《線性代數(shù)》在線開放課程的典型問題與教學(xué)設(shè)計(jì)

朱榮坤，謝加良，高 峰

（集美大學(xué) 理學(xué)院，福建 廈門 361021）

近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)的全面普及和教育技術(shù)的不斷革新，大規(guī)模在線開放課程在全球興起.高等教育領(lǐng)域掀起了一股以“降低教育成本、促進(jìn)教育公平、提升教學(xué)質(zhì)量、提倡終身學(xué)習(xí)”為宗旨的在線開放課程建設(shè)的浪潮，為“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代的高等教育改革注入了新的活力.2015年4月，《教育部關(guān)于加強(qiáng)高等學(xué)校在線開放課程建設(shè)應(yīng)用與管理的意見》[1]出臺(tái)，提出“鼓勵(lì)高校結(jié)合本校人才培養(yǎng)目標(biāo)和需求，通過在線學(xué)習(xí)、在線學(xué)習(xí)與課堂教學(xué)相結(jié)合等多種方式應(yīng)用在線開放課程”，這對(duì)推動(dòng)我國大規(guī)模在線開放課程體系建設(shè)探索“高校主體、政府支持、社會(huì)參與”的中國特色發(fā)展道路具有重大指導(dǎo)意義.

盡管在線開放課程的開發(fā)與建設(shè)如火如荼，但在具體實(shí)施過程中也遇到了許多障礙和問題[2-3]，優(yōu)質(zhì)專業(yè)性課程的稀缺便是其中亟待解決的一個(gè)重要問題.積累相當(dāng)規(guī)模的優(yōu)質(zhì)專業(yè)課程，并廣泛融入整個(gè)高校

課程教學(xué)系統(tǒng)，是全面建設(shè)在線開放課程體系，不斷推進(jìn)新時(shí)期高等教育改革的先決條件和重要環(huán)節(jié).然而，現(xiàn)實(shí)是我國的優(yōu)質(zhì)專業(yè)在線課程建設(shè)還非常薄弱.集美大學(xué)自2016年開始進(jìn)行《線性代數(shù)》在線課程建設(shè)，課程組成員根據(jù)在線開放課程建設(shè)的原則，結(jié)合在線開放課程屬性，引入最新信息和教育技術(shù)，進(jìn)行相關(guān)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)，進(jìn)一步依托教改項(xiàng)目《代數(shù)類基礎(chǔ)課程的典型問題與方法研究》，凝練出多講“典型例題”，增補(bǔ)教學(xué)內(nèi)容，整合知識(shí)體系[4].《線性代數(shù)》是高校理工科、經(jīng)管類各專業(yè)的數(shù)學(xué)必修課程.在多年的課堂教學(xué)實(shí)踐中觀察可見，學(xué)生在該課程學(xué)習(xí)中獨(dú)立思考能力較差，在接觸具體內(nèi)容時(shí)，通常是“知其然不知其所以然”，解題時(shí)只會(huì)套公式，缺乏在理解的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用的能力[5-7].鑒于在線開放課程資源豐富、選擇多元、方式靈活、互動(dòng)性強(qiáng)等特點(diǎn),本文通過分析線性代數(shù)中的知識(shí)點(diǎn)、結(jié)合多年課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn)以及基于線性方程組和等價(jià)命題構(gòu)建框架圖等方式，提出《線性代數(shù)》在線開放課程教學(xué)設(shè)計(jì)的新思路、新方案.

1 整合知識(shí)點(diǎn)

概念多、性質(zhì)雜，邏輯性強(qiáng)，知識(shí)點(diǎn)前后縱橫交錯(cuò)，是《線性代數(shù)》的課程特點(diǎn).教學(xué)中要把前后知識(shí)點(diǎn)的典型問題進(jìn)行有效的聯(lián)系、整合、提煉，這對(duì)學(xué)生大有幫助.整合知識(shí)點(diǎn)體現(xiàn)出在線課程教學(xué)注重學(xué)生的學(xué)而設(shè)計(jì)的理念，不僅根據(jù)所開設(shè)的課程和使用的教材來確定，更主要的是根據(jù)所隸屬的更大系統(tǒng)的學(xué)習(xí)需求，根據(jù)學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)能力和水平來設(shè)計(jì).

