基于改進(jìn)的高斯混合回歸的球磨機(jī)料位軟測(cè)量

楊飛+喬鐵柱+龐宇松+閻高偉

摘 要： 針對(duì)球磨機(jī)系統(tǒng)多模態(tài)復(fù)雜過(guò)程中的料位不確定性，球磨機(jī)振動(dòng)信號(hào)存在非線性、噪聲和外界干擾等問(wèn)題，采用一種基于改進(jìn)的高斯混合回歸（GMR）的球磨機(jī)料位軟測(cè)量方法，解決傳統(tǒng)高斯混合模型初始化含有噪聲和異常值的數(shù)據(jù)難以聚類的問(wèn)題。首先，利用改進(jìn)的K?medoids聚類算法與EM算法分別初始化和優(yōu)化高斯混合模型（GMM）的最佳高斯分量個(gè)數(shù)、最優(yōu)模型參數(shù)，然后采用GMR預(yù)測(cè)輸出球磨機(jī)料位。最后實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)GMR模型得到的預(yù)測(cè)料位可以很好地跟蹤真實(shí)料位，并且通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析，驗(yàn)證了改進(jìn)模型的有效性和實(shí)用性以及較好的預(yù)測(cè)精度。

關(guān)鍵詞： 球磨機(jī)料位； 多模態(tài)； 振動(dòng)信號(hào)； GMM； 聚類； 軟測(cè)量； GMR

中圖分類號(hào)： TN98?34； TP181 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2018）05?0153?06

Abstract： Since the fill level of the ball mill system in multimode complicated process is uncertain， and the vibration signal of ball mill has the characteristics of nonlinearity， noise and outside interference， a soft measurement method for ball mill fill level based on improved Gaussian mixture regression （GMR） is proposed to solve the problem that it is difficult to cluster the data embedding noise and abnormal value of the traditional Gaussian mixture model （GMM） initialization. The improved K?medoids clustering algorithm and EM algorithm are used respectively to initialize and optimize the optimal Gaussian component quantity and optimal model parameters. The GMR is used to predict the output level of the ball mill. The experimental results verify that the predicted fill level obtained by improved GMR model can track the real fill level accurately. The comparative analysis of experimental results verifies that the improved model is feasible and practical， and has high prediction accuracy.

Keywords： ball mill fill level； multimode； vibration signal； Gaussian mixture model； clustering； soft measurement； Gaussian mixture regression

0 引 言

球磨機(jī)是磨礦工業(yè)中廣泛使用的基礎(chǔ)設(shè)備，準(zhǔn)確測(cè)量球磨機(jī)料位是實(shí)現(xiàn)優(yōu)化控制和節(jié)能降耗的關(guān)鍵技術(shù)之一。近年來(lái)，科研人員提出了許多測(cè)量球磨機(jī)料位的方法，其一般步驟是：先對(duì)采集的信號(hào)計(jì)算頻譜特征，然后進(jìn)行降維和特征提取，最后建立頻譜特征與料位之間的模型。文獻(xiàn)[1]利用快速傅里葉變換方法求取信號(hào)的功率譜密度（Power Spectrum Density，PSD），然后采用主元分析（Principal Component Analysis，PCA）方法提取特征和減少冗余信息，最后用支持向量回歸（Support Vector Regression，SVR）建立回歸模型。文獻(xiàn)[2]利用PCA方法進(jìn)行振動(dòng)信號(hào)的特征提取，然后采用偏最小二乘回歸方法（Partial Least Square Regression，PLSR）建立球磨機(jī)料位軟測(cè)量模型。文獻(xiàn)[3]采用偏最小二乘法（Partial Least Square，PLS）對(duì)球磨機(jī)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行特征提取和降維，然后采用極限學(xué)習(xí)機(jī)（Extreme Learning Machine，ELM）建立料位軟測(cè)量模型。上述方法均取得了較好的結(jié)果。

文獻(xiàn)[4]通過(guò)分析球磨機(jī)研磨過(guò)程的機(jī)理和筒體振動(dòng)的加速度頻域信號(hào)，將球磨機(jī)運(yùn)行過(guò)程分解成若干個(gè)不同的特征模態(tài)，然后采用KPLS算法建立預(yù)測(cè)子模型，最后利用信息熵值的集成加權(quán)融合方法預(yù)測(cè)輸出。

