聚焦核心素養(yǎng) 實(shí)施問題導(dǎo)學(xué)

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第二高級(jí)中學(xué) 申會(huì)文

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組史寧中用“三會(huì)”來概括數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的精髓，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.隨后修訂組對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成進(jìn)行了詳細(xì)劃分，認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的、與數(shù)學(xué)有關(guān)的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).

問題是數(shù)學(xué)的“心臟”，問題導(dǎo)學(xué)是指以問題為核心，以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，學(xué)生自主探究與合作探究相結(jié)合，充分調(diào)動(dòng)各方面的積極因素參與課堂教學(xué)，完成教學(xué)任務(wù)的教學(xué)方式.如何通過有效的問題導(dǎo)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，具有十分重要的意義.聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)，聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)就是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際，利用問題串的形式組織教學(xué)，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為終身學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).下面以直線與圓的位置關(guān)系課堂教學(xué)實(shí)錄為例，闡明如何聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)施問題導(dǎo)學(xué).

一、課堂實(shí)錄

1.溫故知新——建構(gòu)數(shù)學(xué)

師：解析幾何的特征是用數(shù)來研究形.前面我們學(xué)習(xí)了直線和圓，直線可以用二元一次方程表示l：Ax+By+C=0（A，B不全為0），圓可以用二元二次方程表示：（x-a）2+（y-b）2=r2.

我們還研究了直線與直線的位置關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，是如何研究的？

生：將兩直線的方程聯(lián)立得方程組據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)來判斷直線與直線的位置關(guān)系.

師：除了研究直線與直線的位置，還可以研究哪些關(guān)系呢？

生齊答：直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)計(jì)意圖：在創(chuàng)設(shè)問題情境時(shí)，可以從生活中的具體實(shí)例引入，也可以從數(shù)學(xué)問題本身出發(fā).此處由已經(jīng)學(xué)習(xí)過的直線的方程，圓的方程引入，復(fù)習(xí)回顧研究直線與直線之間位置關(guān)系的方法，引出課題，回顧舊知的同時(shí)，設(shè)置疑問，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究的欲望.

師：今天我們就來研究直線與圓的位置關(guān)系（引出課題）.初中學(xué)過直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？

生：有三種位置關(guān)系：相離，相切，相交.

師：類比用直線的方程研究對(duì)應(yīng)直線的位置關(guān)系的方法，如何用方程來判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？

生：將直線的方程與圓的方程聯(lián)立得方程組根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)判斷直線與圓的位置關(guān)系.

師：這是從代數(shù)的角度研究直線與圓的位置關(guān)系，如何從幾何圖形的角度來研究呢

生：求出圓心到直線的距離d，根據(jù)d與半徑r的關(guān)系來判斷.d＞r時(shí)，直線與圓相離；d=r時(shí)，直線與圓相切；d＜r時(shí)直線與圓相交.

設(shè)計(jì)意圖：直線與圓的位置關(guān)系學(xué)生在初中已學(xué)過，先讓學(xué)生畫圖，一是讓學(xué)生回顧舊知，為新課所用；二是先讓學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系有一個(gè)直觀感受，為后面的理性探究埋下伏筆.

2.例題示范——應(yīng)用數(shù)學(xué)

師：說的很好，現(xiàn)在我們可以從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度來研究直線與圓的位置關(guān)系，接下來就來看看這個(gè)知識(shí)我們掌握的怎么樣.

（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；

（2）直線與圓是否有公共點(diǎn)？若有，求出公共點(diǎn)坐標(biāo).

師：請(qǐng)同學(xué)們說說看，本題你是如何處理的？

生1：第一問我是用幾何法判斷的，圓心C到直線l的所以直線與圓相交.第二問我聯(lián)立方程所以直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，坐標(biāo)是A（0，2）和B

生2：直接用代數(shù)的方法判斷的，聯(lián)立方程組，不僅能判斷直線與圓的位置關(guān)系，還能求出公共點(diǎn)的坐標(biāo).師：說的很好.既然直線l與圓相交，你能求出弦長(zhǎng)嗎？生2：可以，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得AB=

生1：（幾何性質(zhì)）由垂徑定理可得

師：直線與圓相交時(shí)，弦長(zhǎng)問題也有兩種處理方式，一是代數(shù)方法：將直線與圓的方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)；二是幾何性質(zhì)：根據(jù)垂徑定理構(gòu)造直角三角形，由勾股定理得弦長(zhǎng)

設(shè)計(jì)意圖：例1通過研究直線和圓的位置關(guān)系，得出相交的結(jié)論后進(jìn)一步探究弦長(zhǎng)問題，學(xué)生能夠根據(jù)掌握的知識(shí)順利解決這個(gè)具體的問題.在小結(jié)時(shí)，教師只是總結(jié)了代數(shù)方法和幾何性質(zhì)的解題步驟，并沒有對(duì)兩種方法進(jìn)行對(duì)比，目的是想將這一過程留給學(xué)生在后續(xù)的解題過程中自己體會(huì)，領(lǐng)悟.

例2 自點(diǎn)A（-1，4）作圓C：（x-2）2+（y-3）2=1的切線l，求切線l的方程.

師：如何求切線的方程呢？

生3：設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程是y-4=k（x+1），即kx-y+k+4=0.因?yàn)橹本€與圓相切，所以解得k1=.從而得l的方程是y=4或3x+4y-13=0.

