對一道高考題的反思與探究

湖北省廣水市第一高級中學(432700) 聶文喜

在近年高考及全國各地模擬考試中,頻繁出現(xiàn)以共焦點的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之積與兩離心率倒數(shù)之和的最值與范圍問題,學生面對此類問題往往束手無策,本文通過一道高考題探究與此類問題有關的三個優(yōu)美結論,通過具體例子并說明結論的應用.

題目 (2016年高考浙江理科第7題)已知橢圓C1:n＞0)的焦點重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則( )

A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1

C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1

解 設P為橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的公共點,F1,F2為它們的公共焦點,則|PF1|+|PF2|=2m,|PF1|-|PF2|=2n,所以|PF1|=m+n,|PF2|=m-n,所以m＞n,

反思1 本題中橢圓短半軸與雙曲線的虛半軸相等,橢圓離心率與雙曲線離心率之間等量關系式為如果對任意兩個共焦點的橢圓與雙曲線,那么橢圓與雙曲線的離心率有何等量關系式.

反思2 本題中橢圓短半軸與雙曲線的虛半軸相等,橢圓與雙曲線的離心率之積的取值范圍為(1,+∞),如果對任意兩個共焦點的橢圓與雙曲線,那么橢圓與雙曲線的離心率之積的取值范圍是否為(1,+∞).

反思3若將橢圓和雙曲線的離心率之積改為橢圓和雙曲線的離心率倒數(shù)之和,是否有相應的結論呢?

例1(2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽(四川初賽))已知F1,F2為橢圓和雙曲線的公共焦點,P為它們的一個公共點,且∠則該橢圓和雙曲線的離心率之積的最小值是( )

例2(2014年全國高中數(shù)學聯(lián)賽湖北賽區(qū)預賽第10題)記共焦點的橢圓與雙曲線的離心率分別為e1、e2,若橢圓短軸長是雙曲線虛軸長的2倍,

例3(2014年高考湖北理科第9題)已知F1、F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且∠FPF=,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大

12值為( )

通過對高考題的反思與探究,不僅對解題過程有較為全面的認識,還可以使試題的內(nèi)涵與處延得到深入挖掘與拓展,從而達到做一題、通一類、會一片,真正實現(xiàn)在反思中探究,在探究中提升學生的思維與創(chuàng)新能力.