淺談高數(shù)教學中如何培養(yǎng)學生的逆向思維和邏輯思維

摘要：高數(shù)教學培養(yǎng)學生的逆向思維與邏輯思維有重要意義，這也是新課程背景下高數(shù)教學的一個重要任務。在數(shù)學教學中，一方面是向?qū)W生傳授數(shù)學知識，而更重要的是利用數(shù)學培養(yǎng)學生的思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及解決實際問題的能力，以使學生的素質(zhì)得到全面提升，這對于他們將來的學習與工作有很大幫助。文章是從高數(shù)中相關定理的逆命題及逆否命題的理解與應用的角度闡述了培養(yǎng)學生逆向思維與邏輯思維的途徑。

關鍵詞：高數(shù)；逆向思維；邏輯思維；培養(yǎng)

當代社會是一個要求不斷創(chuàng)新的社會，在高數(shù)教學中培養(yǎng)學生的逆向思維與邏輯思維，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維與綜合素質(zhì)。高等數(shù)學中的許多定理的逆命題很多時候是偽命題，然而在數(shù)理邏輯理論上命題的逆否命題又是正確的。因此，高數(shù)教師通過講解逆命題與逆否命題的相關知識，對培養(yǎng)學生的逆向思維和邏輯思維有很重要的作用。

一、 概述高數(shù)中相關定理的逆命題與逆否命題對于培養(yǎng)學生思維能力的重要性

通常來說，從思考規(guī)律角度看思維包括了順向思維與逆向思維兩種，形象化地說順向思維是考慮問題的思維方式是由A到B，而逆向思維考慮問題的思維方式則是由B到A。在講解高數(shù)中的相關定理時，為了使學生對定理有更深刻的理解并更好地掌握，需要數(shù)學教師講解分析定理的逆命題與否命題的真?zhèn)涡约懊}成立的相關條件。這部分內(nèi)容本身就不好理解，學生在學習過程中經(jīng)常容易混淆。因此學好定理的逆命題與否命題的相關知識，能夠有效提高學生的逆向思維與邏輯思維能力。

二、 通過理解、應用高數(shù)中相關定理的逆否命題培養(yǎng)學生逆向思維與邏輯思維

從數(shù)理邏輯角度講，逆否命題與命題并沒有本質(zhì)上的區(qū)別，定理是正確的其逆否命題的正確性也是毋庸置疑的，因此在實際運用中不需要再證明定理的逆否命題。例如，如果數(shù)列xn是收斂的，它一定也是有界的，它的逆否命題則是如果該數(shù)列是無界的，它一定是發(fā)散的。由此可以看出，學生在了解定理的逆否命題后可以直接使用，不需要再證明其正確性。高數(shù)教師在教學的過程中要注意引導學生在證明某些命題時多使用相關的逆否理論。例如，假設級數(shù)∑∞n=1xm是收斂的，就可以推導出limn→∞xm=0，那它的逆否定理就是如果limn→∞xm≠0，則級數(shù)∑∞n=1xm就是發(fā)散的；所以要證明級數(shù)∑∞m=1sinn是發(fā)散的，這時就可以通過它的逆否定理來證明，這是因為如果limn→∞sinm≠0，則必有級數(shù)∑∞m=1sinm發(fā)散的結(jié)論。高數(shù)教師在向?qū)W生講解某些原定理及其逆否定理的應用的過程中就培養(yǎng)了學生的逆向思維能力。

但在某些情況下，有些定理的逆否命題看似不正確。例如，假設m小于0，那么方程y2+（2m+1）y+m=0的兩個實根肯定是不同的，它的逆否命題是如果方程y2+（2m+1）y+m=0沒有兩個不同的實根，那么m是大于等于0的。但是事實上如果方程y2+（2m+1）y+m=0沒有兩個不同的實根，Δ是小于0的，根據(jù)演算可以得出Δ=4m2>0，這與Δ是小于0是不是真的相互矛盾呢？由于方程y2+（2m+1）y+m=0沒有兩個不同的實根本身就是一個假命題，因此Δ是小于0的結(jié)論也是假的。因此，通過高數(shù)教學讓學生了解并掌握一定的數(shù)理邏輯知識是非常重要的，有利于學生更好地運用邏輯思維方式分析數(shù)學命題，在學好知識的同時邏輯思維能力得到有效提高。

三、 通過理解、應用高數(shù)中相關定理的逆命題與否命題培養(yǎng)學生逆向思維與邏輯思維

通常而言，高數(shù)包括了可逆定理與不可逆定理等兩種定理。我們所使用的教材中給出了某些定理的逆定理，還有很多定理的可逆性教材中并沒有相關內(nèi)容。所以，高數(shù)教師也會常常提醒學生一定要注意定理逆命題的應用，切不可隨意使用。證明高數(shù)命題的正確性是一個十分嚴謹?shù)恼撟C過程，但是要證明某個命題是錯誤的就相對容易得多，只要有一個相反的例子就能推翻錯誤的結(jié)論。在高數(shù)中，有相當一部分定理的逆命題都是偽命題。教師在講解相關定理內(nèi)容后，需要學生對其逆命題的正確性進行思考論證。例如，假設數(shù)列xm是收斂的，則可以推導出xm必是有界的；而它的逆命題則是：如果數(shù)列xm是有界的，則可以推導出xm必是收斂的，假設xm=sinn是有界的，事實上xm是發(fā)散的，因此逆命題是不成立的。高數(shù)教師在授課過程中，要注意引導學生進行反向思考，針對不成立的逆命題引導學生深入思考并找出相反的例子。通過進行反向思考，學生的思維潛力得以充分發(fā)揮，使學生的思維能力得以全面發(fā)展，同時學生在高數(shù)方面的能力也得到提升。

逆命題與命題的條件之間也存在一定的關系，即如果某定理的逆命題是成立的，則該定理的條件就是充分必要條件；從另一個角度分析，只有在某定理的條件是充分必要條件時，其逆命題才是成立的。從本質(zhì)上看，逆命題與否命題其實是等價的。因此，在研究高數(shù)中的逆命題時，有時從問題的反方向或否定的角度去思考反而更容易理解。在了解數(shù)學知識內(nèi)在聯(lián)系的基礎上，通過逆向思考加深對知識的理解，有利于更好地利用數(shù)學知識解決實際問題。

綜上所述，高數(shù)教師在教學過程中要重視對學生逆向思維與邏輯思維的培養(yǎng)，這也是新課程背景下對教師提出的一個重要要求。因此教師在授課過程中要適當?shù)匾龑W生進行反向或否定方面的思考，突破單項推理的思維模式，既可以提高學生學習數(shù)學的能力，同時對于培養(yǎng)學生的逆向思維和邏輯思維有重要作用。學生思維能力的不斷提升對于他們的全面發(fā)展有重要意義，學生只有具備較高的綜合素質(zhì)才能更好地服務于社會主義現(xiàn)代化建設。

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作者簡介：

苗俊嶺，副教授，廣東省中山市，中山開放大學。