葡萄酒質(zhì)量的評(píng)價(jià)

許珊珊+譚兵+李屹+何婷??

摘要：現(xiàn)行的葡萄酒質(zhì)量的評(píng)價(jià)體系是建立在人的感官上進(jìn)行的，如何通過一些量化的理化指標(biāo)來評(píng)價(jià)葡萄酒質(zhì)量是一個(gè)值得研究的方向。為此，利用多元統(tǒng)計(jì)分析的相關(guān)知識(shí)，通過研究釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒的質(zhì)量之間的關(guān)系，客觀的評(píng)價(jià)了葡萄酒的質(zhì)量，成功的對(duì)釀酒葡萄進(jìn)行了分級(jí)。

關(guān)鍵詞：t檢驗(yàn)法；K均值聚類；典型相關(guān)分析；多元線性回歸

中圖分類號(hào)：F27文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2018.09.028

1問題背景

葡萄酒質(zhì)量的好壞主要依賴于評(píng)酒員的感觀評(píng)價(jià)，由于人為主觀因素的影響，對(duì)于酒質(zhì)量的評(píng)價(jià)總會(huì)存在隨機(jī)差異，找到一種簡(jiǎn)單有效的客觀方法來評(píng)酒，如何采用一個(gè)量化的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)就顯得尤為重要了。本文根據(jù)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽2012年A題的問題和數(shù)據(jù)，通過研究釀酒葡萄的好壞與所釀葡萄酒的質(zhì)量的關(guān)系，以及葡萄酒和釀酒葡萄檢測(cè)的理化指標(biāo)之間的關(guān)系，對(duì)葡萄酒的質(zhì)量進(jìn)行了客觀評(píng)價(jià)和分級(jí)。

2模型假設(shè)

（1）假設(shè)附件數(shù)據(jù)來源真實(shí)有效；

（2）假設(shè)兩組品酒員在相同環(huán)境下品酒，采用評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一樣；

（3）假設(shè)釀酒葡萄和葡萄酒編號(hào)一一對(duì)應(yīng)。

3符號(hào)說明

4模型建立與求解

4.1問題一的模型建立與求解

4.1.1數(shù)據(jù)預(yù)處理

在數(shù)據(jù)分析之前通常要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，附件1包含兩組品酒員分別對(duì)紅葡萄酒和白葡萄酒的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，每組品酒員有10個(gè)，紅葡萄酒樣品有27個(gè)，白葡萄酒樣品有28個(gè)。觀察數(shù)據(jù)我們可以發(fā)現(xiàn)，部分?jǐn)?shù)據(jù)存在缺失和異常現(xiàn)象，我們對(duì)其正?；幚怼?duì)于數(shù)據(jù)缺失情況，例如第一組紅葡萄酒樣品20號(hào)中品酒員4號(hào)對(duì)色調(diào)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)缺失，我們采用剩余數(shù)據(jù)的均值替換法來修補(bǔ)缺失數(shù)據(jù)。對(duì)于數(shù)據(jù)異常情況，例如第一組白葡萄酒樣品3號(hào)中品酒員7號(hào)對(duì)持久性數(shù)據(jù)評(píng)分超過其規(guī)定最大值，我們也是采用“先舍棄后均值替換”的方法。

4.1.2評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)正態(tài)性的檢驗(yàn)

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理后，我們對(duì)附件1中品酒員對(duì)酒樣品的評(píng)價(jià)總分進(jìn)行了計(jì)算，然后得出了紅葡萄酒和白葡萄酒的得分均值，其圖像如圖1、圖2所示。

觀察圖1、圖2可以發(fā)現(xiàn)，兩組品酒員對(duì)紅葡萄酒和白葡萄酒的得分均值雖然在數(shù)值上有出入，但其變化趨勢(shì)大致一樣，為了評(píng)價(jià)兩組品酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果有無顯著性差異，我們擬采用雙正態(tài)總體t檢驗(yàn)法，為此我們需要對(duì)兩組品酒員的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。

根據(jù)其得分均值數(shù)據(jù)，我們采用MATLAB正態(tài)檢驗(yàn)性的相關(guān)函數(shù)，繪制了兩組品酒員對(duì)紅葡萄酒得分均值的頻數(shù)分布和正態(tài)概率如圖3所示。

觀察圖3我們可以發(fā)現(xiàn)，兩組品酒員對(duì)紅葡萄酒得分均值頻數(shù)大致符合正態(tài)分布，而正態(tài)概率圖正說明了得分均值的概率落在直線周圍，所以我們可認(rèn)為兩組品酒員對(duì)紅葡萄的得分均值服從正態(tài)分布，我們?cè)倮煤瘮?shù)lillietest來檢驗(yàn)是否服從正態(tài)分布，結(jié)果顯示H=0，則可以認(rèn)為是服從正態(tài)分布的。針對(duì)兩組品酒員對(duì)白葡萄酒的得分均值亦采用上述方法，結(jié)果表明其服從正態(tài)分布。