在此，對(duì)球磨機(jī)在不同料位條件下多工況的復(fù)雜多模態(tài)過(guò)程，由于不同料位采集數(shù)據(jù)的均值和協(xié)方差不斷變化，基本的單高斯分布建立的模型較差，無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)料位。高斯混合模型（GMM）是單高斯概率密度函數(shù)的延伸，具有平滑逼近任意形狀密度分布的特性[5]，因此可以對(duì)復(fù)雜的球磨機(jī)數(shù)據(jù)的多模態(tài)性進(jìn)行很好的描述。針對(duì)球磨機(jī)系統(tǒng)多模態(tài)復(fù)雜過(guò)程中料位的不確定性，球磨機(jī)振動(dòng)信號(hào)存在非線性、噪聲和外界干擾等問(wèn)題，以及GMM在多模態(tài)過(guò)程監(jiān)督和軟測(cè)量方面的成功應(yīng)用[6?7]，采用一種基于改進(jìn)的高斯混合回歸（GMR）在球磨機(jī)多模態(tài)過(guò)程料位軟測(cè)量的方法。首先，利用改進(jìn)的K?medoids算法[8]和EM[9]算法優(yōu)化高斯混合模型的最佳分量個(gè)數(shù)和最優(yōu)模型參數(shù)，然后利用GMR預(yù)測(cè)料位的輸出。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法具有較高的測(cè)量精度。endprint

1 高斯混合模型及EM算法

1.1 高斯混合模型

高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）是描述混合密度分布的模型，用有限多個(gè)單高斯概率密度函數(shù)的加權(quán)形式逼近任意的連續(xù)分布。高斯混合模型的概率密度函數(shù)[10]定義為：

式中：是GMM中單高斯分量的個(gè)數(shù)；是第個(gè)單高斯分量的概率密度函數(shù)；是第個(gè)單高斯分量的權(quán)重，且滿足：是第個(gè)單高斯分量的參數(shù)集，和分別為第個(gè)單高斯的均值向量和協(xié)方差矩陣；表示個(gè)單高斯模型參數(shù)組成的全局參數(shù)集。因此，含有個(gè)高斯分量的高斯混合模型的所有參數(shù)表示為：。

給定個(gè)獨(dú)立同分布的訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本的似然函數(shù)和對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別為：

1.2 改進(jìn)的GMM初始化聚類K?medoids方法

傳統(tǒng)GMM利用K?means聚類算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行初始化，然后通過(guò)期望最大化（Expectation?Maximization，EM）算法估計(jì)參數(shù)，由于EM算法對(duì)初始值要求較高，初值不恰當(dāng)可能導(dǎo)致算法收斂到局部最大值點(diǎn)，在此對(duì)傳統(tǒng)的GMM進(jìn)行改進(jìn)，利用改進(jìn)的K?medoids算法優(yōu)化GMM模型的初始化參數(shù)。

與K?means中心點(diǎn)選取不同，K?medoids中心點(diǎn)選取的規(guī)則是從當(dāng)前cluster中選取的中心點(diǎn)到其他所有cluster點(diǎn)的距離之和最小。K?means聚類算法產(chǎn)生類的大小相差不會(huì)很大，對(duì)于含有噪音或者異常值的數(shù)據(jù)很敏感，而K?medoids不容易受到那些由于誤差之類的原因產(chǎn)生的噪音數(shù)據(jù)的影響。由于球磨機(jī)運(yùn)行過(guò)程中，料位測(cè)量容易受到各種因素的干擾而出現(xiàn)噪音和異常值，K?medoids[11]在處理這樣的數(shù)據(jù)方面魯棒性較強(qiáng)，具有一定的優(yōu)勢(shì)，可以提高GMM模型的性能。

K?medoids初始化GMM參數(shù)過(guò)程如下：

1） 從訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本中隨機(jī)選擇個(gè)點(diǎn)作為初始的聚類中心點(diǎn)

2） 將訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本中其他的數(shù)據(jù)點(diǎn)根據(jù)最近原則劃分到個(gè)聚類中；

