一道廣東高考數(shù)列試題的解法探源及高觀點(diǎn)背景剖析

新疆烏魯木齊新疆師范大學(xué) 李艷嫣 楊軍

2015年廣東省高考理科數(shù)學(xué)第21題第(3)問(wèn)是一道有一定難度的數(shù)列不等式證明問(wèn)題.試題參考答案提供的證明方法是“從天而降”般地構(gòu)造了一個(gè)輔助函數(shù)f(x)=lnx+-1,利用該輔助函數(shù)最終得以證明.

試題 (2015年廣東卷)數(shù)列{an}滿足

(1)求a3的值;

(2)求{an}的前n項(xiàng)和Tn;

1.試題第(3)問(wèn)中的數(shù)列不等式證明思路探源

其實(shí),由題意出發(fā),要證Sn＜ 2+2lnn,只需證即證

觀察(1)式,發(fā)現(xiàn)其左邊有n-1項(xiàng),右邊只有一項(xiàng),故考慮將不等式(1)的右邊分裂成n-1項(xiàng).注意到

2.試題第(3)問(wèn)“數(shù)列不等式”背后的高觀點(diǎn)背景剖析

2.1 定積分定義的背景

在區(qū)間[1,n]所對(duì)應(yīng)的n-1個(gè)矩形面積之和(如圖1).又根據(jù)定積分的幾何意義可知,定積分表示曲線與直線x=1,x=n以及x軸圍成的曲邊梯形的面積(如圖1).

圖1

2.2 調(diào)和級(jí)數(shù)背景

但另一方面,

故{Gn}有下界.而

因此{(lán)Gn}單調(diào)遞減.綜上{Gn}單調(diào)遞減有下界.

根據(jù)單調(diào)有界則有極限準(zhǔn)則,即可知{Gn}極限存在.即

存在.

該極限值稱之為歐拉常數(shù),記作γ,其約等于0.57721.

這樣,我們可以將此不等式

加強(qiáng)為下面的形式

結(jié)束語(yǔ)

本文還原了試題所給的參考答案中輔助函數(shù)f(x)=lnx+-1(x＞1)的由來(lái)過(guò)程,并揭示了該數(shù)列不等式背后蘊(yùn)含的定積分的意義以及調(diào)和級(jí)數(shù)的背景,從而為挖掘高等數(shù)學(xué)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的指導(dǎo)作用提供些許啟發(fā)與思考.

(本文通訊作者:楊軍)