4.1.3雙正態(tài)總體t檢驗(yàn)

t檢驗(yàn)是一種比較成熟的檢驗(yàn)方法，針對(duì)本問題，采用雙總體獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn)法，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

（1）

其中S21，S22表示兩樣本方差，n1，n2表示兩樣本量。

當(dāng)樣本量n1=n2=n時(shí)，t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量化簡(jiǎn)為：

（2）

首先提出無效假設(shè)與備擇假設(shè)：H0：兩組品酒員評(píng)價(jià)結(jié)果無顯著性差異，H1：兩組品酒員評(píng)價(jià)結(jié)果有顯著性差異。

計(jì)算兩組品酒員對(duì)紅葡萄酒和白葡萄酒評(píng)分均值的t統(tǒng)計(jì)量，繪制其顯著性檢驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

觀察圖4再結(jié)合t檢驗(yàn)推斷依據(jù)，在顯著性水平為0.05的情況下，t檢驗(yàn)值小于t（df）0.05，所以接受原假設(shè)，即兩組品酒員評(píng)價(jià)結(jié)果無顯著性差異。接著計(jì)算得到了兩組品酒員對(duì)紅葡萄酒和白葡萄酒的平均顯著性t檢驗(yàn)值分別為1.7539和1.1356，這說明品酒員對(duì)白葡萄酒評(píng)價(jià)結(jié)果的差異小于對(duì)紅葡萄酒的差異。

4.1.4哪組結(jié)果更可信

為了評(píng)價(jià)哪一組結(jié)果更可信，我們可以根據(jù)品酒員對(duì)酒樣品評(píng)價(jià)得分的方差來體現(xiàn)，方差越小，說明品酒員之間評(píng)價(jià)結(jié)果越接近，評(píng)價(jià)結(jié)果越可信。

觀察圖像可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于紅葡萄酒和白葡萄酒，第一組品酒員評(píng)分的方差均大于第二組品酒員評(píng)分的方差，綜上，我們可認(rèn)為第二組品酒員的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)更可信一點(diǎn)。

4.2問題二的模型建立與求解

根據(jù)釀酒葡萄理化指標(biāo)和葡萄酒質(zhì)量對(duì)釀酒葡萄進(jìn)行分級(jí)，也就是對(duì)釀酒 進(jìn)行聚類。查閱文獻(xiàn)可知，K均值聚類法具有廣泛的應(yīng)用，是典型的基于原型的目標(biāo)函數(shù)聚類方法的代表，它是數(shù)據(jù)點(diǎn)到原型的某種距離作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)求極值的方法得到迭代運(yùn)算的調(diào)整規(guī)則。限于篇幅原因，其實(shí)現(xiàn)原理和方法見參考文獻(xiàn)。

4.2.1根據(jù)葡萄酒質(zhì)量聚類

由問題一分析可知，兩組品酒員評(píng)價(jià)結(jié)果無顯著性差異，因此本文采用兩組品酒員評(píng)分均值來進(jìn)行分析。利用K均值聚類算法對(duì)紅葡萄酒質(zhì)量進(jìn)行聚類得到圖7。

圖7紅葡萄酒K均值聚類結(jié)果圖

根據(jù)分類的結(jié)果以及各葡萄樣品酒綜合得分最終將釀酒葡萄分為A（優(yōu)質(zhì)）、B（良好）、C（中等）、D（差）四個(gè)等級(jí)，客觀地反映了釀酒葡萄的理化指標(biāo)與葡萄酒質(zhì)量之間的聯(lián)系。對(duì)于紅葡萄酒的分類結(jié)果如表2所示。

4.2.2根據(jù)釀酒葡萄酒理化指標(biāo)聚類

觀察表3中釀酒葡萄的理化指標(biāo)，分為一級(jí)指標(biāo)和二級(jí)指標(biāo)，為了指標(biāo)級(jí)別的統(tǒng)一性，我們選擇一級(jí)指標(biāo)進(jìn)行研究，但一級(jí)指標(biāo)仍然有9個(gè)，為此，我們采用主成分分析法（Principal Component Analysis，PCA）對(duì)指標(biāo)進(jìn)行降維。主成分分析，是考察多個(gè)變量間相關(guān)性一種多元統(tǒng)計(jì)方法，研究如何通過少數(shù)幾個(gè)主成分來揭示多個(gè)變量間的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，即從原始變量中導(dǎo)出少數(shù)幾個(gè)主成分，使它們盡可能多地保留原始變量的信息，且彼此間互不相關(guān).通常數(shù)學(xué)上的處理就是將原來P個(gè)指標(biāo)作線性組合，作為新的綜合指標(biāo)。endprint

利用主成分分析法先對(duì)釀酒葡萄指標(biāo)進(jìn)行降維，然后在利用K均值聚類法對(duì)降維結(jié)果進(jìn)行聚類。以紅葡萄為例，根據(jù)PCA得分利用K均值聚類的結(jié)果如圖9所示。

