思維從曲折走向自然*
——以一道高考壓軸題探究為例

福建省閩清縣教師進(jìn)修學(xué)校 (350800)

黃如炎

數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的[1]，因此數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是清晰明理的．由于現(xiàn)行數(shù)學(xué)文本(包括教材、教輔、報刊等)的學(xué)術(shù)形態(tài)隱去了數(shù)學(xué)概念、結(jié)論、應(yīng)用的形成與發(fā)展過程，以及應(yīng)試教學(xué)重結(jié)果輕過程的行為，常使學(xué)生感到數(shù)學(xué)教學(xué)中有些 “規(guī)定”沒有規(guī)矩，有些推理不講道理，有些結(jié)論強(qiáng)加于人，這些問題嚴(yán)重阻滯了學(xué)生思維的發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)要遵循學(xué)生思維的自然形成，教師要對數(shù)學(xué)文本進(jìn)行精心創(chuàng)作和深度開發(fā)，要根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，通過教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)和導(dǎo)思探究活動，在一波三折，峰回路轉(zhuǎn)，起伏跌宕的數(shù)學(xué)思維歷程中，挖掘文本中看不見的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的思維過程，揭示蘊含在知識背后的核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)本質(zhì)和思想方法，讓思維從學(xué)生的頭腦里自然地流淌出來．

高考壓軸題蘊含著的豐富的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育價值，承載著“四能”(發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力)的考察功能，對學(xué)生解題思維的形成極具挑戰(zhàn)性，是培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生思維的最好素材．本文以2016年全國高考(Ⅰ)卷理科數(shù)學(xué)壓軸題的探究為例，談如何讓學(xué)生的思維從曲折走向自然．

1 標(biāo)解疑惑

題目已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點．

(Ⅰ)求a的取值范圍；(Ⅱ)略．

命題組標(biāo)準(zhǔn)解答：f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

(ⅰ)設(shè)a=0，則f(x)=(x-2)ex，f(x)只有一個零點．

(ⅲ)設(shè)a<0，…，f(x)不存在兩個零點．

綜上,a的取值范圍為(0，+∞)[2]．

2 問題探究

基于學(xué)生存在的疑惑，筆者以“當(dāng)a>0時，判定函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2零點的個數(shù)”為問題，開展導(dǎo)思探究活動，教學(xué)過程如下．

師：請同學(xué)們回顧一下研究函數(shù)零點問題的經(jīng)驗．

眾生：應(yīng)用函數(shù)零點存在定理，注意數(shù)形結(jié)合，常用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)．

圖1

生1(約2分鐘思考與畫圖)：f′(x)=(x-1)(ex+2a)，當(dāng)a>0時，f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞，1)上單調(diào)遞減，f(1) =-e<0．如圖1，f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上各有一個零點，故a>0時，f(x)有兩個零點．

師：大家同意她的解法嗎？

生2：怎知道f(x)圖像左右兩側(cè)都是向上無限延伸？

生3：似乎理由也不夠充分，根據(jù)零點存在定理，要在區(qū)間(-∞，1)和(1，+∞)上各找到一個數(shù)使其函數(shù)值大于零．

師：當(dāng)x→±時，f(x)→+，說明生1所畫圖像正確．直覺有助于思維，但不能替代證明．

師：為什么尋找不到小于1的常數(shù)使其函數(shù)值大于零？能否從式子的形式結(jié)構(gòu)進(jìn)行研判？

師：分析的好！x不能取常數(shù)那該取什么呢？

生5：根據(jù)以往經(jīng)驗取x關(guān)于a的式子，如取x= 1-a<1，f(1-a)=-(a+1)e1-a+a3，此式也不能保證大于零，因為還含e1-a難以計算．

眾生(嘗試失敗，感到山窮水盡疑無路)：取很多x關(guān)于a的式子都不能使其函數(shù)值大于零．

師：剛才我們的思維本質(zhì)是尋找具體的x，當(dāng)x<1且x為常數(shù)或x=g(a)時，f(x)>0．現(xiàn)在知道不可能了，那能否擴(kuò)大尋找范圍，如把尋找x=g(a)改為x

生6：為什么考慮尋找xg(a)？

師：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”(數(shù)學(xué)家華羅庚語)

生7：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”(華羅庚語)．由f(x)圖像知當(dāng)g(a)0不成立．

眾生：一陣掌聲．

生8：x<1時，怎樣尋找x0？

師：當(dāng)x<1時，看可否把不等式f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2>0化歸為x

眾生(思路再次受挫)：含ex怎化呢？

師：化繁為簡，可考慮把ex放縮為簡單的式子．

眾生：掌聲雷動．

師：生9把ex放大為簡單的e避免了超越運算，我們?yōu)樗臋C(jī)智而喝彩，還有別的放縮方法嗎？

師：同學(xué)們太了不起了，老師還沒看到哪本書刊有這么自然優(yōu)美的解法，你們發(fā)現(xiàn)的解法是原創(chuàng)！

生13：把ex放大為關(guān)于a的式子．考慮到f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2右邊第二項含a，為使右邊放縮為積的形式，令ex

