǎn)問題，利用轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)變?yōu)榉治龊瘮?shù)圖像交點(diǎn)，通過解方程組的形式求交點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合函數(shù)圖像分析求解.分析轉(zhuǎn)化，圖像結(jié)合是實(shí)現(xiàn)問題簡化的一種重要途徑，數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)綜合題重要的思想方法，該解題思路對于同類型題具有指導(dǎo)意義.

二、思路剖析

一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題對于鍛煉學(xué)生思維具有重要作用.結(jié)合函數(shù)解析式分析自變量取值問題，要分析轉(zhuǎn)化，利用解方程求交點(diǎn)的方式來解答，其中解題的關(guān)鍵是交點(diǎn)坐標(biāo)的確定，需要結(jié)合圖像來分析.

【例2】（2016年廣東梅州中考卷第19題）如圖2所示，已知在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，5）在反比例函數(shù)y=kx的圖像上.一次函數(shù)y=x+b的圖像過點(diǎn)A，且與反比例函數(shù)圖像的另一交點(diǎn)為B.

（1）求k和b的值；

（2）設(shè)反比例函數(shù)值為y1，一次函數(shù)值為y2，求y1>y2時(shí)x的取值范圍.

分析：（1）k和b分別為反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的系數(shù)，點(diǎn)A在兩函數(shù)圖像上，可利用點(diǎn)的坐標(biāo)來求參數(shù)的值.（2）實(shí)際上就是求反比例函數(shù)圖像位于一次函數(shù)圖像之上時(shí)x的區(qū)間，也就是求圖像的交點(diǎn)問題，可先確定交點(diǎn)坐標(biāo)和再結(jié)合圖像求解.

解：（1）將A（2，5）分別代入函數(shù)y=kx和一次函數(shù)y=x+b中，可得

k=10b=3

.

（2）求交點(diǎn)B的坐標(biāo)，由

y=10xy=x+3

，解得

x=2y=5

或

x=-5y=-2

，則B（-5，-2），根據(jù)圖像可知y1>y2時(shí)x的取值范圍為（-∞，-5）∪（0，2）.

【例3】（2015年甘孜州中考卷第19題）如圖3所示，一次函數(shù)y=-x+5的圖像與反比例函數(shù)y=kx（k≠0）在第一象限的圖像交于A（1，n）和B兩點(diǎn).

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）在第一象限內(nèi)，當(dāng)一次函數(shù)y=-x+5的值大于反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的值時(shí)，寫出自變量x的取值范圍.

解：（1）一次函數(shù)y=-x+5經(jīng)過點(diǎn)A，可求得n=4，則點(diǎn)A（1，4）.反比例函數(shù)y=kx（k≠0）也經(jīng)過點(diǎn)A，代入解得k=4，所以反比例函數(shù)的解析式為y=4x.（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，由

y=4xy=-x+5

，解得

x=1y=4

和

x=4y=1

，則點(diǎn)B（4，1）.根據(jù)圖像分析可知，在一象限內(nèi)，當(dāng)一次函數(shù)的值比反比例函數(shù)的值大時(shí)，x的值必須位于A和B橫坐標(biāo)之間，即1

三、解后反思

1.歸納整理問題，把握問題本質(zhì)

無論是求解不等式還是求自變量的區(qū)間實(shí)際上都是關(guān)于一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，都需要通過解方程組的方式來確定圖像的交點(diǎn)坐標(biāo).問題是由函數(shù)概念、公式、性質(zhì)等構(gòu)成的，考查的形式雖有不同，但問題的本質(zhì)是一致的，有效分析問題，把握問題的本質(zhì)才是解決問題的關(guān)鍵.在復(fù)習(xí)教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生從題海戰(zhàn)術(shù)中轉(zhuǎn)變到問題的歸納整理中，引導(dǎo)學(xué)生揭示問題結(jié)構(gòu)，挖掘問題本質(zhì)，深刻理解問題的考查意義.

2.探究知識本質(zhì)，掌握轉(zhuǎn)化思想

對于一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，解題過程都采用了問題轉(zhuǎn)化的方式，將較為抽象的代數(shù)問題，簡化為直觀的圖像分析問題，為問題的解決打開了突破口.實(shí)際上數(shù)學(xué)問題的解答過程就是不斷轉(zhuǎn)化，不斷簡化的過程，在這個過程中問題逐步由難到易，從抽象到直觀，最終利用基礎(chǔ)知識即可求解.教師要引導(dǎo)學(xué)生理解概念、定理的本質(zhì)，了解知識間的聯(lián)系，通過結(jié)構(gòu)分析，方法探究的方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化思想，掌握轉(zhuǎn)化方法，提升解題能力.

3.學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

本題目很好地詮釋了數(shù)形結(jié)合對于思考和解決問題的便利性，通過數(shù)形互助的方式可為學(xué)生有效把握問題本質(zhì)，探究解決問題的最佳思路，準(zhǔn)確作答提供保障.數(shù)形結(jié)合是一種重要的思想，對于初中函數(shù)問題的學(xué)習(xí)具有重要的意義，學(xué)習(xí)和使用數(shù)形結(jié)合思想可促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容使學(xué)生充分認(rèn)識“數(shù)”與“形”的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識，通過實(shí)際問題引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的方法，獲得解決問題的策略，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）