與根據(jù)葡萄酒質(zhì)量的分級(jí)結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)兩者一致性較差，這在情理之中。根據(jù)不同的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)就會(huì)得到不同的結(jié)果，根據(jù)葡萄酒分級(jí)的目的，可能認(rèn)為根據(jù)葡萄酒評(píng)分對(duì)釀酒葡萄進(jìn)行分級(jí)更合理一點(diǎn)。對(duì)于白葡萄酒情況類似，限于篇幅不再給出白葡萄酒的分級(jí)結(jié)果。

4.3兩組變量之間的關(guān)系

4.3.1典型相關(guān)分析

欲分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的聯(lián)系，可以采用典型相關(guān)分析法，典型相關(guān)分析的目的識(shí)別并量化兩組變量之間的關(guān)系，將兩組變量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一組變量的線性組合與另一組變量的線性組合之間的相關(guān)關(guān)系分析，其基本思想是主成分分析。

根據(jù)附件2發(fā)現(xiàn)，釀酒葡萄的一級(jí)理化指標(biāo)有30個(gè)，葡萄酒的一級(jí)理化指標(biāo)有9個(gè)，我們采用MATLAB中的canoncorr函數(shù)分析這兩組變量之間的關(guān)系，分析結(jié)果表明，九組典型相關(guān)變量的相關(guān)系數(shù)均為1，繪制了九組典型相關(guān)變量得分如圖10所示。

由于典型相關(guān)變量太多，且其表達(dá)式較復(fù)雜，故此種方法對(duì)分析釀酒葡萄與葡萄酒理化指標(biāo)之間的聯(lián)系用處不大。

4.3.2多元線性回歸模型的建立

多元回歸分析是研究多個(gè)變量之間關(guān)系的回歸分析方法，確定變量之間數(shù)量的可能形式，并用數(shù)學(xué)模型表示如下：

（3）

其中β0為截距項(xiàng)，βi為偏回歸系數(shù)，ε為殘差項(xiàng)。

假定：

（4）

建立模型后，需要對(duì)模型進(jìn)行擬合度檢驗(yàn)，就是用R2檢驗(yàn)樣本回歸方程的變量的線性關(guān)系是否顯著，此外可以用F檢驗(yàn)對(duì)整個(gè)回歸進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，即Y與所考慮的k個(gè)自變量是否有顯著性線性關(guān)系，F(xiàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

（5）

其中ESS為回歸平方和，RSS為殘差平方和，n為樣本容量，k為自變量個(gè)數(shù)。

給定顯著性水平α=0.05，可得到臨界值Fα（k，n-k-1），由樣本求出統(tǒng)計(jì)量F的數(shù)值，通過與F的臨界值進(jìn)行比較，若FF（0.05）（k，n-k-1），則拒絕原假設(shè)，即參數(shù)βi不全為0，認(rèn)為回歸方程在0.05水平上顯著。

為了便于分析，我們將附件2中的一級(jí)指標(biāo)進(jìn)行編號(hào)，釀酒葡萄的一級(jí)指標(biāo)從氨基酸總量、蛋白質(zhì)、VC 含量直到b*（+黃；-藍(lán)）分別命名為x1，x2，x3，…xn，葡萄酒的一級(jí)指標(biāo)從花色苷、單寧、總酚直到b*分別命名為y1，y2，y3，…，yn。建立葡萄酒理化指標(biāo)y與釀酒葡萄理化指標(biāo)x之間的關(guān)系，由于釀酒葡萄一級(jí)指標(biāo)多達(dá)30個(gè)，為此，需要對(duì)釀酒葡萄一級(jí)指標(biāo)進(jìn)行降維，選擇主要的指標(biāo)進(jìn)行分析。以花色苷為例，針對(duì)葡萄酒的其他理化指標(biāo)的分析與之類似。建立釀酒葡萄與花色苷之間的相關(guān)系數(shù)矩陣，選擇相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值大于均值的變量。其相關(guān)系數(shù)矩陣如表5所示。其中X表示將該變量舍去。

根據(jù)R2的大小，可判斷出多元線性回歸方程的契合度，結(jié)果顯示，在置信度95%下，R2=0.98，可知方程的吻合性非常好。且F=19.4>F（0.95，19，7）=3.46，與顯著性概率0.05相關(guān)的p=0.00027<005，這說明回歸方程中的每個(gè)自變量的選取都是有意義的。最后得到葡萄酒花色苷與釀酒葡萄一級(jí)理化指標(biāo)的多元線性回歸方程為：

y=β0+β1x2+β2x4+β3x6+…+β19x28+β20x29（6）

其中x2、x4、x4、x28、x29、y分別代表蛋白質(zhì)、釀酒葡萄花色苷、蘋果酸、L*、a*、葡萄酒花色苷。

參考文獻(xiàn)

[1]全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽官網(wǎng)，2012年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題[EB/OL].http：//www.mcm.edu.cn/problem/2012/2012.html.

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