師：是啊，可以考慮一般的情形．

生15(約5分鐘思考與整理)：令ex0)，當(dāng)x<1時，(x-2)ex+a(x-1)2>(x-2)ka+a(x-1)2=a[x2+(k-2)x+1-2k]．

師：棒極了，又是一種原創(chuàng)！

我還原了高考命題專家的心路歷程，我也會高考命題了！

眾生：掌聲如潮，學(xué)生臉上露出前所未有的自信和喜悅．

師：思想方法比知識更重要，請大家總結(jié)今天的探究用到哪些數(shù)學(xué)思想方法．

眾生：數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、函數(shù)與方程、有限與無限、具體與抽象、特殊與一般、分析法、綜合法、放縮法、待定系數(shù)法、配方法、換元法，…

師：我欣慰的感到同學(xué)們邏輯推理，數(shù)學(xué)運算，直觀想象，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在提升．

(在掌聲和下課鈴聲中師生說“再見”．此“再見”不僅是禮儀用語更是學(xué)生心語，是他們對美好數(shù)學(xué)探究活動的期盼．)

3 教學(xué)體悟

3.1 自然方能內(nèi)化

知識的內(nèi)化如同生理上的消化一樣，食物要經(jīng)過加工烹飪和彎彎曲曲腸道的消化，營養(yǎng)才能被人體吸收．這種消化是曲折的也是自然的．自然的才能內(nèi)化，內(nèi)化了方能優(yōu)效，這是教學(xué)不可違背的規(guī)律．為使學(xué)生的學(xué)習(xí)能“何由以知其所以然”，教師應(yīng)對數(shù)學(xué)文本進(jìn)行加工和創(chuàng)作，通過教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)和導(dǎo)思探究活動，在一波三折、峰回路轉(zhuǎn)和“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的數(shù)學(xué)思維歷程中，引發(fā)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造．從而使數(shù)學(xué)課堂彰顯了自然的本色，彌漫著自然的芬芳，讓數(shù)學(xué)教學(xué)不是莫名其妙和強(qiáng)加于人．教學(xué)要力求自然，要揭示本質(zhì)，讓定義生成自然；展示背景，讓概念形成自然；練習(xí)鞏固，讓目標(biāo)達(dá)成自然；創(chuàng)設(shè)情境，讓問題提出自然；歸納類比，讓定理發(fā)現(xiàn)自然；探究分析，讓解題思路自然；尋求聯(lián)系，讓章節(jié)過度自然；一題多變，讓習(xí)題延伸自然；交流反思，讓思想體悟自然．

3.2 導(dǎo)師貴在導(dǎo)思

發(fā)展核心素養(yǎng)要求學(xué)生應(yīng)具有理性思維，批判質(zhì)疑，勇于探究的科學(xué)精神．?dāng)?shù)學(xué)教育的根本任務(wù)在于發(fā)展學(xué)生的思維，讓學(xué)生能用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實世界．?dāng)?shù)學(xué)課堂的精髓是學(xué)生在教師引導(dǎo)下的深度思考．要引發(fā)學(xué)生的思維，教師要示以學(xué)生思維發(fā)展之道，課堂要變教為導(dǎo)，變學(xué)為思，以導(dǎo)達(dá)思，即教師要變?yōu)閷?dǎo)師，導(dǎo)師貴在導(dǎo)思．課堂上教師創(chuàng)設(shè)問題情境，學(xué)生思考回答問題，師生對所答問題進(jìn)行評價修正，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考．學(xué)生思考過程中產(chǎn)生疑惑或思維碰撞或有助于問題解決的想法，教師給于點撥分析引導(dǎo)，學(xué)生再嘗試探究直至問題解決．教師要能理解學(xué)生的思維基礎(chǔ)，洞察學(xué)生的思維困惑，在思維的循循善誘上下功夫，精心創(chuàng)設(shè)思維引導(dǎo)語．導(dǎo)語要順應(yīng)學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維方式和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，要貼近學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)和思維潛在發(fā)展區(qū)．導(dǎo)語要呈階梯式一步一步通向目標(biāo)，要有一定的思維度，能啟迪學(xué)生的心智，學(xué)生深思熟慮后豁然開朗．教師可通過一系列追問來激活學(xué)生的思維，如“解決這類問題有何經(jīng)驗？”“問題是怎樣發(fā)現(xiàn)的？”“你是怎樣想到的？”“式子的形式結(jié)構(gòu)是什么？”“式子有圖形背景嗎？”“問題的特殊情形是什么？”“問題的一般情形是什么？”“數(shù)學(xué)(思維)本質(zhì)是什么？” “能否找到與它相似的問題？”“如何進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化？”“能否從更廣范圍看問題？”“還有別的研究視角嗎？”“知識背后蘊涵著什么數(shù)學(xué)思想方法？”等．通過環(huán)環(huán)相扣，跌宕起伏的導(dǎo)思、探究、領(lǐng)悟、互助，引發(fā)了學(xué)生思維的自然流瀉和靈動創(chuàng)新．

[1]劉紹學(xué)．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書﹒數(shù)學(xué)1-5必修[M]．北京：人民教育出版社，2007．

[2]教育部考試中心．2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試試題、參考答案[M]．福州：福建省教育考試院，2016．