一節(jié)三角函數(shù)習(xí)題課的教學(xué)設(shè)計及思考

戴素琴

數(shù)學(xué)習(xí)題課在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要的地位.無論學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題的掌握，還是對于數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)技能的運用，都可以通過數(shù)學(xué)習(xí)題的教學(xué)得以實現(xiàn)；在數(shù)學(xué)習(xí)題的教學(xué)中也可以評價學(xué)生數(shù)學(xué)知識的水平及其發(fā)展?fàn)顩r.因此，如何上好數(shù)學(xué)習(xí)題課，越來越受到人們的關(guān)注和重視，成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中值得探討和研究的問題.

教材中的習(xí)題是一個教材編制專家們?yōu)槲覀兲峁┑暮芎玫牧?xí)題課教學(xué)的資源，然而卻沒有很好地被我們所利用起來.下面筆者從一節(jié)三角函數(shù)習(xí)題課的教學(xué)設(shè)計出發(fā)，談?wù)劺媒滩乃峁┝?xí)題的進(jìn)行習(xí)題課教學(xué)的思考.

一、教學(xué)設(shè)計

（一）學(xué)生回家作業(yè)中一道普遍存在錯誤的題目

（上海教育出版社高中數(shù)學(xué)課本練習(xí)冊高中一年級第二冊第52頁第5題）

設(shè)方程sinx+cosx=a在區(qū)間（0，2π）內(nèi)有兩個相異的實數(shù)根x1，x2，求a的取值范圍及x1+x2的值.

優(yōu)秀學(xué)生解法的展示：sinx+cosx=2sin（x+）

令y1=2sin（x+），y2=a，

在坐標(biāo)系中作出函數(shù)y1=2sin（x+）在（0，2π）區(qū)間上的圖象，如圖.

當(dāng)x=時，ymax=2；

當(dāng)x=時，ymin=-2.

函數(shù)y2=a的圖象是與x軸平行的直線.

結(jié)合圖形和函數(shù)y1=2sin（x+）的對稱性可以得到：

當(dāng)a∈（，2）時，x1+x2=2·=；當(dāng)a∈（-2，）時，x1+x2=2·=.

（二）變式設(shè)計

1.變式1：設(shè)函數(shù)f（x）=cos2x+sinxcosx，x∈（0，π）

若方程f（x）=m在區(qū)間（0，π）上有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.

解：f（x）=cos2x+sinxcosx=（1+cos2x）+sin2x

∴f（x）=sin（2x+）+，x∈（0，π）

在坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f（x）的圖象，如圖。

從圖中可以看出：

當(dāng)m∈（0.5，1）∪（1，1.5）∪{0}時，直線y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個不同的交點，即方程f（x）=m在區(qū)間（0，π）上有兩個不同的實數(shù)根.

2.變式2：

定義：區(qū)間[x1，x2]（（x1，x2）、（x1，x2]或[x1，x2））的長度等于x2-x1.

如果構(gòu)成不等式cos2x+sinxcosx+b>0，x∈[0，π]的解集的各個區(qū)間的長度之和超過，求實數(shù)b的取值范圍.

解：原不等式可化為：cos2x+sinxcosx>-b，x∈[0，π]

設(shè)y1=cos2x+sinxcosx，x∈[0，π]，y2=-b

在坐標(biāo)系中可作出y1=cos2x+sinxcosx，x∈[0，π]的圖象（可利用變式1），我們在這里保留了[0，π]以外的一小部分.

結(jié)合圖形可以得到，不等式cos2x+sinxcosx>1，x∈[0，π]的解集為（0，），各個區(qū)間的長度之和為.

當(dāng)-<-b<1時，構(gòu)成cos2x+sinxcosx>-b，x∈[0，π]的解集的各區(qū)間長度之和增大，要找使得不等式cos2x+sinxcosx+b>0，x∈[0，π]的解集的各個區(qū)間的長度之和超過的b的取值范圍，必先找到cos2x+sinxcosx>-b，x∈[0，π]的解集的各區(qū)間長度之和等于的臨界狀態(tài).

同時，我們在觀察圖形的過程中不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)cos2x+sinxcosx>-b，x∈[0，π]的解集的各區(qū)間長度之和增大的同時，cos2x+sinxcosx<-b，x∈[0，π]的解集的各區(qū)間長度之和卻在減少.如果設(shè)組成cos2x+sinxcosx>-b，x∈[0，π]的解集的各區(qū)間長度之和為A，組成cos2x+sinxcosx<-b，x∈[0，π]的解集的各區(qū)間長度之和為B，可以知道：A+B=π.

那么我們的問題就轉(zhuǎn)化為了：找構(gòu)成不等式cos2x+sinxcosx<-b，x∈[0，π]的解集的各區(qū)間長度之和為的b的值.

當(dāng)x=時，函數(shù)y1=cos2x+sinxcosx，x∈[0，π]有最小值.結(jié)合三角函數(shù)圖象的對稱性可以知道，當(dāng)不等式cos2x+sinxcosx<-b，x∈[0，π]的解集為（-，+）時，區(qū)間長度為.此時，x=-和+恰好是方程cos2x+sinxcosx<-b，x∈[0，π]的解，可得-b=0.

綜上可得，當(dāng)b>0時，構(gòu)成不等式cos2x+sinxcosx+b>0，x∈[0，π]的解集的各個區(qū)間的長度之和超過.

二、思考

課本習(xí)題是教材編寫者精挑細(xì)選后才定下的，具有鮮明的導(dǎo)向性、典型性、基礎(chǔ)性等特點，在鞏固、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)能力上具有舉足輕重的地位和作用，課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)教師立足教材，強調(diào)教師不僅是教材的使用者，更應(yīng)是教材的開發(fā)者和再設(shè)計者，要創(chuàng)造性地合理使用好教材.數(shù)學(xué)教育家奧加涅相指出：“必須重視，很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性……”

高考命題的一個基本理念之一就是：以課本為本，試題源于課本而高于課本.只有熟悉課本（習(xí)題），才能快速識別它的原型，從而簡縮思維過程.在習(xí)題課中利用教材所提供的習(xí)題作為基礎(chǔ)，要超越模仿和初步變式的階段，應(yīng)該要進(jìn)行進(jìn)一步的變式，要注意和其他的基礎(chǔ)技能初步結(jié)合，隨著習(xí)題變化的增加、涉及范圍的擴大、難度的提高，要讓學(xué)生對解題經(jīng)驗有所“悟”.要用教材習(xí)題這塊“磚”，引出學(xué)生“數(shù)學(xué)思維”這塊“玉”來.

參考文獻(xiàn)：

[1]俞新龍.一道課標(biāo)習(xí)題的復(fù)習(xí)課設(shè)計及思考[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2010（3）.

[2]陳永明名師工作室.數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究[M].上海教育出版社，2010.

編輯 魯翠紅