巧用容斥原理解一道概率問題

廣東省佛山市順德區(qū)教研室(528300) 王常斌

廣東省佛山市羅定邦中學(528300) 龍宇

一、題目

已知在一次游戲中,A,B,C三個裝備掉落的概率分別為0.1,0.05,0.2,打通一次關(guān)卡最多獲得一個裝備,A,B,C合起來為一個套裝,設(shè)各次通關(guān)相互沒有影響,問湊齊這個套裝平均要打通關(guān)卡多少次?

二、分析與解答

分析 為了獲得整套裝備,至少要打通3次關(guān)卡,但也可能需要無限次.設(shè)恰好在第n(顯然,n≥3且n∈N)次打通關(guān)卡獲得裝備的概率為Pn.根據(jù)期望的計算公式:即可求得獲得套裝次數(shù)的平均值.本題的難點為如何求解Pn.為了保證在第n次獲得裝備,在前n-1次中必須獲得兩件裝備.

解 設(shè)a,b,c分別表示三個裝備掉落的概率,即a=0.1,b=0.05,c=0.2,d表示打通關(guān)卡沒有掉落裝備的概率,則d=1-a-b-c=0.65.在n次游戲中,所有可能結(jié)果的概率是

設(shè)最后一次游戲的獲得裝備A,則說明在前n-1次游戲中獲得裝備B,C.在n-1次游戲中,所有可能結(jié)果的概率是

在前n-1次游戲中,沒有獲得游戲裝備A的概率為

即相當于(1)式中令a=0得到.但上式還包含了只有一個裝備(B或C)和沒有裝備的情況,所以在此基礎(chǔ)上,繼續(xù)修正可得:

說明 上式dn-1表示在n-1次游戲中沒有裝備掉落的概率,在兩次減的過程中,沒有掉落裝備的情況被減了兩次,所以再加一次(根據(jù)容斥原理).

設(shè)在第n次游戲中獲得裝備A,且獲得整套裝備的概率為PnA:PnA=a·[(b+c+d)n-1-(b+d)n-1-(c+d)n-1+dn-1].

同理可得:設(shè)在第n次游戲中獲得裝備B或C,且獲得整套裝備的概率為PnB,PnC:PnB=b·[(a+c+d)n-1-(a+d)n-1-(c+d)n-1+dn-1],PnC=c·[(a+b+d)n-1-(a+d)n-1-(b+d)n-1+dn-1].則可得:Pn=PnA+PnB+PnC.設(shè)恰好在第n(顯然,n≥3且n∈N)次打通關(guān)卡獲得裝備的分布列如下:

上式中的每一項即為一個等差數(shù)列{n}與等比數(shù)列{qn-1}(其中q=b+c+d或b+d或c+d或d)乘積的求和問題,利用錯位相減法即可求得3q2+4q3+···+N·qN-1.上式乘以公比q得:

兩式相減得:(1-q)SN=3q2+(q3+q4+···+qN-1)-N·qN.

化簡得:

又有

回到原問題即可知,為了獲得整套裝備平均要打通關(guān)卡23.86次.

通過上面的解答過程可知,本題最大的難點在于求得在第n次打通關(guān)卡獲得裝備的概率Pn.接下來本文將該問題拓展至一般情況.

三、一般情況

設(shè)在一類游戲中,一共有A1,A2,···,Ai件裝備,在一次游戲過程中,它們掉落的概率分別為a1,a2,···,ai,打通一次關(guān)卡最多獲取一件裝備,i件裝備合起來為一個套裝,設(shè)各次通關(guān)相互沒有影響,問湊齊這個套裝平均要打通關(guān)卡多少次?

本文只介紹一下第n次打通關(guān)卡獲得裝備的概率Pn,后面的計算留給讀者完成.

在n次游戲中,所有可能結(jié)果的概率是

其中d表示沒有獲得裝備的概率.設(shè)最后一次游戲的獲得裝備A1,則說明在前n-1次游戲中獲得裝備A2,A3,···,Ai.在n-1次游戲中,所有可能結(jié)果的概率是

則前n-1次游戲沒有裝備A1的概率為

但上式還包含了只有1個裝備,2個裝備···i-2個裝備的情況,所以在此基礎(chǔ)上,繼續(xù)修正可得:

其中pk表示在i-1個裝備中去掉k個裝備后的概率.去掉k個裝備共有Cki-1種情況,每一種情況令對應(yīng)的裝備概率為0即求得對應(yīng)的概率,pk即為這Cki-1種情況概率之和.例如:

在第n次游戲中獲得裝備A1,且獲得整套裝備的概率為PnA1:

求解在前n-1次中恰好獲得i-1個商品的概率的方法主要的依據(jù)便是容斥原理.容斥原理的基本思想是:先不考慮重疊的情況,把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來,然后再把計數(shù)時重復計算的數(shù)目排斥出去,使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復的計數(shù)的方法.

容斥原理的定義 如果被計數(shù)的事物有A,B,C三類,那么,A類和B類和C類元素個數(shù)總和等于A類元素個數(shù)加B類元素個數(shù)加C類元素個數(shù),減去既是A類又是B類的元素個數(shù),再減既是A類又是C類的元素個數(shù),再減既是B類又是C類的元素個數(shù),再加上既是A類又是B類而且是C類的元素個數(shù).

即有:

一般地有:

為了便于讀者理解,改編原問題,供讀者參考.

四、練習

已知在一次游戲中,A,B,C三個裝備掉落的概率分別為0.1,0.1,0.1,打通一次關(guān)卡最多獲得一個裝備,A,B,C合起來為一個套裝,設(shè)各次通關(guān)相互沒有影響,湊齊這個套裝平均要打通關(guān)卡多少次?

答案 18.33.