近三年高考全國課標(biāo)卷概率統(tǒng)計(jì)題的考查特點(diǎn)與備考建議

胡樹平

【摘要】概率統(tǒng)計(jì)作為高考考查的重要知識點(diǎn)，已經(jīng)被時(shí)代賦予了新的含義，特別是近幾年全國課標(biāo)卷中出現(xiàn)了好多亮點(diǎn)和經(jīng)典試題.概率統(tǒng)計(jì)題有效地考查考生的運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力及應(yīng)用意識.為了迎接2018年全國新課標(biāo)高考的到來，幫助廣大備考師生加強(qiáng)、加深對概率統(tǒng)計(jì)題的復(fù)習(xí)研究，筆者結(jié)合自己平時(shí)的教學(xué)研究，通過對2015—2017年這三年全國各?。ㄊ小^(qū)）高考理科統(tǒng)計(jì)與概率試題的統(tǒng)計(jì)分析，總結(jié)出概率統(tǒng)計(jì)試題的考查特點(diǎn)并對今后的復(fù)習(xí)備考提出相應(yīng)的意見與建議.

【關(guān)鍵詞】高考；概率統(tǒng)計(jì)；考查特點(diǎn)；備考

一、概率統(tǒng)計(jì)題的考查特點(diǎn)分析

（一）“統(tǒng)計(jì)”背景下的“概率”問題

這類問題一般將統(tǒng)計(jì)與概率相結(jié)合，既考查頻率分布直方圖或莖葉圖，又考查統(tǒng)計(jì)情境下的概率問題，如概率、分布列與期望的計(jì)算.

1.以頻率分布直方圖為背景來考查概率知識

如，2016年全國課標(biāo)卷1理科19題：某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖.

以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；

（Ⅲ）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？

點(diǎn)評 本題以頻率分布直方圖為背景，主要考查離散型隨機(jī)變量的概率分布列，隨機(jī)變量的取值只要一一列舉即可.第二問已知概率的范圍反求n的最小值，考查逆向思維.第三問為決策問題，考查數(shù)學(xué)期望的計(jì)算.

2.以表格為背景來考查概率知識

此類問題經(jīng)常以表格的形式出現(xiàn)，著重考查學(xué)生從表格獲取信息、處理數(shù)據(jù)的能力，全國課標(biāo)卷多次出現(xiàn)表格.

如，2016年全國課標(biāo)卷2理科19題：某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；

（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；

（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.

點(diǎn)評 本題以表格為背景，考查條件概率、分布列、數(shù)學(xué)期望等知識.

3.以莖葉圖為背景考查概率知識

2015年全國課標(biāo)卷2理科19題考查莖葉圖、互斥事件和獨(dú)立事件，根據(jù)莖葉的密集程度比較平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；方差看它們數(shù)字偏離程度，偏離越大則方差大.讀懂所求概率事件包含的含義，利用分類討論思想將事件分解為幾個(gè)互斥的情況來求概率.

點(diǎn)評：本題考查莖葉圖、互斥事件和獨(dú)立事件，根據(jù)莖葉的密集程度比較平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；方差看它們數(shù)字偏離程度，偏離越大則方差大.讀懂所求概率事件包含的含義，利用分類討論思想將事件分解為幾個(gè)互斥的情況來求概率.

（二）純粹的統(tǒng)計(jì)學(xué)問題

如，2016年全國課標(biāo)卷3文、理科18題：下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

點(diǎn)評 （Ⅰ）由散點(diǎn)圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù)；（Ⅱ）令w=x，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，即可得出y關(guān)于x的回歸方程；（Ⅲ）（?。├脃關(guān)于x的回歸方程先求出年銷售量y的預(yù)報(bào)值，再根據(jù)年利率z與x，y的關(guān)系為z=0.2y-x即可得出年利潤z的預(yù)報(bào)值；（ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果知年利潤z的預(yù)報(bào)值，列出關(guān)于x的方程，利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出年利潤取最大值時(shí)的年宣傳費(fèi)用.另外，本題源于教材，解答非線性擬合問題，先作出散點(diǎn)圖，再根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)模型，設(shè)出回歸方程，利用換元法將非線性回歸方程化為線性回歸方程.

小結(jié)：與函數(shù)相結(jié)合的概率統(tǒng)計(jì)題綜合性強(qiáng)、難度大，2012年、2013年連續(xù)兩年都出了與函數(shù)相結(jié)合的概率統(tǒng)計(jì)題.2014—2016年三年全國新課標(biāo)卷僅考一題，然而2017年全國課標(biāo)3卷19題又考查了與函數(shù)相結(jié)合的概率統(tǒng)計(jì)題.

二、概率統(tǒng)計(jì)題高考備考建議

（一）重視“邊緣化”知識

近年來全國新課標(biāo)卷的概率統(tǒng)計(jì)題以考查統(tǒng)計(jì)為主，常涉及一些容易忽視的“邊緣化”知識.利用頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)、眾數(shù)和平均值、線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)、正態(tài)分布，這些我們并不是很重視的知識在高考中都有考查.統(tǒng)計(jì)學(xué)公式比較復(fù)雜，有些原理理解起來比較困難，因此，建議統(tǒng)計(jì)學(xué)知識要反復(fù)復(fù)習(xí).

（二）加強(qiáng)知識的深度理解

結(jié)合近幾年全國新課標(biāo)卷的概率統(tǒng)計(jì)題命題特點(diǎn)，在這一塊內(nèi)容的復(fù)習(xí)中要注意對統(tǒng)計(jì)知識的再挖掘.要深入理解統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，領(lǐng)悟統(tǒng)計(jì)學(xué)思想，不能停留在記住結(jié)論、公式的表層上，要弄清結(jié)論反映的原理是什么、公式又是如何推導(dǎo)的.

（三）加強(qiáng)概率模型的區(qū)分與訓(xùn)練

盡管近年來概率統(tǒng)計(jì)題以考統(tǒng)計(jì)為主，但是概率知識也不可忽視.超幾何分布、二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系，值得重視.概率題的突破可以從概率模型入手，分模型訓(xùn)練.

（四）培養(yǎng)考生數(shù)據(jù)處理及運(yùn)算能力

著重培養(yǎng)學(xué)生從“圖表”中讀取信息的能力及處理信息的能力（特別是處理數(shù)據(jù)）.另外，要加強(qiáng)對學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，有不少考生就是因?yàn)檫\(yùn)算不強(qiáng)導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤而影響解題的進(jìn)度，使得解答陷入困境.

（五）注重回歸教材，加強(qiáng)往屆試題研究

教材是教學(xué)之本，最后的復(fù)習(xí)過程中一定要加強(qiáng)對教材習(xí)題、重點(diǎn)例題的探究，注重對教材的挖掘和利用，很多高考題都源于教材.另外，要加強(qiáng)對往年高考題的研究，從中發(fā)現(xiàn)命題的特點(diǎn)，找出命題規(guī)律，進(jìn)行有效復(fù)習(xí).

總之，全國課標(biāo)卷的概率統(tǒng)計(jì)題考查特點(diǎn)鮮明，可能放在第2道或第3道大題的位置，而且“統(tǒng)計(jì)”的味道很濃，涉及樣本平均數(shù)、樣本方差、考查線性回歸、正態(tài)分布、獨(dú)立性檢驗(yàn)等.在“統(tǒng)計(jì)”的背景下考查“概率”，也常常與函數(shù)相結(jié)合，總是在知識的交匯處命題.因此，要深度挖掘教材知識、加強(qiáng)研究高考試題，切實(shí)提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，以不變應(yīng)萬變.

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