從兩道競(jìng)賽題看冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用

張建軍+宋業(yè)新++瞿勇

摘 要：冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用是高等數(shù)學(xué)理論體系中和實(shí)踐聯(lián)系最為緊密的內(nèi)容之一。本文進(jìn)一步探討了冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用，介紹了運(yùn)用冪級(jí)數(shù)展開式討論定積分和反常積分的論證和計(jì)算問題的理論基礎(chǔ)和思想方法，通過兩道典型的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的難點(diǎn)分析及求解過程，說明了運(yùn)用冪級(jí)數(shù)展開式求解相關(guān)問題的主要步驟和要點(diǎn)，幫助學(xué)生充分重視、全面掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 冪級(jí)數(shù)展開式 反常積分 定積分 和函數(shù)

中圖分類號(hào)：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）10（c）-0224-02

冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，是高等數(shù)學(xué)理論體系中和實(shí)踐聯(lián)系最為緊密的內(nèi)容之一。

筆者在長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐特別是本校全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽的培訓(xùn)教學(xué)中，深深感到，歷年的預(yù)賽和決賽中經(jīng)常出現(xiàn)定積分特別是反常積分方面的難題，它們大都無法運(yùn)用常規(guī)方法求得，需要借助于冪級(jí)數(shù)展開才能得到有效解決；同時(shí)與此形成反差的是，學(xué)習(xí)中部分學(xué)生對(duì)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用及反常積分的計(jì)算這兩方面的理論和方法重視很不夠且不得要領(lǐng)，因而掌握較差。因此我們?cè)诟黜?xiàng)教學(xué)中一直非常重視對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)法進(jìn)行探索，幫助學(xué)生充分重視、全面掌握這些知識(shí)點(diǎn)。以下介紹我們?cè)诟?jìng)賽培訓(xùn)中“運(yùn)用冪級(jí)數(shù)展開式討論定積分和反常積分的論證和計(jì)算”的教學(xué)中的做法，希望起到拋磚引玉之作用。

1 冪級(jí)數(shù)、定積分與反常積分

（1） 冪級(jí)數(shù)。

冪級(jí)數(shù)是一種特殊形式的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于其方便的代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)以及在收斂域內(nèi)連續(xù)、可積和在收斂區(qū)間內(nèi)可無限次求導(dǎo)等非常良好的分析運(yùn)算性質(zhì)，使得其天生就是數(shù)學(xué)中處理基本計(jì)算如函數(shù)的微積分、微分方程的重要工具；同時(shí)更為重要的，它也是表達(dá)函數(shù)、研究函數(shù)和數(shù)值計(jì)算的一個(gè)利器，除了高等數(shù)學(xué)教材中介紹的它在近似計(jì)算等方面的應(yīng)用之外，冪級(jí)數(shù)的理論及方法在科學(xué)技術(shù)和工程的多個(gè)領(lǐng)域均具有極其廣泛的應(yīng)用。

（2） 定積分與反常積分。

通常，定積分指積分區(qū)間為有限區(qū)間及被積函數(shù)為有界函數(shù)的積分；反常積分包括兩類，即無窮限區(qū)間的積分或無界函數(shù)的瑕積分，在高等數(shù)學(xué)教材中對(duì)反常積分的審斂法進(jìn)行了簡(jiǎn)要介紹，反常積分不僅在數(shù)學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)分支具有重要的基礎(chǔ)作用，在物理學(xué)及工程領(lǐng)域也由于其廣泛的應(yīng)用越來越顯現(xiàn)其重要性。

2 運(yùn)用冪級(jí)數(shù)展開式求解定積分和反常積分問題

復(fù)雜的定積分和反常積分問題，其困難往往在于被積函數(shù)的原函數(shù)很難求得或無法用初等函數(shù)表示，也就無法直接運(yùn)用牛頓─萊布尼茨公式計(jì)算。運(yùn)用被積函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式計(jì)算定積分或反常積分，首先可按冪級(jí)數(shù)展開方法將被積函數(shù)在積分區(qū)間上展開成冪級(jí)數(shù)或普通函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，然后利用冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分性質(zhì)以及積分號(hào)和求和號(hào)的交換，將復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的級(jí)數(shù)項(xiàng)的積分，進(jìn)而將原問題轉(zhuǎn)化為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和問題。

例1：證明： 。

分析：本題非常復(fù)雜，若從等式左邊入手，的原函數(shù)難于求得；從等式右邊入手，該級(jí)數(shù)的和用常規(guī)方法很難求出，也無法直接運(yùn)用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)來求得。因此要進(jìn)一步分析題意。由于，故可將左邊的積分看作正常積分。要理解題目的意圖：事實(shí)上，由定積分的定義，等式的左邊可以看作為乘積和式的極限，再由數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義，右邊也可視為部分和式的極限，因此證明二者相等非常自然；那么，能否把二者轉(zhuǎn)化成為同一類呢？其實(shí)，可先按指數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開將函數(shù)展開，利用逐項(xiàng)積分性質(zhì)交換積分號(hào)和求和號(hào)的次序，計(jì)算級(jí)數(shù)項(xiàng)的積分后再求和，即可證明該等式。

