淺談數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的運用

歐陽恭倩

摘要：在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，對數(shù)形結(jié)合這種解題思想的熟練掌握與靈活運用十分重要。在解決相關(guān)問題時，合理使用數(shù)形結(jié)合思想，將抽象的數(shù)字轉(zhuǎn)化為具體的圖像，不僅能夠方便我們更好理解題目的含義，還能夠簡化解題步驟，減少計算量和錯誤率。同時，數(shù)形結(jié)合既可以分析相關(guān)問題的數(shù)據(jù)關(guān)系又可以直觀地看到該問題的幾何含義，巧妙的運用數(shù)形結(jié)合往往可以起到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；思維

一、三角形問題與數(shù)形結(jié)合

1、勾股定理的推導(dǎo)。在初二下學(xué)期時，同學(xué)們開始接觸勾股定理，從“勾三股四弦五”開始我們對勾股定理的學(xué)習(xí)。勾股定理是指在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方和等于寫邊邊長的平方。在勾股定理的眾多推導(dǎo)方法中，無論是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的“青朱出入圖”或趙爽弦圖，還是國外數(shù)學(xué)家的加菲爾德證法與歐幾里得證法無一例外的都是通過圖形面積進(jìn)而對勾股定理加以證明，因此，數(shù)形結(jié)合的重要性可見一斑。雖然同學(xué)們不需要對勾股定理進(jìn)行證明，但在學(xué)習(xí)過程中搞懂勾股定理的推導(dǎo)過程能幫助我們更好的理解這一定理，同時，我們在解決勾股定理的相關(guān)題目時也可以利用圖形進(jìn)行解題。例：求三邊長分別為√13、√89、√170的三角形的面積。這一題可以將13拆成2∧2+3∧2，89拆成5∧2+8∧2，170拆，7∧2+11∧2，以此構(gòu)建一個寬為2+5，長為3+8的長方形，進(jìn)而求得三角形面積。

2、三角函數(shù)。在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)過程中，三角函數(shù)如一頭攔路猛虎，讓很多同學(xué)望而生畏，所以對于初中三角函數(shù)知識同學(xué)們要認(rèn)真學(xué)習(xí)，為高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。上文提到的勾股定理也屬于三角函數(shù)的范疇。對于初中生來說，學(xué)習(xí)三角函數(shù)首先要清楚正弦、余弦及正切的定義，其次要熟記各特殊角的正弦值、余弦值及正切值，最后要掌握三角函數(shù)公式，如三角函數(shù)倍角公式：sin（2α）=2sinαcosα、cos（2α）=cos∧2（α）-sin∧2（α）=2cos∧2（α）-1=1-2sin∧2（α）、tan2=2tanα/[1-tan∧2（α）]。正弦值是在直角三角形中，對邊的長與斜邊的長的比值，余弦值是在直角三角形中鄰邊與斜邊的比值，正切值是在直角三角形中對邊與鄰邊的比值，因此我們可以利用數(shù)形結(jié)合來記憶和計算各角的正弦值、余弦值以及正切值。此外我們和可以結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的象限來記憶正弦值、余弦值以及正切值的正負(fù)，例如對于正切函數(shù)有“正一三負(fù)二四”，即正弦函數(shù)的值在一三象限為正，二四象限為負(fù)。

二、圓與數(shù)形結(jié)合

1、點與圓的位置關(guān)系。對于點與圓的位置關(guān)系的判斷這一問題，同學(xué)們也可以運用數(shù)形結(jié)合來解決。首先我們將已知點與圓心相連，設(shè)這條線段為d，將其與半徑r比較，若d大于r，則該點在圓外；若d小于r，則該點在圓內(nèi)；若d等于r，則該點在圓上。這一問題通過畫圖可以十分清晰的解決，也能夠幫助學(xué)生直觀地理解點與圓的位置關(guān)系與數(shù)值之間的聯(lián)系。

2、直線與圓的位置關(guān)系。直線與圓有相離、相切、相交三種位置關(guān)系。通過作圖可以非常清楚的看出來，同時我們也可以用數(shù)字說明。方法如下：通過圓心向已知直線做垂線交于一點，記圓心到該點的長度為d，然后比較線段d與半徑r的大小關(guān)系，若d大于r，則該已知直線與圓無交點，即直線與圓的位置關(guān)系為相離；若d小于r，則已知直線與圓有兩個交點，即直線與圓相交；若d等于r，則已知直線與圓恰好有一個交點，即直線與圓相切。

3、圓與圓的位置關(guān)系。圓與圓的位置關(guān)系一共有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含、五種。圓與圓位置關(guān)系的判斷方法與點與圓的位置關(guān)系的判斷類似，首先我們要將兩圓圓心相連，記該線段長度為d，接著將其與兩圓半徑之和R+r比較，若d大于R+r，則兩圓的位置關(guān)系為外離；若d等于R+r，則兩圓的位置關(guān)系為外切；若d大于R-r且小于R+r，則兩圓的位置關(guān)系為相交；若d等于R-r，則兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切；若d小于R-r，則兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含。

由上述點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系的判斷可以看出，對于圖形位置關(guān)系的判定不僅可以通過作圖，還可以根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)來進(jìn)行判定，為解決相關(guān)問題又開辟了一個途徑。

三、結(jié)語

數(shù)形結(jié)合作為一種重要的解題方法，在我們的學(xué)習(xí)和思維過程中起著至關(guān)重要的作用，在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和教學(xué)活動中，教師要著重培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合這一方法解決問題的意識，學(xué)生也要刻意多多運用這種方法，盡量做到看到可以運用數(shù)形結(jié)合解決的問題時，能夠第一時間想到與、利用其來解題，同時，數(shù)形結(jié)合更是一種思維方式，在看到相關(guān)題目時能夠?qū)?shù)據(jù)抽象為圖形，有時可以幫助學(xué)生找到更簡單、更巧妙的解題方法。因此，在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與教學(xué)過程中，要注意這種能力的培養(yǎng)。上述數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的運用例子只是眾多實例中的一小部分，數(shù)形結(jié)合這一方法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著十分廣泛的運用，希望同學(xué)們可以正真掌握這一方法，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得更多收獲與樂趣。

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