1.1 行列式的典型問題

主要思路：化零（觀察特點(diǎn)，選擇作行或列變換，化簡(jiǎn)為三角形或者降階）

重要技巧：

①把某一行（列）的倍數(shù)加到其余各行（列）；

②把所有行（列）加到同一行（列）；

③逐行（列）相加（減）.

基本方法：

①按定義或按某一行（列）展開（先化0，再展開，展開后注意各項(xiàng)的符號(hào)?。?/p>

②化為三角形

典型例題：爪形行列式、非對(duì)角線元素全相等的行列式.

掌握了這些基本要點(diǎn)，計(jì)算基本類型的行列式就能有章可循.

1.2 方陣的運(yùn)算性質(zhì)

矩陣常見的運(yùn)算有加法、數(shù)乘、乘法、逆、轉(zhuǎn)置等，彼此之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，通過梳理、提升知識(shí)點(diǎn)，可列表如下（表中涉及的運(yùn)算均有意義）.

1.3 初等變換的應(yīng)用

初等變換是線性代數(shù)中的一個(gè)極為重要的工具，利用它可以解決許多問題.通過初等變換，就可以把線性代數(shù)的主體內(nèi)容“串”起來，它是線性代數(shù)的教學(xué)主線，貫穿整個(gè)教學(xué)始終[5]，需要加以強(qiáng)化.

教學(xué)中要時(shí)刻提醒學(xué)生思考這樣的問題：初等變換可以解決哪些問題？其中哪些可作行變換也可作列變換？哪些只能作行變換？學(xué)生普遍容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是：求特征向量時(shí)，先對(duì)特征多項(xiàng)式做列變換化簡(jiǎn)，再回到對(duì)應(yīng)的矩陣形式去求解齊次線性方程組從而得到基礎(chǔ)解系，錯(cuò)誤地認(rèn)為這就是所求的特征向量，且檢查多遍也找不出錯(cuò)在哪里.一般可要求學(xué)生只用行變換以避免出錯(cuò).

1.4 階梯形（行最簡(jiǎn)形）矩陣的化簡(jiǎn)

階梯形是線性代數(shù)的一個(gè)重要求解目標(biāo)，許多問題都可歸結(jié)為化階梯形矩陣，它的最大好處是便于求秩和求解.涉及到的問題主要有：線性方程組的求解（含基礎(chǔ)解系）與討論、向量組的秩與極大無關(guān)組及其線性表示問題、逆矩陣、矩陣的秩、特征向量的求法.因此，在教學(xué)中一定要引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握階梯形的化法，一般方法是：逐列按行非零首元從上而下化零（行最簡(jiǎn)形需再從下而上化零）；非零首元要盡量簡(jiǎn)單（最好是±1），避開或推遲分?jǐn)?shù)計(jì)算.

1.5 特征值特征向量的注意事項(xiàng)

（2）求特征值，能不能列變換？（可以）；求特征向量，能不能列變換？（不可）.

（3）如何確定特征向量要求幾個(gè)？ （n-r（A-λE））；對(duì)錯(cuò)怎么檢查？（代入驗(yàn)證）.

（4）特征向量一定非零（如果求出特征向量為零，一定是算錯(cuò)了）

1.6 解題套路舉例

線性代數(shù)存在一些解題套路，教學(xué)中可以加以引導(dǎo).例如：

（2）“拼湊”逆矩陣：

題型：已知n階方陣A的某個(gè)多項(xiàng)式f（A）=0，證明與A有關(guān)的矩陣□可逆，并求□-1.

表1 矩陣常見的運(yùn)算Table 1 Common operations of matrices

比如 A2-A-2E=0，求（A+2E）-1=？

解法：可把f（A）=0根據(jù)目標(biāo)矩陣□進(jìn)行“拼湊”因式，得到矩陣▲，滿足□·▲=E（或▲·□=E）；或者利用待定系數(shù)法.

（3）線性無關(guān)的常規(guī)證明：先假設(shè)向量組的線性組合為零，設(shè)法變形為與已知條件有關(guān)的等式，利用已知條件得出相關(guān)結(jié)果，最終推導(dǎo)出線性組合的系數(shù)全部為零.

