深入探究高考題，解后反思練思維

賴國強(qiáng)

[摘? 要] 近幾年高考壓軸題中出現(xiàn)了眾多優(yōu)秀的考題，這些考題隱含著一定的學(xué)習(xí)價值，對于學(xué)生認(rèn)識高考命題方向，學(xué)習(xí)解題思路構(gòu)建，提升解題思維有著極大的幫助，因此十分有必要開展解題反思學(xué)習(xí). 以一道高考解析幾何題為例，進(jìn)行深入探究，并從考題出發(fā)開展解后反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;多解;思路;方法;反思;思維

考題再現(xiàn)

（1）當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程;

（2）設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試證明∠OMA=∠OMB.

思路突破

1. 第一問突破

求直線AM的方程，實(shí)際上就是求點(diǎn)A的坐標(biāo)，而點(diǎn)A是過橢圓C的右焦點(diǎn)的直線與橢圓的焦點(diǎn)，因此只需要表示出直線l的方程，然后與橢圓解析式聯(lián)立求解即可.

2. 第二問突破

求證∠OMA=∠OMB，考慮到兩個角分別為直線AM和MB與x軸所成的銳角，可知若∠OMA=∠OMB，則直線AM的斜率kAM和直線BM的斜率kBM互為相反數(shù)，即kAM+kBM=0，因此問題轉(zhuǎn)化為求證兩者斜率之和為零的問題，只需設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立方程求直線斜率即可.

方法一：直線縱截式方程，考慮斜率不存在與存在兩種情形

討論情形①：當(dāng)l與x軸垂直時，則OM垂直平分直線AB，此時∠OMA=∠OMB.

綜上，原式得證.

方法二：直線橫截式方程，考慮斜率為零與不為零兩種情形∠OMA=∠OMB

討論情形①：當(dāng)l與x軸相重合時，∠OMA=∠OMB.

綜上，原式得證.

思考：上述兩種方法分別構(gòu)建了直線的縱截式方程和橫截式方程，從問題的構(gòu)建思路來看是相一致的，都是基于直線的傾斜角與斜率的關(guān)系進(jìn)行的問題轉(zhuǎn)化，通過方程的聯(lián)立完成代數(shù)式的研究，是利用代數(shù)方程進(jìn)行的幾何問題研究，屬于解析幾何最為基本的解法. 而求解兩個角的相等，我們可以單純地從幾何性質(zhì)角度進(jìn)行思考，將OM視為是△AMB頂角∠AMB的角平分線，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得出一些關(guān)于三角形邊長的性質(zhì).

解后反思

上述考題是高中解析幾何的典型問題，尤其是第二問與幾何角相等的結(jié)合，更能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的學(xué)科融合思想，同時問題的求解思路和采用的方法具有一定的代表性，下面將從考題本質(zhì)入手開展問題轉(zhuǎn)化、多解探析、結(jié)論拓展等方面的解題反思.

1. 深入剖析，問題轉(zhuǎn)化

上述考題的核心是第二問求證曲線上所形成的兩個角相等，表面上屬于典型的幾何問題，但剖析上述求解過程可以發(fā)現(xiàn)其背后隱含著深刻的數(shù)學(xué)規(guī)律，如解法一和二的代數(shù)視角，求解幾何角相等實(shí)際上就是求證兩條直線的斜率關(guān)系，即通過求證直線斜率之和為零得出“直線的傾斜角互補(bǔ)”的結(jié)論，進(jìn)而完成等角證明. 而解法三雖然基于的是數(shù)學(xué)的幾何視角，但其求證過程則充分利用了具有角平分線三角形中的邊長比例性質(zhì)，進(jìn)而將等角問題轉(zhuǎn)化為求證幾何邊長的比例問題. 從中可以看出復(fù)雜問題的解題關(guān)鍵是對問題的合理轉(zhuǎn)化，打開問題求解的突破口.

2. 方法多解，全面思考

“全面思考，嚴(yán)謹(jǐn)推理”是數(shù)學(xué)問題所需要遵循的指導(dǎo)思想，即深入研究問題，考慮問題全面，嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)的邏輯進(jìn)行推理論證，如上述考題解法一和二，按照直線l與x軸的關(guān)系將其分為兩種情形，采用分類討論的方式進(jìn)行嚴(yán)格論證，確保了答案得出的準(zhǔn)確性. 近幾年的高考數(shù)學(xué)題特別注重對學(xué)生全面思考的考查，這就要求我們在分析問題時多思考問題存在的情形，必要時設(shè)定一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論求證. “全面思考，嚴(yán)謹(jǐn)推理”不僅是解題的基本要求，也是一種解題的習(xí)慣，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣對于問題的準(zhǔn)確作答十分重要.

3. 結(jié)論拓展，強(qiáng)化應(yīng)用

數(shù)學(xué)的解題過程不僅止于問題本質(zhì)，而在求解結(jié)束后十分有必要對考題進(jìn)行拓展，包括變式拓展和結(jié)論的拓展，尤其是對于其中一些具有代表性的考題，在拓展的過程中可以加深學(xué)生對考題本質(zhì)的理解，對問題解法的理解.

教學(xué)思考

1. 深度研究考題，開展解后反思

在歷年的高考中都存在一些優(yōu)秀的、具有代表性的考題，這些考題對于我們研究高考命題方向、分析解題方法有著重要的幫助，而研究考題需要通過兩個環(huán)節(jié)：一是細(xì)致地解讀考題，親身分析計(jì)算;二是進(jìn)行解后反思，深度剖析考題的本質(zhì)，解題的方法. 其中后一環(huán)節(jié)是考題研究的關(guān)鍵，決定了考題學(xué)習(xí)的高度和深度. 在教學(xué)中開展解后反思，應(yīng)該按照如下順序進(jìn)行思考：①考題所涉及的知識內(nèi)容;②考題的問題本質(zhì)、轉(zhuǎn)化途徑;③如何結(jié)合問題和條件構(gòu)建求解思路，有哪些構(gòu)建的方向;④求解過程用到了哪些方法，需要注意哪些關(guān)鍵點(diǎn);⑤從考題求解的過程中可以得出哪些結(jié)論，并適度拓展.通過上述的反思問題引導(dǎo)全面認(rèn)識考題，獲取考題中的精華.

2. 利用解后反思，提升解題思維

教學(xué)中開展解后反思，引導(dǎo)學(xué)生由問題出發(fā)思考知識點(diǎn)、問題本質(zhì)、轉(zhuǎn)化方式、構(gòu)建方式和解題方法，實(shí)際上就是讓學(xué)生學(xué)習(xí)解題的思路，從而形成自我的解題策略，而分析解題思路的過程對于提升學(xué)生的思維能力有著極大的幫助，也是開展解后反思的重要意義所在. 學(xué)生的解題能力直接由其思維能力來決定，只有充分提升學(xué)生的解題思維，才能從本質(zhì)上提升學(xué)生的解題效率. 利用解后反思提升學(xué)生思維，需要注意兩點(diǎn)：一是充分引導(dǎo)學(xué)生研究考題的方法，包括基本的構(gòu)建方法和解題指導(dǎo)的思想方法;二是適度引導(dǎo)學(xué)生對考題的結(jié)論進(jìn)行延伸，開展考題的拓展學(xué)習(xí). 利用考題開展解后反思，讓學(xué)生在反思中進(jìn)行思維拓展，充分利用考題的價值，使學(xué)生獲得長久的發(fā)展.