證：利用指數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，并逐項(xiàng)積分，就有

，

而為求得等式右邊級(jí)數(shù)通項(xiàng)中的積分部分，考慮

，

其中，在上式第三個(gè)等式中的，是由于

因此，故

。

在競(jìng)賽培訓(xùn)課中講解該題目，可先提問，使學(xué)生意識(shí)到問題的復(fù)雜性，同時(shí)揭示困難所在；再提示冪級(jí)數(shù)展開方法，重點(diǎn)分析該方法如何起到“化難為易”的作用。按上述教學(xué)設(shè)計(jì)，通過深入淺出的題意分析，運(yùn)用級(jí)數(shù)展開、分部積分等方法，解題的過程一氣呵成。

證明上述結(jié)論后，教師還可以啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考：本題的結(jié)論能否給我們帶來有益的啟示呢？事實(shí)上，如果從等式右端向左端看，盡管級(jí)數(shù)和的精確值無法通過常規(guī)方法得出，但可以通過定積分給出其精確值的一個(gè)表達(dá)式；另一方面，如果從等式左端向右端看，雖然無法得出定積分的精確值，卻可以給出其值的一個(gè)級(jí)數(shù)表達(dá)式，真是相映成趣、耐人尋味！通過這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，能夠加深學(xué)生對(duì)上述方法和結(jié)論的理解。

例2：設(shè)，。

（1）證明：時(shí)，；（2）計(jì)算。

分析：本題是一個(gè)有難度的綜合題。要準(zhǔn)確分析題意：第一問中，對(duì)冪級(jí)數(shù)，能直接按常規(guī)方法求出其和函數(shù)的表達(dá)式嗎，求出后不是可以方便地驗(yàn)證欲證的恒等式嗎？另一方面，能否不求出的表達(dá)式而直接證明該式呢？可讓學(xué)生反復(fù)思考這兩個(gè)問題，把前者留待學(xué)生課后討論完成；對(duì)于后者，可揭示只需將和對(duì)數(shù)函數(shù)均展開成冪級(jí)數(shù)，再運(yùn)用冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)證明左端函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0即可；對(duì)第二問，首先，似乎所求積分為定積分，但注意到，故該積分實(shí)為無界函數(shù)的反常積分，點(diǎn)為被積函數(shù)的瑕點(diǎn)；其次，如采用高等數(shù)學(xué)教材中介紹的常用方法計(jì)算該瑕積分，欲采用牛頓─萊布尼茨公式計(jì)算，由于被積函數(shù)較為復(fù)雜，換元法、分部積分法等各種方法均難奏效。

這時(shí)，如果注意到函數(shù)在上可展開成冪級(jí)數(shù)，再交換求和號(hào)與積分號(hào)，即可將反常積分轉(zhuǎn)化為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的計(jì)算，這是第二個(gè)難點(diǎn)。該常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和通常可將其轉(zhuǎn)化為某冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂域內(nèi)某點(diǎn)處的值，再根據(jù)第一問，問題就可能迎刃而解。

解：（1）易見冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋液秃瘮?shù)在上連續(xù)。令

由于，以及，可知函數(shù)在上連續(xù)。當(dāng)時(shí)，運(yùn)用和函數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，就有

，

因此時(shí)，恒為常數(shù)。由于，故時(shí)，

。

（2）注意到時(shí)，，故

，

其中第三個(gè)等號(hào)成立是由于根據(jù)例1中的結(jié)果，有。

而級(jí)數(shù)的和，不難看出它正好是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在的值。在（1）中的等式中，令，可得，從而，因此，。

教師在講解完此題后，肯定有很多學(xué)生會(huì)有疑問，能否直接求出s（x）的解析表達(dá)式呢，計(jì)算的困難又在哪兒呢？教師可要求學(xué)生課后小組討論并體會(huì)直接求解s（x）的困難，從而使他們深刻地體會(huì)解題方法的重要性，并幫助他們更好地掌握冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。

盡管競(jìng)賽題綜合性強(qiáng)、難度大，但只要深入細(xì)致地分析問題，綜合運(yùn)用相關(guān)基本理論和基本方法，問題都能迎刃而解；同時(shí)教師在教學(xué)時(shí)還應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，冪級(jí)數(shù)展開式之所以能很好地運(yùn)用于定積分或反常積分問題的論證和計(jì)算，其根本原因還在于，從本質(zhì)上而言，冪級(jí)數(shù)和定積分或反常積分均為無窮和的極限，二者同根同源，定然存在千絲萬縷的關(guān)系，因而在求解相關(guān)問題時(shí)，運(yùn)用二者的關(guān)系，往往能收到很好的效果。教師在數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)等教學(xué)中應(yīng)該不斷創(chuàng)設(shè)困難問題的情境，以疑難問題的科學(xué)分析驅(qū)動(dòng)競(jìng)賽教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，不斷提高其分析問題和解決問題的能力。

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