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    加權(quán)差異測度與模糊推理的魯棒性分析

    2018-01-25 03:21:54,
    關(guān)鍵詞:蘊(yùn)涵論域模糊集

    ,

    (浙江理工大學(xué)理學(xué)院,杭州 310018)

    0 引 言

    對于FMP(Fuzzy modus ponens)和FMT(Fuzzy modus tollens)這兩種模糊推理形式,Zadeh[1]提出了合成推理算法(簡稱CRI算法)。鑒于CRI算法缺乏嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ),王國俊[2]提出了全蘊(yùn)涵三I算法(簡稱三I算法)。Ying等[3]提出了模糊集最大擾動(dòng)和平均擾動(dòng)的概念,分析了模糊推理算法的最大和平均擾動(dòng)參數(shù)。戴松松等[4]提出了相對擾動(dòng)的概念,并利用相對擾動(dòng)的概念分析了CRI算法的魯棒性。Wang等[5]比較了由不同類型測度誘導(dǎo)的δ等價(jià)的概念。Jin等[6]也研究了基于邏輯等價(jià)測度模糊集的擾動(dòng)。

    Montes等[7]提出了一種差異函數(shù)的概念來度量模糊集之間的距離。之后,Li等[8]基于不相似函數(shù)和模糊等價(jià)提出了兩種構(gòu)造差異測度的方法。在這兩種構(gòu)造差異測度的基礎(chǔ)上,Li等[9]用不相似函數(shù)構(gòu)造出差異測度的公式,并延拓了模糊集之間的擾動(dòng)性,分析了CRI算法的魯棒性。但在實(shí)際應(yīng)用過程中可以發(fā)現(xiàn),Li等[9]構(gòu)造出的差異測度并不能充分地利用所有的信息,即會(huì)導(dǎo)致部分信息的缺失。針對這一問題,本文提出了加權(quán)差異測度的概念,并與已有的差異測度概念作了比較。同時(shí),在加權(quán)差異測度的基礎(chǔ)上,研究了CRI算法和三I算法的魯棒性。本文推廣了文獻(xiàn)[9]中的相關(guān)結(jié)論。

    1 加權(quán)差異測度

    本文中,X表示論域,論域X上所有分明集組成的集合記作P(X),論域X上的所有模糊集組成的集合記作F(X)。

    映射I:[0,1]2→[0,1]稱為模糊蘊(yùn)涵,簡稱蘊(yùn)涵,如果I關(guān)于第一變元不增,第二變元不減,且滿足I(0,0)=I(0,1)=I(1,1)=1和I(1,0)=0。文獻(xiàn)中I(x,y)也簡寫為x→y,其中x,y∈[0,1]。

    映射T:[0,1]2→[0,1]稱為t-模,如果T是結(jié)合的,交換的,單調(diào)的,并且滿足條件T(1,a)=a(0≤a≤1)。t-模T是左連續(xù)的,如果T(a,supxi)=supT(a,xi),i∈E成立,這里E為任意指標(biāo)集,xi∈[0,1]。

    t-模T的剩余是函數(shù)R:[0,1]2→[0,1],對x,y∈[0,1],R(x,y)=sup{α∈[0,1]|T(x,α)≤y}。t-模的剩余是蘊(yùn)涵,稱為R-蘊(yùn)涵。t-模T的雙剩余是函數(shù)ET:[0,1]2→[0,1],對x,y∈[0,1],ET(x,y)=min(R(x,y),R(y,x))。

    下述差異測度的概念是本文重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容。

    定義1[8]函數(shù)D:F(X)×F(X)→[0,∞)稱為差異測度,如果D滿足以下條件:

    (D1)D(A,B)=D(B,A)對任意A,B∈F(X);

    (D2)D(A,A)=0對任意A∈F(X);

    (D3) 對任意A,B,C∈F(X),如果A?B?C,則max(D(A,B),D(B,C))≤D(A,C);

    (D4)D(A,B)≤D(P,Pc)對任意A,B∈F(X),P∈P(X),其中Pc表示P的補(bǔ)集。

    定義2[9]二元函數(shù)d:[0,1]2→[0,1]稱為不相似函數(shù),如果d滿足以下條件:

    (d1)d(x,y)=d(y,x),x,y∈[0,1];

    (d2)d(x,x)=0,x∈[0,1];

    (d3)d(1,0)=1;

    (d4) 對任意x,y,z∈[0,1],如果x≤y≤z,則max(d(x,y),d(y,z))≤d(x,z)。

    如果由t-模T的雙剩余ET按照dT=1-ET誘導(dǎo)的不相似函數(shù)dT是[0,1]上的度量,文獻(xiàn)中稱dT為DF-度量[9]。

    命題3[9]設(shè)論域X={x1,x2,…,xn},d為不相似函數(shù),對任意A,B∈F(X),定義D如下:

    其中ɑ>0,b>0,則D是一個(gè)差異測度。

    上式可以改寫為

    由上式可以看出,D實(shí)際上是對d(A(xi),B(xi))的每一項(xiàng)權(quán)重均取1/n的一個(gè)函數(shù),因此在實(shí)際應(yīng)用中有一定局限性。為了彌補(bǔ)這個(gè)缺陷,下面本文對其作適當(dāng)推廣。

    命題4設(shè)論域X={x1,x2,…,xn},d為不相似函數(shù),(ω1,ω2,…,ωn)為權(quán)重向量,對任意A,B∈F(X),定義D1如下:

