強化解方程訓(xùn)練 提高解題的能力

謝秀喜

【摘 要】學(xué)好數(shù)學(xué)，要學(xué)會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，要領(lǐng)會問題的思想方法，由尋找聯(lián)系入手，運用特殊與一般的思想方法，把個別的離散的現(xiàn)象構(gòu)造成等式關(guān)系，建立成方程系統(tǒng)。通過解方程，獲得問題的答案。從而培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、分析、思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】列方程 方程組 解方程

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)寶庫中的重要組成部分，是數(shù)學(xué)學(xué)科賴以建立和發(fā)展的重要因素，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要把數(shù)學(xué)思想方法和知識技能融為一體，培養(yǎng)學(xué)生的能力，提高學(xué)生的技能。根據(jù)筆者長期的理論研究和教學(xué)實踐，本文談?wù)劇皬娀夥匠逃?xùn)練，提高解題的能力”

一、列方程解實際應(yīng)用問題

列方程和解方程是數(shù)學(xué)的基本訓(xùn)練，是數(shù)學(xué)解題的重要技巧。列方程解應(yīng)用題是考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識掌握與應(yīng)用的一個重要的方法和技能。

案例一：為了慶?！傲弧眱和?jié)，海山中學(xué)七年級宏志班買阿爾卑斯棒棒糖分給班上每位同學(xué)。如果每人分3根，剩余20根；如果每人分4根，還缺25根。問這個班有多少學(xué)生？買了多少根棒棒糖？

分析：這是典型的“等量問題”，棒棒糖的總數(shù)是定值，表示總數(shù)的方法有兩種。設(shè)這個班級有x名學(xué)生，每人分3根，需要3x根，加上剩余的20根，棒棒糖共（3x+20）根；每人分4根，需要4x根，減去缺的25根，棒棒糖共（4 x-25）根。這批棒棒糖的總數(shù)是定值，表示它的兩個式子相等。

解：設(shè)這個班有x名學(xué)生，依題意得到關(guān)系式：3x+20=4x-25

解得：x=45。所以棒棒糖的數(shù)量是：3×45+20=155

由此可知，這個班有45名學(xué)生，這次活動共買棒棒糖155根。

反思：（1）教師要善于指導(dǎo)學(xué)生尋找等量關(guān)系進行列方程。常見的等量關(guān)系有：①利用周長、面積、體積公式建立相等關(guān)系；②行程問題：路程=速度×?xí)r間；③追擊問題：追擊差=速度差×追擊時間；④工程問題：工作量=工作時間×工作效率；⑤濃度問題（以鹽水為例）：濃度=（鹽÷鹽水）×100%；鹽水=鹽+水；③鹽=鹽水×鹽水濃度；⑥航速問題（以船為例）：順?biāo)俣?靜水速度+水速；逆水速度=靜水速度-水速；⑦利潤問題：商品利潤=售價-進價；商品實售價=商品原價（標(biāo)價）×（折數(shù)×0.1）；商品利潤率=商品的利潤÷商品的進價=（商品的售價-進價）÷商品的進價。通過指導(dǎo)學(xué)生尋找“等量關(guān)系”，就可以使問題獲得解決。

（2）列方程解應(yīng)用題的一般思路是“審題、找等量、設(shè)元、列方程、解方程、檢驗”等。關(guān)鍵是四步驟：①通過讀題和分析問題條件，找到等量關(guān)系。有的習(xí)題條件不直觀，不能直接找出相等的關(guān)系，可以通過“列表、畫圖、找關(guān)鍵數(shù)字、找重要詞語”等方法挖出隱含的等量關(guān)系；②設(shè)未知數(shù)可直接設(shè)和間接設(shè)，依找的相等關(guān)系來設(shè)。③列出包含已知和未知量的代數(shù)式，用等量關(guān)系連接，就列出方程。④解方程結(jié)束時，要檢驗所得解是否方程的解，是否滿足實際問題。

二、運用列方程組解決問題

方程組是刻畫實際問題的重要數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)實中具有廣泛的應(yīng)用，用它解決實際問題時，要注意分析問題中的各種等量關(guān)系，引進適當(dāng)?shù)奈粗?，建立相?yīng)的方程組。

案例二：美麗的山下村和風(fēng)景秀麗的江邊村相距48千米。一葉小舟從山下村順流而下到江邊村需2小時，從江邊村逆流而上山下村要用3小時，問小舟在靜水中的平均速度是多少？水流平均速度又是多少？

分析：這個問題中要求兩個未知數(shù)，它是順流、逆流的航速問題。已知兩村的距離和順流航行需2小時，逆流航行需3小時，求兩個未知數(shù)需設(shè)兩個方程。根據(jù)順流航行路程=順流航行時間×順流航行速度，逆流航行路程=逆流航行時間×逆流航行速度，把它們組成方程組。根據(jù)解二元一次方程組的消元思想求得方程組的解。

解：設(shè)小舟在靜水中的速度和水流速度分別為x千米/小時和y千米/小時。

依題意得到：方程①2（x﹢y）=48和方程②3（x-y）=48；

通過指導(dǎo)學(xué)生解得x=20；y=4

由此可知，小舟在靜水中的速度為20千米/小時，水流速度為4千米/小時。

反思：解題中要注意審題，分別找出已知量和未知量，通過某種規(guī)律找到它們之間的相等關(guān)系。注意確定小舟順、逆流時合成速度的表達式；注意二元一次方程組是方程中含有兩個未知數(shù)，解方程組要注意等式性質(zhì)的應(yīng)用，解完方程組要將“解”代入原方程組中的每個方程進行檢驗，兩個方程都成立的解才是原方程的解。

三、解方程要理解“方程的解”