3） 根據(jù)下列公式更新每個(gè)聚類的中心點(diǎn)；

4） 返回步驟2），當(dāng)各個(gè)聚類中心點(diǎn)不再變化時(shí)，執(zhí)行步驟5）；

5） 步驟4）得到樣本的個(gè)聚類中心點(diǎn)和其他樣本所屬類的標(biāo)簽屬性，根據(jù)每個(gè)聚類中的樣本個(gè)數(shù)可以計(jì)算出每個(gè)高斯分量的權(quán)重比值即將中心點(diǎn)作為GMM模型的均值，即根據(jù)每個(gè)聚類中的樣本，利用協(xié)方差公式可以計(jì)算出每個(gè)高斯分量的協(xié)方差

通過(guò)以上步驟可得到GMM模型的初始化參數(shù)：

1.3 EM算法

EM算法是一種從“不完全數(shù)據(jù)”中求解模型分布參數(shù)的極大似然估計(jì)方法。EM算法通過(guò)不斷重復(fù)E步驟（E?step）和M步驟（M?step），直到對(duì)數(shù)似然函數(shù)收斂到一定的閾值，最終獲得GMM模型中的未知參數(shù)和權(quán)值

EM算法求解未知參數(shù)和權(quán)值的迭代步驟[12]如下：

2 基于高斯混合回歸的軟測(cè)量

2.1 高斯混合回歸（GMR）

高斯混合回歸（Gaussian Mixture Regression，GMR）[12]主要是基于高斯條件和高斯分布的線性組合特性。假設(shè)數(shù)據(jù)向量是由兩部分組成：輸入和輸出如果服從含有個(gè)分量的高斯混合模型分布，同時(shí)，每個(gè)高斯分量的均值向量和協(xié)方差矩陣可以劃分為以下輸入和輸出部分：

對(duì)于第個(gè)高斯分量，給定輸入時(shí)，相應(yīng)的輸出也服從高斯分布，關(guān)于的條件概率定義為：

其中，均值和協(xié)方差的計(jì)算公式為：

由于輸入是由混合模型生成的，輸出的分布式由部分組成的，就整個(gè)混合模型而言，關(guān)于輸入的輸出的期望條件分布也是一個(gè)高斯混合模型：

式中：是關(guān)于輸入的第個(gè)高斯分量的后驗(yàn)概率，由貝葉斯公式可得：

最后，給定一個(gè)輸入輸出的條件期望可以由高斯分布估計(jì)出，基于高斯分布的線性轉(zhuǎn)換特性，輸出的均值向量和協(xié)方差矩陣的計(jì)算公式為：

2.2 擬合混合模型

在預(yù)處理混合模型時(shí)，無(wú)論是GMM模型還是GMR模型，都需要給定高斯分量個(gè)數(shù)，此外，EM算法的參數(shù)估計(jì)過(guò)程也需要預(yù)先定義混合分量的個(gè)數(shù)在本文中，采用最小梯度準(zhǔn)則（Minimum Gradient Citerion，MGC）選擇最優(yōu)的高斯分量個(gè)數(shù)，MGC定義如下：

式中：分別代表的最小值和最大值；代表含有個(gè)高斯分量的GMM的概率密度的對(duì)數(shù)似然函數(shù)；grad是對(duì)所有的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值求梯度值；是最佳高斯分量個(gè)數(shù)。在高斯混合模型中，模型性能一般都隨著值的增加而提高，但是過(guò)大的值會(huì)增加模型復(fù)雜度，并且模型的泛化能力會(huì)變差，當(dāng)模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)不再增大或者增大較緩慢時(shí)，取此時(shí)的模型為最優(yōu)模型，所以在此采用最小梯度準(zhǔn)則來(lái)選擇恰當(dāng)?shù)闹怠?/p>

在上述過(guò)程中，當(dāng)變化時(shí)需要反復(fù)執(zhí)行EM算法來(lái)估計(jì)參數(shù)，EM算法的初始化參數(shù)由K?medoids聚類算法得到。擬合混合模型的算法步驟如下：

預(yù)處理：預(yù)處理訓(xùn)練集，給定和選取準(zhǔn)則函數(shù)MGC

初始化：令

使用改進(jìn)K?medoids初始化個(gè)分量的高斯混合模型的參數(shù)，記為

主循環(huán)：當(dāng)重復(fù)：

采用EM算法估計(jì)模型的新參數(shù)并且計(jì)算相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)；

