初中數(shù)學(xué)例題“二次開發(fā)”的深化研究

摘 要：本文圍繞初中數(shù)學(xué)例題的“二次開發(fā)”進行深化研究，主要從以下幾個方面進行分析：研究例題的“二次開發(fā)”、在例題的“二次開發(fā)”中培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力、在例題的“二次開發(fā)”中滲透數(shù)學(xué)的思想、在例題的“二次開發(fā)”中傳授數(shù)學(xué)解題方法、提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：例題；二次開發(fā)；深化研究；解題方法；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)有相當一部分是有關(guān)例題的教學(xué)，重視各種例題的教學(xué)，有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，形成技能，也有助于學(xué)生提高各種能力，形成素養(yǎng)。教材中的絕大部分例題是編者經(jīng)過精挑細選安排的，它們緊扣教學(xué)目標，能有效地促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而部分例題我們在教學(xué)時若還是照本宣科，那么效果就會大打折扣，因此需對教材中的那些例題作出合理“開發(fā)”。例題的“二次開發(fā)”，主要是指依據(jù)課程標準對教材中的例題進行適度增刪，調(diào)整和加工，從而使它更好地適應(yīng)具體的教育教學(xué)情景和學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。而例題‘二次開發(fā)的深化研究則是在例題“二次開發(fā)”的基礎(chǔ)上，圍繞數(shù)學(xué)教學(xué)改革的導(dǎo)向（包括知識導(dǎo)向、能力導(dǎo)向和素養(yǎng)導(dǎo)向）展開的，從“研究例題的‘二次開發(fā)”、“提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)”等幾個方面進行分析。下面就談?wù)劷鼛啄陙砦覀冊凇袄}‘二次開發(fā)的深化研究”中的一些做法和體會，希望得到讀者的指點。

一、 研究“例題的‘二次開發(fā)策略”

備課時，對于要用的例題，我們應(yīng)該認真分析題目，在深刻理解題意的基礎(chǔ)上，深層次地挖掘題目，對它進行二次開發(fā)。經(jīng)過多年研究，我們總結(jié)出了以下主要的幾種對例題進行二次開發(fā)的方法：①“開發(fā)”例題中的數(shù)字；②“開發(fā)”例題的背景；③“開發(fā)”例題的題設(shè)和結(jié)論；④拓展例題的知識范圍；⑤“開發(fā)”例題的解題思路；⑥“開發(fā)”例題的教學(xué)方法與教學(xué)策略；⑦“開發(fā)”例題的圖形；⑧創(chuàng)造全新的例題等。教師將例題進行“二次開發(fā)”，其實就是將例題進行整合優(yōu)化，最后消化吸收，這樣，教師在進行例題教學(xué)時就會覺得得心應(yīng)手，因此自信心也會倍增。而學(xué)生在例題的學(xué)習(xí)中也能有效地將例題內(nèi)化為知識、能力與素養(yǎng)。

二、 在例題的“二次開發(fā)”中培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力

數(shù)學(xué)例題、習(xí)題的數(shù)量數(shù)不勝數(shù)，我們不可能都做過，即使做過也不可能都記得住，要想真正會解題，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力是關(guān)鍵。因此教師應(yīng)該給學(xué)生充裕的時間研讀例題、思考問題、尋找解題思路。我們可將例題進行分類，如計算型題目、作圖類題目、證明型題目等，接著我們要像醫(yī)生治病一樣，需對癥下藥，不同類題目一般采用不同解法?，F(xiàn)在就以“證明等腰三角形兩底角相等”為例加以說明。

我們先將文字語言“翻譯”成數(shù)學(xué)語言如下：

已知：在△ABC中，AB=AC。

求證：∠B=∠C。

分析：如果要證明兩角相等，常用的方法是先證兩三角形全等、兩三角形相似、……，然后得到兩角相等。本題要證∠B=∠C，能否證這兩個角所在的兩個三角形全等呢？這里沒有兩個三角形，怎么辦呢？想到構(gòu)造三角形，引出過A點作BC邊上的高（或BC邊上的中線或∠BAC的角平分線），再去證明△ABD≌△ACD，即可得到AB=AC。

證完了本題，對本題進行“二次開發(fā)”（拓展例題的解題思路），指出證明分直接證明和間接證明兩種，直接證明又分綜合法和分析法兩種，本題用的是分析法，分析法往往從數(shù)學(xué)例題的待證結(jié)論或所求問題出發(fā)，一步步往“須知”摸索下去，最后達到題目的已知條件，分析時往往可用“”加以說明。綜合法與分析法剛好相反，用綜合法解題時是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步邏輯推理，最后達到待證的結(jié)論或求出需求的問題，綜合法是由“∵”和“∴”等步驟組成的。其次是間接證明，間接證明有兩種思路：反證法和舉反例的方法，并舉些相應(yīng)的例子加以說明，如要說明“若ac=bc，則a=b”是假命題，我們只要舉例“a=5，b=4，c=0”，反駁這個命題就行了。若教師都用這種態(tài)度對待例題，時間久了，在潛移默化中學(xué)生分析問題和解決問題的能力自然而然會得到提高。