生4：這樣做不嚴(yán)謹(jǐn)，設(shè)斜率的時(shí)候首先要考慮斜率不存在的情況.斜率不存在時(shí)，l：x=-1.此時(shí)d=3≠r，舍去.

師：生3從幾何的角度處理直線與圓相切問題，生4補(bǔ)充的很好，考慮問題要嚴(yán)謹(jǐn).有沒有同學(xué)從代數(shù)的角度研究的呢？

生：代數(shù)法運(yùn)算太繁了！

師：我們不妨試試.將方程聯(lián)立得消元化簡(jiǎn)得（1+k2）x2+2（k2+k-2）+k2+2k+4=0.由直線與圓相切得，該方程有且只有一個(gè)根，有Δ=4（k2+k-2）2-4（k2+1）（k2+2k+4）=-8k2-6k=0，解得k1=0由此可見，本題代數(shù)方法也可以解決，只是運(yùn)算略繁.

師：將點(diǎn)A（-1，4）改為（1，1）時(shí)，結(jié)果如何呢？

生5：此時(shí)斜率不存在的情況，正好符合題意.

師：改成（2，2）呢？

生6：此時(shí)點(diǎn)A在圓上，切線就是y=2.

設(shè)計(jì)意圖：在處理直線與圓相切問題時(shí)依然是兩條腿走路，但是大部分學(xué)生選擇了幾何方法，覺得代數(shù)方法運(yùn)算太負(fù)責(zé)，教師并沒有一帶而過，而是選擇親自帶著學(xué)生一起算.一是注重對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)——運(yùn)算能力的培養(yǎng)和發(fā)展；二是將這節(jié)課不僅定位在直線與圓，而是放眼于整個(gè)解析幾何，因?yàn)樵谥本€與圓錐曲線的位置關(guān)系處理中，這是一種常規(guī)且有效的方法.后面通過改變點(diǎn)的位置，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)求直線方程的易錯(cuò)點(diǎn)，要根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系先判斷直線有幾條，在具體的運(yùn)算中要考慮斜率不存在是否符合題意，增強(qiáng)對(duì)解題的規(guī)范性與嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練.

3.回顧小結(jié)——提煉數(shù)學(xué)思想

師：由此我們發(fā)現(xiàn)在處理過一點(diǎn)作直線與圓相切的問題，需要注意些什么呢？

生7：首先我們要判斷這個(gè)點(diǎn)的位置，如果點(diǎn)在圓上，切線只有一條；如果點(diǎn)在圓外，有兩條切線.設(shè)直線的斜率時(shí)首先要考慮斜率不存在的情況是否滿足題意.

師：這位同學(xué)總結(jié)的非常好.本節(jié)課我們研究了三個(gè)問題：（1）直線與圓位置關(guān)系的判斷方法：一代數(shù)角度，討論方程組解的個(gè)數(shù)；二幾何角度，討論d與r的關(guān)系.（2）直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)問題，代數(shù)角度聯(lián)立方程求出交點(diǎn)坐標(biāo).幾何角度，根據(jù)垂徑定理構(gòu)造直角三角形解決問題.（3）直線與圓相切問題，切線方程也可以從兩個(gè)角度處理.總的來說就是兩個(gè)方法（代數(shù)幾何），兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)（弦長(zhǎng)切線長(zhǎng)），兩個(gè)注意點(diǎn)（斜率存在不存在）.

二、一點(diǎn)思考

這節(jié)課從直線的位置關(guān)系到直線與圓的位置關(guān)系的類比引入，符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，是過程性教學(xué)中一種典型的教學(xué)方式，給人一種潤(rùn)物細(xì)無聲的感覺.例題的設(shè)計(jì)很用心，例1先判斷直線與圓的位置關(guān)系，如果相交再求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，讓學(xué)生體會(huì)代數(shù)方法和幾何方法的區(qū)別.例2求切線方程時(shí)，改變點(diǎn)的坐標(biāo)，在學(xué)生容易忽略的斜率不存在的情況下變式，訓(xùn)練學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性.變式2將點(diǎn)變到了圓上，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，滲透數(shù)學(xué)的學(xué)科核心素養(yǎng).在學(xué)生普遍感覺用代數(shù)法處理切線問題計(jì)算比較繁瑣的情況下，教師沒有知難而退，而是選擇迎難而上，帶領(lǐng)學(xué)生用代數(shù)法解決了切線問題，重視計(jì)算能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)強(qiáng)的意志品質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).同時(shí)著眼點(diǎn)并不是僅僅放在本節(jié)課堂上，而是放眼整個(gè)解析幾何，代數(shù)法是一類行之有效的方法.在數(shù)學(xué)運(yùn)用的過程中，利用變式不僅可以節(jié)省很多的時(shí)間，更是思維上的一種轉(zhuǎn)變與跳躍，通過慢慢給臺(tái)階，讓學(xué)生在不知不覺中提升高度.每個(gè)例題后回顧方法，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)用于實(shí)踐，實(shí)踐提升方法的過程.過程性教學(xué)在實(shí)施上，教師應(yīng)該對(duì)本節(jié)課的重難點(diǎn)問題進(jìn)行分解，達(dá)到逐步提高的過程，同時(shí)教師應(yīng)將眼光放的更長(zhǎng)遠(yuǎn)，教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的習(xí)慣和能力.F