刪除掉最不可能的高斯分量，并且與它最接近的一個(gè)高斯分量合并為一個(gè)新的高斯分量。這樣得到分量個(gè)數(shù)為的高斯混合模型，并且具有參數(shù)；

令

最佳高斯分量：通過(guò)最小梯度準(zhǔn)則函數(shù)選取

最終混合模型的參數(shù)估計(jì)為

上述步驟中關(guān)鍵的一步是刪除掉最不可能的高斯分量，并且與它最接近的一個(gè)高斯分量合并為一個(gè)新的高斯分量。首先，最不可能的高斯分量可以通過(guò)尋找權(quán)重最小得到，即：

然后，與第個(gè)高斯分量最接近的高斯分量可以得到，對(duì)稱Kullvack?Leibler（KL）[13]散度是度量概率相似性的常見準(zhǔn)則。對(duì)于高斯密度，利用對(duì)稱KL散度準(zhǔn)則可以求出GMM中其他的高斯分量與第個(gè)高斯分量之間的相似度，如下：endprint

與第個(gè)分量最相似的另一個(gè)高斯分量是

這樣，第個(gè)和第個(gè)高斯分量將會(huì)合并為一個(gè)新的分量，根據(jù)文獻(xiàn)[14]，新高斯分量的權(quán)重均值和協(xié)方差通過(guò)下式計(jì)算：

2.3 基于GMR的軟測(cè)量

假定過(guò)程輸入變量是輸出變量是將輸入變量和輸出變量合并為一個(gè)新的向量那么和的聯(lián)合概率密度就是的概率密度，用GMM分布表達(dá)為：

如果新的輸入變量是相應(yīng)的輸出變量是為了預(yù)測(cè)輸出，需要構(gòu)建基于GMR的軟測(cè)量模型。首先，均值和協(xié)方差可以劃分為輸入、輸出部分，如式（7）。然后，對(duì)第個(gè)高斯分量，關(guān)于的后驗(yàn)概率和條件概率估計(jì)為：

式中：和是第個(gè)條件高斯分布的均值和協(xié)方差參數(shù)，可以通過(guò)式（9）計(jì)算。

最后，預(yù)測(cè)輸出結(jié)果是各個(gè)高斯分量的加權(quán)和：

基于GMR的軟測(cè)量過(guò)程主要分為兩個(gè)階段：離線建模階段和在線測(cè)量階段，其流程圖如圖1所示。

3 基于改進(jìn)的GMR球磨機(jī)料位軟測(cè)量

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

為驗(yàn)證本文所采用方法的有效性，針對(duì)實(shí)驗(yàn)室小型球磨機(jī)進(jìn)行料位軟測(cè)量實(shí)驗(yàn)研究。料位樣本分別為1 L，2 L，…，20 L，實(shí)驗(yàn)球磨機(jī)筒體振動(dòng)信號(hào)由現(xiàn)場(chǎng)同步采集，對(duì)每個(gè)樣本下的料位進(jìn)行振動(dòng)信號(hào)采集，最終獲得20組振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)。然后，采用Welch方法[15]計(jì)算振動(dòng)信號(hào)的功率譜密度（Power Spectrum Density，PSD），圖2為振動(dòng)信號(hào)的功率譜圖。將每組信號(hào)的PSD平均分成22個(gè)樣本，則樣本總數(shù)為440，并把每組的22個(gè)樣本隨機(jī)分成15個(gè)訓(xùn)練樣本和7個(gè)測(cè)試樣本，因此最終得到訓(xùn)練集有300個(gè)樣本，測(cè)試集有140個(gè)樣本。

由圖2可以看出，球磨機(jī)研磨過(guò)程振動(dòng)信號(hào)的能量主要集中在600～6 000 Hz頻率范圍內(nèi)，即振動(dòng)信號(hào)的有效頻譜。綜合考慮頻譜的波動(dòng)范圍及計(jì)算效率，以100 Hz為單位頻段對(duì)有效頻譜進(jìn)行分割并求均值。因此，最終得到的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)維數(shù)大小為300×54，測(cè)試集數(shù)據(jù)維數(shù)大小為140×54。

3.2 測(cè)量結(jié)果

為了評(píng)價(jià)所提供方法的建模能力，采用均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）和平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error，MAE）作為測(cè)量精度的評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中將RMSE作為主要的評(píng)價(jià)指標(biāo)。其計(jì)算公式為：