三、 在例題的“二次開發(fā)”中滲透數(shù)學(xué)的思想

根據(jù)大綱精神，初中數(shù)學(xué)的基本思想主要指轉(zhuǎn)化、分類與整合、數(shù)形結(jié)合等，下面以分類討論數(shù)學(xué)思想為例，談?wù)勅绾卧诶}“二次開發(fā)”的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想。在解題時對于一些比較復(fù)雜的對象，為了研究的需要，往往要根據(jù)對象的特點將對象分成不同的部分進行分析，或?qū)ο髤^(qū)分為不同種類進行研究，這就是分類討論。通過研究不同部分或不同種類對象的性質(zhì)，然后進行整合，從而認識整體的性質(zhì)。在分類討論中要注意分類標準的同一性，數(shù)學(xué)教學(xué)中運用分類討論思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性，學(xué)生經(jīng)過歸納、總結(jié)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，能使知識更具條理化、系統(tǒng)化，繼而形成一個完整的知識結(jié)構(gòu)鏈條。例如，在分析例題“解方程”時，可分兩種情況進行討論：①當x≥0時，原方程化為，解得：（不合題意，舍去）；②當x<0時，原方程化為，解得：（不合題意，舍去），最后進行整合，∴原方程的根是。在講解完這道例題后，我們對例題進行 “二次開發(fā)”，即“拓展例題的知識范圍”，引出：初中數(shù)學(xué)需要分類討論的問題很多，主要有以下幾個方面：①解含字母參數(shù)或絕對值符號的方程、不等式時，由于這些參數(shù)的取值不同或要去掉絕對值符號就有不同的結(jié)果；②討論二次函數(shù)中二次項系數(shù)與圖象的開口方向、等腰三角形的例題、圓周角定理的證明等；③有的數(shù)學(xué)問題，雖結(jié)論唯一但導(dǎo)致這結(jié)論的前提不盡相同；……

四、 在例題的“二次開發(fā)”中傳授數(shù)學(xué)解題方法

數(shù)學(xué)解題方法則是指解出試題的方法，在解題中歸納、積累一些常用的數(shù)學(xué)解題方法，對學(xué)好數(shù)學(xué)是可以起到事半功倍的效果，數(shù)學(xué)的解題方法很多，不同知識內(nèi)容要選用不同方法，如求函數(shù)解析式時可根據(jù)所給條件選用列解析式法或待定系數(shù)法，解二元一次方程組時可根據(jù)式子特點選用加減消元法或代入消元法，……下面以換元法為例，談?wù)勅绾卧诶}“二次開發(fā)”的教學(xué)中傳授數(shù)學(xué)解題方法。例：已知實數(shù)a、b滿足（a2+b2）2-2（a2+b2）=8，求a2+b2的值。分析：通過觀察可發(fā)現(xiàn)，式子a2+b2重復(fù)出現(xiàn)，如果把式子a2+b2看成一個整體，設(shè)y=a2+b2，則原式化為y2-2y=8，即（y-4）（y+2）=0，可得y-4=0或y+2=0，解得，∵a2+b2>0，∴a2+b2=4。故答案為4。緊接著，我們對例題進行 “二次開發(fā)”，改變例題中的“所需換的元”，如：解方程，可設(shè)，因此，原方程可化為……最后總結(jié)傳授“換元”這種數(shù)學(xué)解題方法。說明換元的實質(zhì)是進行“轉(zhuǎn)化”，關(guān)鍵是把某個重復(fù)出現(xiàn)的整體看成另一個未知數(shù)，即“設(shè)元”，這樣做的理論依據(jù)是等量代換，目的是化繁為簡，將難處理的問題變得容易處理，將不能解決的問題轉(zhuǎn)化為能解決的問題。在研究方程、不等式等問題時，通過引進新的變量，它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式，可以將陌生的形式變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推理簡化，因而換元法的應(yīng)用極廣。endprint

五、 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)

學(xué)科教學(xué)過程就是教和學(xué)展開的過程，學(xué)科能力和素養(yǎng)的培養(yǎng)只有在相應(yīng)的學(xué)科活動中才能形成和發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)是通過提高學(xué)生的相關(guān)能力來實現(xiàn)的，如：數(shù)學(xué)的抽象思維能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)運算能力、數(shù)據(jù)的分析能力等。如何通過例題的“二次開發(fā)”提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)呢？學(xué)科核心素養(yǎng)的提升是以學(xué)科知識為載體，以學(xué)科活動為路徑，以培養(yǎng)他們的相應(yīng)的推理等能力達到的，通過自己多年的實踐，現(xiàn)以“培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力”為例說明具體做法。規(guī)則以言語命題（或句子）來表達，它是公式、定律、法則等的總稱，因此它的概念更抽象，在數(shù)學(xué)解題中有意識的培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力就顯得極為重要。為幫助學(xué)生正確掌握規(guī)則，克服由于規(guī)則的抽象而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的困難，我采取“二次開發(fā)例題中的數(shù)字”的方法，用大量的實例，讓學(xué)生從特殊的實例中尋找出一般規(guī)律，概括出一般抽象結(jié)論。例如，數(shù)學(xué)教師在上合并同類項這一課時，由特例2a+3a，5a+6a或7b+2b等，尋找、總結(jié)出合并同類項的一般規(guī)律，并形成合并同類項的法則。

數(shù)學(xué)思想方法常隱含在數(shù)學(xué)的表層知識之中，教師應(yīng)該挖掘表層知識中的數(shù)學(xué)思想方法，在例題的“二次開發(fā)”中進行滲透，這些思想和方法之間是相互影響、互相促進的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要有機地結(jié)合起來。素養(yǎng)是知識、能力、態(tài)度與情境間的因應(yīng)互動體系，基于核心素養(yǎng)的要求，數(shù)學(xué)教學(xué)要求變教堂為學(xué)堂，培養(yǎng)和依靠學(xué)生的獨立學(xué)習(xí)能力是教學(xué)促進學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的根本體現(xiàn)。教師還要有“教從屬于學(xué)” 的教學(xué)觀，學(xué)生是教學(xué)活動中的主體，學(xué)習(xí)是教學(xué)活動的本位所在，因此教師要在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)，在促進學(xué)生學(xué)上下功夫，教學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)，以便提高教與學(xué)的效果和質(zhì)量。

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