每個方程的未知數(shù)的取值范圍都有一定的限制，在解方程中，如果改變了原方程的未知數(shù)的取值范圍（縮小或擴大）都會影響方程的解，即可能漏掉一些解或摻進一些假的解，數(shù)學(xué)上分別叫做“失根”或“增根”。具體在解分式方程、無理方程、含絕對值的方程和高次方程時，由于實施某種變形可能改變未知數(shù)的取值范圍，因而可能失根或增根，所以解方程結(jié)束時一定要注意驗根。

案例三：解分式方程

分析：這是一個比較復(fù)雜的“分式方程”，解分式方程最容易出現(xiàn)的問題是“增根”與“失根”。所以教師要注意指導(dǎo)學(xué)生在解完分式方程之后，一定要進行“驗根”。

解：在教師的指導(dǎo)下，通過學(xué)生的討論與練習(xí)，經(jīng)過“利用分比定理，去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1”等過程，解得“x1=-5；x2=1”

討論：原方程的未知數(shù)的取值范圍是：x≠1，x≠-2的所有實數(shù)，而經(jīng)過用分比定理變形后所得的方程的未知數(shù)的取值范圍改變?yōu)閤≠0的所有實數(shù)，這樣方程有產(chǎn)生增根的可能。經(jīng)檢驗，x=1是方程的增根，應(yīng)舍去，而x=0也能使方程的兩邊相等，也是方程的解，因此x=0是失去的根。

所以方程的解應(yīng)為：

反思：解分式方程時，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時易產(chǎn)生增根，解完時一定要將“解”代入最簡公分母，如果“最簡公分母”為0，就是增根；即使最簡公分母不為0，也需代入原方程，只有使原方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值才是分式方程的解，因為不論是解“一元一次方程、二元一次方程組、分式方程、一元二次方程”等得到的“解”，代入原方程檢驗可提高解題的準(zhǔn)確度，避免解題的失誤。

四、一題多解提高解題能力

“一題多解”是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力的重要途徑。教師教學(xué)時，①要善于運用鼓勵性的語言鼓勵學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生討論與交流，鼓勵學(xué)生積極參與；②要幫助和指導(dǎo)學(xué)生進行“多元的思考，多角度、發(fā)散思維、逆向思考”等方法的訓(xùn)練。學(xué)生在“鼓勵、競爭、多角度、發(fā)散思維、逆向思考”等情境之中，將會“樂于表達自己的解題想法”，往往會出現(xiàn)“一題多解”的效果。

案例四：花農(nóng)家有塊長方形花圃，邊長是方程 的兩個根，花農(nóng)想知道這塊花圃的邊長是多少，你能夠幫助這個花農(nóng)解決問題嗎？

分析：邊長滿足方程 的兩個根，只需得出這個方程的解即可。它是一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，求解可考慮運用：①求根公式法；②配方法；③因式分解法等。在教師的啟發(fā)下，鼓勵學(xué)生“討論、交流、探索”等活動，尤其是通過“十字相乘”法的探討，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的能力，為學(xué)生將來的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

解法1、用求根公式法解得：x1=3； x2=2

解法2、用配方法解得：x1=3； x2=2

解法3、用十字相乘法，得到（x-3）（x-2）=0；解得：x1=3； x2=2

由此可知，長方形花圃的長為3，寬為2.

反思：（1）教師要善于指導(dǎo)學(xué)生多進行“一題多解”和“一題多變” 的解題訓(xùn)練。這種訓(xùn)練：①有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的能力，有效提高學(xué)生思維的靈活性；②可以有效地提高學(xué)生分析問題、解決問題和歸納能力等技能。

（2）本題解一元二次方程運用三種不同解法，過程、方法和思考角度不同，最終的結(jié)果一樣，富有異曲同工之美。有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生大膽思考和大膽創(chuàng)新的能力。

（3）在教學(xué)活動中，鼓勵學(xué)生積極思考，找出最佳的解題思路，找出最優(yōu)和最簡單的解決問題的辦法，拓寬學(xué)生解題思想，訓(xùn)練學(xué)生思維能力，指導(dǎo)學(xué)生探求數(shù)學(xué)知識并會靈活運用，從而指導(dǎo)學(xué)生在更高層次上創(chuàng)造性學(xué)習(xí)和探究，促進學(xué)生解題能力的進一步提高都具有重要的意義。

（4）鼓勵學(xué)生積極反思，對重要數(shù)學(xué)公式、定理的應(yīng)用進行系統(tǒng)小結(jié)，使學(xué)生對所學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系脈絡(luò)清晰，從而實現(xiàn)“舉一反三”的效果。

隨著數(shù)學(xué)的研究范圍不斷擴展，方程被普遍使用，從初等數(shù)學(xué)中的簡單代數(shù)方程，到高等數(shù)學(xué)中的微分方程、積分方程，方程的類型由簡單到復(fù)雜發(fā)展，不論怎樣發(fā)展，方程就是含有未知數(shù)的等式，都表達涉及未知數(shù)的相等關(guān)系。恩格斯說過“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)”，許多數(shù)學(xué)問題的未知數(shù)不是孤立的，它們與一些已知數(shù)之間有確定的聯(lián)系，這種聯(lián)系為一定的相等關(guān)系，把這種關(guān)系用數(shù)學(xué)形式寫出的是含有未知數(shù)的等式就是方程。解方程的基本思想方法都是依據(jù)相等關(guān)系使未知數(shù)逐步化歸為用已知數(shù)表達的形式，這正是方程的本質(zhì)所在。方程的本質(zhì)在于對已知數(shù)和未知數(shù)一視同仁，通過建立已知數(shù)和未知數(shù)間的等量關(guān)系，求得未知數(shù)。