借助直角三角形，解決線段長度問題

陳慶霞

[摘 要] 在初中數(shù)學(xué)中，求解指定線段的長度問題層出不窮，那么，有沒有比較通用的方法來幫助學(xué)生分析呢？當(dāng)然有，那就是構(gòu)造合適的直角三角形. 本文主要介紹了幾種類型的試題中，如何構(gòu)造直角三角形來解決線段長度的求解問題.

[關(guān)鍵詞] 直角三角形；中點；動點；輔助線

當(dāng)學(xué)生面對求解線段長度問題束手無策時，毫不夸張地說，直角三角形會讓他們豁然開朗. 這要歸功于直角三角形那些“美好”的屬性，其中最為好用的就是“斜邊上的中線等于斜邊的一半”. 但題目往往不會直接給出明顯的直角三角形，所以需要我們自己去構(gòu)造. 下面，筆者從構(gòu)造直角三角形的不同方法入手，講解如何利用其解決線段長度的求解問題.

試題呈現(xiàn)，方法提煉

在求解線段長度的試題中，有這樣一類題：所求線段的兩個端點是某兩條已知線段的中點，這類題往往在命題中就給出了足夠的點，我們只需連接一些已知點來構(gòu)造直角三角形即可.

例1？搖 如圖1，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E在邊AB上，BE=4，過點E作EF∥BC，分別交BD，CD于點G和點F，若M，N分別是DG，CE的中點，則MN的長為（？搖？搖 ）

A. 3 ？搖 B. 2■？搖？搖 ？搖C. ■？搖？搖？搖 D. 4

解析？搖 連接MF，BF，由題意知B，N，F(xiàn)三點共線，且BN=NF，△MBF是直角三角形. 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知，MN的長是BF的一半，所以MN=■BF=■. 所以答案為C.

提煉“真經(jīng)”？搖 本題難度適中，條件中給足了“中點暗示”，兩個中點分別提供了直角和一條三角形的邊，進(jìn)而為輔助線提供了思路，同時也暗示了直角三角形在此題中的重要地位.

至此，本篇文章的主角——“直角三角形”就正式出場了. 事實上，解初中幾何問題的實質(zhì)就是在給定的圖形及條件中尋找或創(chuàng)造出一些特殊的形狀，如直角三角形、圓形、矩形、等腰三角形等，然后利用它們的特殊性質(zhì)達(dá)到解題的目的. 下面以具體示例來說明如何分析和構(gòu)造“直角三角形”，以達(dá)到解題的目的. 當(dāng)然，這些方法只是解題思路的冰山一角，學(xué)生可以以此為切入點，找到適合自己的解題技巧.

觸類旁通，剖析動點

動點問題在初中幾何問題中非常常見，相對于解答題來說，選擇題中的動點問題較容易，因為對于動點來說，總是存在著一些特殊的位置，使得問題變得無比簡單，其中就包括直角三角形，其往往能使問題的解決豁然開朗.

例2？搖 如圖2，△ABC的底邊AB固定，且AB=4，頂點C是動點，分別以AC，BC為邊向外作正方形ACED和正方形BCFG，連接DG，取線段DG，AB的中點M和O，連接OM，那么OM的長為（ ）

A. 3 B. 2 ？搖C. ■？搖 D. ■

解析？搖 由于是選擇題，可運用特殊化思想. 由于點C是動點，猜想點C運動到使△ABC是特殊三角形時，求出線段OM的長度. 當(dāng)點C運動到使△ABC是等腰直角三角形時（如圖3），因為△ABC是等腰直角三角形，O是AB的中點，所以CO=■AB. 由題意可知，D，C，G三點在一條直線上，且DC=CG，所以點C與點M重合. 所以MO=CO=■×4=2. 所以答案為B.

該題以選擇題的形式出現(xiàn)，大大降低了難度，學(xué)生只要找到合適的特殊位置就可以輕松求解，因為選擇題不需要嚴(yán)密的證明，但若是解答題或填空題，有可能答案的個數(shù)不唯一，那就需要學(xué)生有較高的動態(tài)思維、推理論證、綜合運用知識的能力了.

舉一反三，添加輔助線

有的問題，連接已知點，并不能得到直角三角形，所求的線段也并沒有明顯地存在于直角三角形中，此時要想解題，就要作一條或幾條輔助線，通過構(gòu)造直角三角形來求解.

例3？搖 如圖4，正方形ABCD的邊長為4，點O為對角線AC，BD的交點，點E是CD的中點，連接BE交OC于點G，且OG=■OC，過點C作CF⊥BE于點F，連接OF，則OF的長為______.

解析 過點F作FP⊥OC于點P，因為B，C，F(xiàn)，O四點共圓，所以∠FOP=∠FBC，sin∠FOP=sin∠FBC=■. 因為OG=■OC=■OB，所以sin∠FCP=sin∠FBO=■，F(xiàn)P=FC·sin∠FCP=■. 故在Rt△OPF中，OF=■=■■.

在該題中，有個明顯的特點，就是添加了輔助圓，其實在一些線段求解問題中，我們經(jīng)常會運用到一些特殊形狀的性質(zhì)定理. 對于圓來說，有圓冪定理、角平分線定理、中線定理等，這些定理往往可以直接解題，但這對數(shù)學(xué)知識和解題能力的要求比較高.

總結(jié)提高

對于求線段長度問題，筆者列舉了幾種利用直角三角形解題的策略和方法，重點就是要告訴學(xué)生，這些都是有章可循的. 對于此類問題，關(guān)鍵在于就題論題，抓住問題的本質(zhì)，選擇適合該題的最有效的方法，使解題過程優(yōu)化，提高解題速度. 教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生多做練習(xí)，讓其在遇到線段長度問題時能借助直角三角形，盡快擺脫題目的迷惑，看到答案的“廬山真面目”.endprint