例談整體思想在高中數(shù)學解題中的應用

齊齊哈爾恒昌中學 黑龍江齊齊哈爾 161000

在學習高中數(shù)學時，解題能力是關鍵，為了有效解題，所以高中生必須重視解題思路。畢竟在課堂中教師不能講解每一道題，這要求學生必須舉一反三，活學活用，充分掌握數(shù)學公理、概念、定義等。整體思想是一種能夠有效提高學生解題效率的數(shù)學思想，也是目前高中生必須具備的思想。基于此，舉例分析整體思想在高中數(shù)學解題中的運用具有十分現(xiàn)實的意義[1-2]。

1 整體思想在數(shù)學解題中的意義

所謂整體思想，指的是在數(shù)學習題解析過程中，暫時忽略較為模糊的細節(jié)問題，著眼于整體，最終得出想要的結(jié)論。整體思想是一種靈活、簡潔的數(shù)學解題思想，如果高中生能夠掌握這種方法，則能將數(shù)學難題簡單化，提高解題的效率。整體思想實際上是將問題視角放大，通過判斷問題的整體形式、結(jié)構(gòu)，將題目中的條件等因素看作是一個整體，進而讓解題過程更加清晰，同時也讓解題者思路更開闊。

在高中數(shù)學解題過程中，整體思想的運用不僅省事省力，能夠讓問題變得清晰明了，而且還能將復雜的問題簡單處理，使高中生在大視角下看待問題，有效處理問題中各個條件、結(jié)構(gòu)的關系，消除了高中生的固有思維定式[3]。

2 形成數(shù)學整體思維，不過分在意細節(jié)問題

在高中數(shù)學解題過程中，題目有時候并非只是單純考察一個知識點，在遇到此類問題時高中生需要全面整合新舊知識進行解題。例如，解答高中代數(shù)習題時，我們常常會遇到一些看似條件不足的題目，但是在解題過程中運用整體思想，換一個思路，就會思如泉涌，快速找到解題的切入點。在數(shù)學解題練習的過程中，我們應該有意識地提高整體意識，不要糾結(jié)于題目中某一個條件，而要從整體出發(fā)，靈活運用各種定理、知識[4]。在三角函數(shù)學習的過程中，我們都能夠熟悉運用30度角、45度角、60度角等常用三角函數(shù)值，但是對于一些不常見的角度三角函數(shù)值來說，我們就很難記住。這就要求我們從整體角度出發(fā)，熟練應用熟知的三角函數(shù)值以及三角函數(shù)的相關定理。例如：tan25°+tan20°+tan25°tan20°=？無論是25°還是20°，這些都不是常見的三角函數(shù)，不能直接套用得出函數(shù)值，如果按照常規(guī)計算方式，計算難度極大，也很難得到正確的答案。而將其看成一個整體時，就可以將問題簡化，即將20°與25°當作是45°角分出來的兩個小角，繼而轉(zhuǎn)化為tan45°=tan（20°+25°）=1；繼續(xù)拆分可得（tan25°+tan20°）/（1-tan25°tan20°）=1，即算式最終結(jié)果為1。

3 整體思想在函數(shù)奇偶性判斷及求值問題中的應用

很多高中生在學習數(shù)學時，形成了固定的思維方式，并在學習基礎理論知識后，通過大量的練習來鞏固知識。但是這種傳統(tǒng)的學習觀念已經(jīng)不能適應教育的改革要求。這就需要學生不斷改善學習方式，提高學習效率與質(zhì)量，保證解題效率與精準度。學生在平時學習中也要注重整體思想的運用，在腦海中形成數(shù)學知識的整體框架，在框架中梳理小的知識點[5]。

其中，關于函數(shù)奇偶性證明以及求值問題解答中，這種整體思想具體體現(xiàn)在解答整體換元類問題。

例如：已知 f（x）對一切 x，y 都有 f（x+y）=f（x）+f（y）

1.求證：f（x）是奇函數(shù)；

2.若 f（-3）=a，求 f（12）。

1.證明：

f(x)=f[(x+y)-y]

=f(x+y)+f(-y)

=f(x)+f(y)+f(-y)，

所以f(y)+f(-y)=0，

所以f(y)=-f(-y)，

f(x)=-f(-x)，

所以f（x）是奇函數(shù)。

2.解：

f(12)

=f(6)+f(6)=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)

=4f(3)

=-4f(-3)

=-4a

再如，函數(shù) f（x）、g（x）定義域都為（- ∞，-1）∪（-1，1）∪（1，∞），其中 f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且 f（x）+g（x）=1/（x-1），求 f（x）和 g（x）。

解：用 -x 代換 f（x）+g（x）=1/（x-1）中的 x ①

得 f（-x）+g（-x）=1/（-x-1）②

∵f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，

∴②可化為 f（x）-g（x）

=1/（-x-1）③

①+③得2f（x）

=1/（x-1）+1/（-x-1）

=2x/（x2-1)

∴ f（x）=x/（x2-1)

③得 g（x）=1/（x2-1)。

4 整體思想在函數(shù)零點求解問題中的運用

函數(shù)零點問題是高中函數(shù)問題的重要分支，學生在處理這類問題時基本都運用零點分布定理，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想加以解決。這種處理方式是解題的通用之法，但是很多題目求解十分繁瑣，此時學生需要借助于整體思想，簡化解題過程，提高解題效率。

例如：求函數(shù)f(x)=2x3-x-1零點的個數(shù)。

分析：采用常規(guī)的數(shù)形結(jié)合方式，零點個數(shù)就是求f(x)=0的解的個數(shù)，也就求是2x3-x-1=0的解的個數(shù)，即函數(shù)f(x)=2x3和函數(shù)g(x)=x+1的交點個數(shù)。

畫圖可以看出，兩個函數(shù)都是單增函數(shù)，并且g(x)在第三象限恒大于f(x) ，因此兩個函數(shù)只有一個交點，所以零點個數(shù)是1個。

而如果采用整體思想，f(x)=(x-1)(2x2+2x+1)

x-1=0或者2x2+2x+1=0

后面的式子△＜0無解，

所以f(x)只有一個零點，也就是(1，0)。

可以看出，利用整體思想，進行因式分解，過程將變得更加簡單。

再如：若函數(shù)y=x2+(m+2)x+5-m有2個大于2的零點，則m的取值范圍？

解：有2個大于2的零點，即方程x2+(m+2)x+5-m=0有兩個大于2的根。

判別式Δ=(m+2)2-4(5-m)=m2+8m-16=(m+4)2-32＞0

5 結(jié)語

本文分析了整體思想的含義及其在高中數(shù)學解題中的應用，同時通過實際例題，詳細分析了整體思想在函數(shù)零點問題、三角函數(shù)、函數(shù)奇偶性等問題解析過程中的應用。