    其中ɑ>0,b>0,則D1是一個(gè)差異測度。

    證明:很明顯D1滿足條件(D1)和(D2)。下證D1滿足條件(D3),(D4)??紤]函數(shù)

    那么由

    知函數(shù)f(t)單調(diào)遞增。如果A?B?C,即A(xi)≤B(xi)≤C(xi),xi∈X,那么則有

    在本文以下的部分中,稱由命題4給出的差異測度D1為加權(quán)差異測度。

    由D1的定義可以看出,加權(quán)差異測度是差異測度的推廣。

    又,當(dāng)ɑ=b時(shí),D1簡化為

    2 模糊運(yùn)算與模糊推理的魯棒性分析

    對于模糊集合之間的運(yùn)算,有如下結(jié)論成立。

    定理5設(shè)T是t-模,R和ET分別是T的剩余和雙剩余,dT是由ET誘導(dǎo)的不相似函數(shù)。假設(shè)dT是DF-度量,D1是命題4給出的加權(quán)差異測度。若A≈(ε1)A1,B≈(ε2)B1,則A°B≈(λ)A1°B1,這里°∈{∪,∩,T,R},且

    因此有,

    又因?yàn)閐T(A°B(xi),A1°B1(xi))≤dT(A(xi),A1(xi))+dT(B(xi),B1(xi))(見文獻(xiàn)[9]),則

    由函數(shù)f(t)的單調(diào)性知,

    D1(A°B(xi),A1°B1(xi))=

    注意到,D1(A°B(xi),A1°B1(xi))≤1,故有

    D1(A°B(xi),A1°B1(xi))≤

    證畢。

    關(guān)于模糊推理兩種算法(CRI算法和三I算法)及其FMP型解和FMT型解的具體介紹請參閱文獻(xiàn)[1-2]。

    黨的十九大報(bào)告指出:我國經(jīng)濟(jì)已由高速增長階段轉(zhuǎn)向高質(zhì)量發(fā)展階段,正處在轉(zhuǎn)變發(fā)展方式、優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)、轉(zhuǎn)換增長動(dòng)力的攻關(guān)期。必須堅(jiān)持質(zhì)量第一、效益優(yōu)先,以供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革為主線,推動(dòng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展質(zhì)量變革、效率變革、動(dòng)力變革。報(bào)告為集團(tuán)公司煉化、銷售業(yè)務(wù)的改革發(fā)展指明了道路,理清了方向,為化解產(chǎn)銷矛盾提供了理論依據(jù)。

    對于CRI算法的魯棒性分析,有如下結(jié)論:

    又因?yàn)?/p>

    dT(A1(xi),A2(xi))+dT(B1(yj),B2(yj))]≤

    其中

    證畢。

    仿照定理6的證明過程,對于CRI算法的FMT型解的魯棒性,可得如下結(jié)論。

    可以看出,定理5中擾動(dòng)參數(shù)λ的值與文獻(xiàn)[9]中命題7的擾動(dòng)參數(shù)值相等,定理6和定理7是[9]中相應(yīng)結(jié)論的推廣。

    三I算法作為CRI算法的改進(jìn),其魯棒性分析有如下結(jié)論。

    由于定理7—9的證明和定理6的證明類似,所以略去定理7—9的證明過程。

    3 結(jié) 論

    本文在差異測度的基礎(chǔ)上,提出了加權(quán)差異測度的概念,以滿足解決實(shí)際問題的需要。然后,從模糊集之間運(yùn)算的擾動(dòng)和模糊推理的魯棒性這兩個(gè)方面,分析了基于加權(quán)差異測度產(chǎn)生的模糊集運(yùn)算的擾動(dòng)性態(tài)和模糊推理的魯棒性。本文的研究結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[9]中的對應(yīng)結(jié)論,使得人們在應(yīng)用這些結(jié)論時(shí)具有更多的合理選擇。

    在未來的工作中,我們將對加權(quán)差異測度的概念和相似度等概念進(jìn)行統(tǒng)一處理,并從加權(quán)差異測度入手,討論其他模糊推理算法的魯棒性。

    [1] Zadeh L A. Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes[J]. IEEE Transactions on Systems,1973,3(1):28-44.

    [2] 王國俊.模糊推理的全蘊(yùn)涵三I算法[J].中國科學(xué)(E),1999,29(1):43-53.

    [3] Ying M S. Perturbation of fuzzy reasoning[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,1999,7(5):625-629.

    [4] 戴松松,裴道武.模糊集的相對擾動(dòng)[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2011,25(5):1-6.

    [5] Wang G J, Duan J Y. On robustness of the full implication triple I inference method with respect to finer measurement[J]. International Journal of Approximate Reasoning,2014,55(3):787-796.

    [6] Jin J H, Li Y M, Li C Q. Robustness of fuzzy reasoning via logically equivalence measure[J]. Information Sciences,2007,177(22):5103-5117.

    [7] Montes S, Couso I, Gil P, et al. Divergence measure between fuzzy sets[J]. International Journal of Approximate Reasoning,2002,30(2):91-105.

    [8] Li Y F, Qin K Y, He X X. Dissimilarity functions and divergence measures between fuzzy sets[J]. Information Sciences,2014,288(288):15-26.

    [9] Li Y F, Qin K Y, He X X, et al. Robustness of fuzzy connectives and fuzzy reasoning with respect to general divergence measures[J]. Fuzzy Sets and Systems,2016,294:63-78.

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