式中：和分別表示第個(gè)樣本的實(shí)際值和估計(jì)值；為測(cè)試樣本個(gè)數(shù)。

根據(jù)擬合高斯混合模型，采用訓(xùn)練集數(shù)據(jù)進(jìn)行離線建模，設(shè)置初始化參數(shù)最后通過(guò)擬合混合模型方法優(yōu)化得到的最佳高斯分量個(gè)數(shù)是然后采用GMR方法對(duì)球磨機(jī)料位進(jìn)行在線軟測(cè)量，測(cè)試集數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果如圖3所示，圖中實(shí)線代表球磨機(jī)料位的真實(shí)值，星號(hào)代表料位的預(yù)測(cè)值，從圖中可以看出球磨機(jī)料位預(yù)測(cè)值可以很好地跟蹤期望的真實(shí)值。本實(shí)驗(yàn)軟測(cè)量結(jié)果的測(cè)量精度均方根誤差RMSE為0.358 8，平均絕對(duì)誤差MAE為0.261 2。

3.3 結(jié)果分析與對(duì)比

為驗(yàn)證所采用改進(jìn)的GMR模型的軟測(cè)量建模能力和有效性，將其與傳統(tǒng)GMR方法、主元回歸（PCR）、偏最小二乘回歸（PLSR）和支持向量回歸（SVR）方法進(jìn)行比較。采用RMSE作為主要評(píng)價(jià)指標(biāo)。表1給出了上述五種方法的料位預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比結(jié)果。圖4為所提方法與對(duì)照方法測(cè)試的結(jié)果比較。

根據(jù)表1中的評(píng)價(jià)指標(biāo)RMSE和圖4可以看出，改進(jìn)GMR模型得到的測(cè)試集預(yù)測(cè)結(jié)果最好，且要明顯好于其他四種方法，改進(jìn)GMR模型得到的預(yù)測(cè)料位可以很好地跟蹤真實(shí)料位，達(dá)到較好的預(yù)測(cè)精度。分析其原因，主要是改進(jìn)GMR在處理含有噪聲和外界干擾的球磨機(jī)數(shù)據(jù)時(shí)，K?medoids初始化GMM得到較優(yōu)的參數(shù)，由于球磨機(jī)系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)存在料位的不確定性，改進(jìn)GMR可以建立表征不同工況的球磨機(jī)狀態(tài)模型，并且可以對(duì)球磨機(jī)數(shù)據(jù)的多模態(tài)性進(jìn)行很好的描述。除此之外，當(dāng)球磨機(jī)運(yùn)行過(guò)程中工況改變或者受到其他干擾時(shí)，球磨機(jī)料位測(cè)量會(huì)出現(xiàn)異常值，改進(jìn)GMR模型受到的影響較小，并可以很好地跟蹤其真實(shí)料位，實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明改進(jìn)GMR預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性要優(yōu)于傳統(tǒng)GMR，PCR，PLSR和SVR方法。

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)球磨機(jī)系統(tǒng)復(fù)雜過(guò)程中的料位不確定性，球磨機(jī)振動(dòng)信號(hào)存在非線性特性等問(wèn)題，本文采用一種基于改進(jìn)的高斯混合回歸的球磨機(jī)料位軟測(cè)量方法。首先，利用改進(jìn)的K?medoids算法和EM算法優(yōu)化GMM的最佳高斯分量個(gè)數(shù)和最優(yōu)模型參數(shù)，然后采用GMR預(yù)測(cè)輸出球磨機(jī)料位。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)GMR模型在處理球磨機(jī)系統(tǒng)多模態(tài)復(fù)雜過(guò)程中具有較好的優(yōu)勢(shì)，顯示了GMR在多模態(tài)過(guò)程中軟測(cè)量的有效性和可行性。下一步將研究球磨機(jī)在實(shí)際的磨礦過(guò)程中的模態(tài)分析方法，對(duì)球磨機(jī)特有的多模態(tài)過(guò)程具體劃分模態(tài)工況，從而針對(duì)不同模態(tài)具體分析球磨機(jī)料位，進(jìn)一步提高球磨機(jī)料位的預(yù)測(cè)精度。

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