Bernstein Bezout矩陣與多項(xiàng)式的慣性*

李 珊， 吳化璋

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

0 引 言

Bezout矩陣在多項(xiàng)式與線性控制系統(tǒng)理論、結(jié)構(gòu)矩陣?yán)碚摰阮I(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-4]，近些年來(lái)，經(jīng)典的Bezout矩陣被推廣到一些多項(xiàng)式基下進(jìn)行研究[5-8].而Bernstein多項(xiàng)式基是一類特殊且重要的多項(xiàng)式，在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中的Bezier曲線方面有著重要應(yīng)用[9-11]，自然地受到一些數(shù)學(xué)研究者的重視.

最近，在文獻(xiàn)[12]討論了Bernstein Bezout矩陣與Bernstein多項(xiàng)式基下的(廣義)可控制型/可觀測(cè)型矩陣之間的相互聯(lián)系.本文是文獻(xiàn) [12]的繼續(xù)，將討論Bernstein Bezout矩陣在多項(xiàng)式的慣性和穩(wěn)定性方面的應(yīng)用.

本文將在復(fù)數(shù)域范圍來(lái)討論，且多數(shù)記號(hào)將繼續(xù)沿用文獻(xiàn)[1]中的記號(hào).用n[x]表示復(fù)數(shù)域上次數(shù)不超過(guò)n-1的線性多項(xiàng)式空間.令：

π(x)=(1，x，…，xn-1)T

構(gòu)成的n維向量.又令T是π(x)與B(x)之間的過(guò)渡矩陣，滿足

TB(x)=π(x)

(1)

又設(shè)a(x)和b(x)分別是它們對(duì)應(yīng)的關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)冪基的表達(dá)式，即

那么，由a(x)與b(x)生成的關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)冪基的雙線性函數(shù)：

所確定的矩陣B(a，b)=(zij)為a(x)和b(x)生成的經(jīng)典Bezout矩陣，有時(shí)也記作B(f，g).而由f(x)與g(x)生成的關(guān)于Bernstein多項(xiàng)式基的雙線性函數(shù)：

TTB(a，b)T=B(b)(f，g)

(2)

如果g(x)≡b(x)=1，那么

B(b)(f，1)=TTB(a，1)T

(3)

若令S(a)=B(a，1)，S(b)(f)=B(b)(f，1)，則式(2)可簡(jiǎn)寫為

S(b)(f)=TTS(a)T

(4)

稱為多項(xiàng)式p(x)(關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)冪基)的第二伴侶矩陣，它 (關(guān)于Bernstein多項(xiàng)式基) 的廣義伴侶矩陣定義為

C(b)(p)=T-1C(p)T

(5)

由文獻(xiàn)[12]，并結(jié)合式(4)、式(5)知，Bernstein Bezout矩陣B(b)(f，g)有如下形式的Barnett型分解公式：

B(b)(f，g)=S(b)(f)g(C(b)(f)T)

1 經(jīng)典Bezout矩陣與多項(xiàng)式慣性

特征值的穩(wěn)定性問(wèn)題通常是根據(jù)一個(gè)矩陣的特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布來(lái)判定的，為了避免特征多項(xiàng)式系數(shù)的計(jì)算造成的不精確性，人們常利用Lyapunov定理來(lái)判定.本節(jié)將介紹經(jīng)典的Fujiwara-Hermite定理和Routh-Hurwitz定理[3]，這兩個(gè)定理就是通過(guò)利用經(jīng)典的Bezout矩陣所滿足的Lyapunov定理來(lái)獲得一個(gè)多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布理論.

先介紹一些記號(hào)：三元非負(fù)整數(shù)組

In(p)={π(p)，v(p)，δ(p)}

表示復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式p(x)關(guān)于虛軸的慣性分布，其中π(p)，v(p)和δ(p)分別表示p(x)的具有正實(shí)部，負(fù)實(shí)部和零實(shí)部根的個(gè)數(shù)(包括重?cái)?shù)).特別地，如果π(p)=δ(p)=0，則稱p(x)關(guān)于虛軸是穩(wěn)定的.對(duì)應(yīng)地，三元非負(fù)整數(shù)組：

In′(p)={π′(p)，v′(p)，δ′(p)}

表示p(x)關(guān)于實(shí)軸的慣性分布，其中π′(p)，v′(p)和δ′(p)分別表示p(x)的在開的上半平面，開的下半平面和實(shí)軸上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(包括重?cái)?shù)).很顯然，

{π′(p(-ix)，v′(p(-ix))，δ′(p(-ix))}=

{π(p(x))，v(p(x))，δ(p(x))}

對(duì)一個(gè)復(fù)矩陣Α的慣性，通常采取以上類似的記號(hào)并賦予類似的含義.即

In(A)={π(A)，v(A)，δ(A)}

In′(A)={π′(A)，v′(A)，δ′(A)}

分別表示矩陣A的特征值關(guān)于虛軸和實(shí)軸的慣性分布.稱復(fù)矩陣A是Hermite矩陣，如果A=A*，其中A*表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置.用記號(hào)A>0(≥0) 表示矩陣A是Hermite正定(半正定)的.

下面的引理來(lái)自文獻(xiàn)[3]，是Lyapunov關(guān)于矩陣慣性理論的一個(gè)推廣.

引理1 如果A∈n×n，δ(A)=0，且對(duì)Hermite非奇異矩陣H∈n×n滿足如下方程：

AH+HA*=W≥0

那么In(A)=In(H).

由此引理，能推導(dǎo)出如下經(jīng)典的Fujiwara-Hermite穩(wěn)定性準(zhǔn)則和慣性定理.

2 Bernstein Bezout矩陣與多項(xiàng)式慣性

定理3 假設(shè)由多項(xiàng)式：

證明首先，容易檢驗(yàn)

其中

可得：

(5)

其中，容易算出矩陣：

對(duì)式(6)作一些變換，并寫成如下形式：

(7)

利用式(2)，式(7)又等價(jià)于

(8)

其中矩陣W(b)=TTWT≥0，這是由于過(guò)渡矩陣T是非奇異實(shí)矩陣.矩陣方程式(8)可寫成：

δ(-iC(b)(p))=0

根據(jù)引理1，有

另一方面，

In(-iC(b)(p))=In′(C(b)(p))=In′(p)

故定理得證.

下面給出經(jīng)典的Routh-Hurwitz慣性定理在Bernstein多項(xiàng)式基下的推廣形式.

(7)

利用下面的等式：

B(ix)=T-1π(ix)=T-1Dπ(x)=

T-1DTT-1π(x)=T-1DTB(x)=FB(x)

其中，D=diag(1，i，…，in-1)，F(xiàn)=T-1DT，那么式(9)可寫成：

(10)

注意到F=T-1DT，那么

其中

C=diag(1，(-1)1，…，(-1)n-1)

再用引理1可得

這就獲得了下面的結(jié)果，此定理可以看做是經(jīng)典的Routh-Hurwitz慣性定理和穩(wěn)定性準(zhǔn)則在Bernstein多項(xiàng)式基下的推廣.

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