2 強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)，即學(xué)生普遍容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的知識(shí)點(diǎn)，有的是同一教學(xué)班級(jí)作業(yè)中體現(xiàn)出來的共性問題，甚至是歷屆學(xué)生都經(jīng)常出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤，而學(xué)生自己往往沒有意識(shí)到.因此，在線課程教學(xué)中必須及時(shí)強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn)，充分考慮學(xué)習(xí)者的初始特征，特別是有關(guān)學(xué)習(xí)方面的特征，并據(jù)此安排不同的教學(xué)目標(biāo)，進(jìn)行不同的教學(xué)設(shè)計(jì).杜絕了易錯(cuò)點(diǎn)，也就澄清了知識(shí)點(diǎn)的模糊理解，對(duì)提高課程認(rèn)知水平的意義顯而易見.

2.1 矩陣與行列式的基本區(qū)別

在符號(hào)、階數(shù)、加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算方式及其運(yùn)算規(guī)律存在很大不同，易混淆.

表2 矩陣和行列式的區(qū)別Table 2 Differences between matrices and determinants

2.2 矩陣乘法交換律的不成立

導(dǎo)致矩陣的乘法性質(zhì)與數(shù)的乘法存在許多不同之處，這往往是學(xué)生容易“想當(dāng)然”的出錯(cuò)之處.比如AB=0?/A=0orB=0（矩陣存在零因子），又如矩陣乘法不滿足交換律，所以要想方設(shè)法讓學(xué)生切實(shí)掌握乘法必須區(qū)分左乘、右乘.

2.3 行列式計(jì)算常見的易錯(cuò)點(diǎn)

（1）展開后漏符號(hào)項(xiàng)、漏展開項(xiàng)；

（2）四階（及以上階數(shù)）按對(duì)角線法則展開；

（3）把一個(gè)行數(shù)、列數(shù)不相等的所謂“行列式”計(jì)算得煞有其事；

2.4 線性方程組的通解

特解由原線性方程組求得，基礎(chǔ)解系則由導(dǎo)出組求得，也就是說特解與常數(shù)項(xiàng)有關(guān)、求基礎(chǔ)解系時(shí)與常數(shù)項(xiàng)無關(guān)（必須是零），學(xué)生容易保留常數(shù)項(xiàng)去求基礎(chǔ)解系.線性方程組是否有解，要把矩陣的秩與n作比較，特別要注意n的含義，它指未知數(shù)個(gè)數(shù)，也是系數(shù)矩陣的列數(shù)，但未必是行數(shù)、也未必是方程組的方程個(gè)數(shù).在教學(xué)中應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)注意方程的個(gè)數(shù)與是否有解沒有直接聯(lián)系.

3 構(gòu)建框架圖

在線課程教學(xué)設(shè)計(jì)以先進(jìn)教育教學(xué)理念做指導(dǎo)，除了體現(xiàn)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中知識(shí)的記憶之外，還強(qiáng)調(diào)意義的建構(gòu).這種建構(gòu)的意義在于幫助學(xué)生對(duì)當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容所反映的事物性質(zhì)、規(guī)律以及事物之間的內(nèi)在聯(lián)系達(dá)到較深刻的理解，從而達(dá)到融會(huì)貫通，真正形成自己的知識(shí)體系.

因此，基于知識(shí)架構(gòu)，我們以線性方程組為主線構(gòu)建《線性代數(shù)》課程的知識(shí)框架圖，如圖1.

圖1 《線性代數(shù)》課程的知識(shí)框架圖Figure1 Knowledgeframeworkdiagramforthelinearalgebracourse

而與此框架圖相應(yīng)的一個(gè)等價(jià)命題幾乎貫穿著線性代數(shù)整個(gè)課程內(nèi)容，即：

n元齊次方程組AX=0有非零解?r（Asn）＜n?A的列向量組線性相關(guān)（即A不可逆）?A含有零特征值.

如果考慮這個(gè)結(jié)論及其逆否命題，以典型行列式為背景顯然可以構(gòu)造出一系列類型題.

在國內(nèi)《線性代數(shù)》《高等代數(shù)》經(jīng)典代數(shù)教材中都有如下一道典型的行列式習(xí)題[8,9]：

由于行列式問題常常可以演化為線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、矩陣、特征值、二次型等問題，所以可在教學(xué)中進(jìn)一步作變式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)解題中的轉(zhuǎn)化思想.這種變式題型在線性代數(shù)考研中經(jīng)常出現(xiàn).

變式1聯(lián)系線性方程組解的問題.

例1[10]（數(shù)學(xué)③，2002）設(shè)齊次線性方程組

其中 a≠0，b≠0，n≥2.試討論 a,b為何值時(shí)，方程組僅有零解，有無窮多解？在有無窮多解時(shí)，求出全部解，并用基礎(chǔ)解系表示全部解.

變式2聯(lián)系矩陣問題.比如可逆、秩、向量組的線性相關(guān)性.

例2[10]（數(shù)學(xué)③④，2001）設(shè)矩陣，且秩（A）=3，則 k=_______.

本題可推廣為n階情形.

下例是作者于在線課程建設(shè)中編制的一道具有一定綜合性系列題.

②判定A的列向量組的線性相關(guān)性；

③討論A的秩；

④確定當(dāng)A的伴隨矩陣A*可逆時(shí)，a應(yīng)該滿足的條件；

⑤討論齊次方程組Ax=0的解，并求通解.

變式3聯(lián)系特征值問題.

例4[10]（數(shù)學(xué)③，2004）設(shè) n 階矩陣

①求A的特征值和特征向量；

②求可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角矩陣.

變式4聯(lián)系二次型問題.可借助典型行列式的矩陣形式探討對(duì)應(yīng)二次型的正定性等問題.

例5[10]（數(shù)學(xué)①②③④，2007）設(shè)，則A與B（ ）

①合同且相似；②合同但不相似；③不合同但相似；④既合同又相似.

本題合同是二次型的概念，相似問題可從討論特征值入手.特征多項(xiàng)式是典型行列式，可求A的特征值為0,3,3.特征值不同則不相似，但正負(fù)慣性指數(shù)相同，所以合同.

這里，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的轉(zhuǎn)化思想，即把要解決的未知、陌生的問題轉(zhuǎn)化為已知、熟悉的問題來處理，通過精選習(xí)題、變式探究、總結(jié)升華，培養(yǎng)學(xué)生靈活變通的思維品質(zhì).掌握這種轉(zhuǎn)化思想，乃至能將一類問題之間的聯(lián)系看清、摸透，不管它以何種形式或面目出現(xiàn)，都可以快速找到解題思路，進(jìn)而大大提高解題能力和技巧.

在線開放課程是“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代高等教育質(zhì)量切實(shí)提升、教學(xué)改革深化開展的關(guān)鍵一環(huán)；是打破時(shí)空限制和知識(shí)藩籬，整合全國教學(xué)資源為大眾共享的有效途徑；是實(shí)現(xiàn)全民學(xué)習(xí)、終身學(xué)習(xí)的重要平臺(tái).在線開放課程體系建設(shè)是一項(xiàng)復(fù)雜的、綜合性的系統(tǒng)化工程.相比于傳統(tǒng)教學(xué)模式，在線課程在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)設(shè)計(jì)上要求更嚴(yán)謹(jǐn)，既要充分考慮到課程內(nèi)容的多少，又得兼顧學(xué)生可接受的程度.因此，我們通過總結(jié)多年線下教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生的反饋情況，在每個(gè)不超過15 min的微課中整合知識(shí)點(diǎn)、強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn)以及構(gòu)建框架圖.同時(shí)，我們通過課后作業(yè)配備、例題選講、在線答疑、階段小結(jié)、期考復(fù)習(xí)等方式進(jìn)行補(bǔ)充和完善.由此，體現(xiàn)出在線課程模式比傳統(tǒng)教學(xué)模式在時(shí)間、空間、交流互動(dòng)、考核等多方面的優(yōu)勢(shì).

在不斷向縱深推進(jìn)的過程中，尚有諸多問題亟待解決，諸多工作有待開展，同時(shí)也有廣闊的空間可以探索.在線開放課程的建設(shè)和完善，要求高校教師調(diào)整角色定位，從單純的知識(shí)傳授者轉(zhuǎn)向多元的學(xué)習(xí)引領(lǐng)者.在實(shí)踐層面，教師在給予學(xué)習(xí)者基礎(chǔ)課程資源的同時(shí)，還要針對(duì)不同專業(yè)背景、不同層次需求的學(xué)生設(shè)計(jì)不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，進(jìn)一步整合知識(shí)點(diǎn)，總結(jié)在課堂教學(xué)中出現(xiàn)的典型問題等，多種方式并行，以此作為在線開放課程資源的有益補(bǔ)充.